Question

Si $2^a+2^b=3^c+3^d,$ ¿cuántos de los enteros $a,$ $b,$ $c,$ $d$ pueden ser negativos como máximo?

If $2^a+2^b=3^c+3^d,$ the number of integers $a,$ $b,$ $c,$ $d$ which can possibly be negative is, at most:

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

Respuesta: E

Conceptos:exponente divisibilidad paridad

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Un denominador reducido del lado izquierdo solo puede contener $2,$ mientras que uno del lado derecho solo puede contener $3$

A reduced denominator on the left can contain only $2,$ while one on the right can contain only $3$

Pista grande:

Concluye que ambos lados deben ser enteros y luego analiza cuándo una suma de dos potencias negativas puede ser entera

Conclude both sides must be integers, then examine when a sum of two negative powers can be integral

Solución:

En forma reducida, el lado izquierdo solo puede tener una potencia de $2$ en el denominador, mientras que el lado derecho solo puede tener una potencia de $3.$ La igualdad obliga entonces a que ambos lados sean enteros. Si $c$ o $d$ fuera negativo, $3^c+3^d$ conservaría un factor $3$ en el denominador. Por tanto, $c,d\geq0.$

De igual manera, un valor negativo de $a$ o $b$ solo puede dar un entero en el caso excepcional $a=b=-1,$ cuya suma es $1.$ Pero $3^c+3^d\geq2.$ Por ello, también $a,b\geq0$ , así que ninguno puede ser negativo.

Así, la respuesta correcta es E.

In lowest terms, the left side can have only a power of $2$ in its denominator, while the right side can have only a power of $3.$ Equality therefore forces both sides to be integers. If either $c$ or $d$ were negative, $3^c+3^d$ would retain a factor $3$ in its denominator. Thus $c,d\geq0.$

Likewise, negative $a$ or $b$ can give an integer only in the exceptional case $a=b=-1,$ whose sum is $1.$ But $3^c+3^d\geq2.$ Hence $a,b\geq0$ as well, so none can be negative.

Thus, the correct answer is E.

1963 AMC 12 Problema 13

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años