La expresión \frac(a)/(a+y)+(y)/(a-y) (y)/(a+y)-(a)/(a-y), con a real y a\ne0, tiene el valor -1 para:

(A) todos los valores reales de y salvo dos

(B) solo dos valores reales de y

(C) todos los valores reales de y

1963 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál de los siguientes puntos no está en la gráfica de $y=\dfrac{x}{x+1}$ ?

Which one of the following points is not on the graph of $y=\dfrac{x}{x+1}?$

$(0,0)$

$\left(-\dfrac12,-1\right)$

$\left(\dfrac12,\dfrac13\right)$

$(-1,1)$

$(-2,2)$

Respuesta: D

Conceptos:función sustitución

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Comprueba el dominio antes de sustituir las coordenadas

Check the domain before substituting coordinates

Pista grande:

El denominador se anula en una de las coordenadas $x$ indicadas

The denominator vanishes at one of the listed $x$ -coordinates

Solución:

La expresión $\frac{x}{x+1}$ no está definida cuando $x=-1.$ Por lo tanto, ningún punto cuya primera coordenada sea $-1$ puede estar en su gráfica.

Así, la respuesta correcta es D.

The expression $\frac{x}{x+1}$ is undefined when $x=-1.$ Therefore no point whose first coordinate is $-1$ can lie on its graph.

Thus, the correct answer is D.

2.

Sea $n=x-y^{x-y}.$ Halla $n$ cuando $x=2$ y $y=-2.$

Let $n=x-y^{x-y}.$ Find $n$ when $x=2$ and $y=-2.$

$-14$

$0$

$1$

$18$

$256$

Respuesta: A

Conceptos:sustitución exponente orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Calcula primero el exponente $x-y$

First compute the exponent $x-y$

Pista grande:

Evalúa la potencia antes de restarla de $x$

Evaluate the power before subtracting it from $x$

Solución:

Aquí $x-y=2-(-2)=4,$ por lo que $n=2-(-2)^4=2-16=-14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Here $x-y=2-(-2)=4,$ so $n=2-(-2)^4=2-16=-14.$

Therefore, the correct answer is A.

3.

Si el recíproco de $x+1$ es $x-1,$ entonces $x$ es igual a:

If the reciprocal of $x+1$ is $x-1,$ then $x$ equals:

$0$

$1$

$-1$

$\pm1$

ninguna de estas opciones

none of these

Respuesta: E

Conceptos:ecuación racional cuadrática

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Traduce «el recíproco de $x+1$ » a una ecuación

Translate “the reciprocal of $x+1$ ” into an equation

Pista grande:

Multiplicar por $x+1$ produce una diferencia de cuadrados

Multiplying by $x+1$ leads to a difference of squares

Solución:

La ecuación es $\frac1{x+1}=x-1.$ Por tanto, $1=x^2-1,$ de modo que $x=\pm\sqrt2.$ Ninguno de estos valores aparece en la lista.

Así, la respuesta correcta es E.

The equation is $\frac1{x+1}=x-1.$ Hence $1=x^2-1,$ so $x=\pm\sqrt2.$ Neither value is listed.

Thus, the correct answer is E.

4.

¿Para qué valor o valores de $k$ tienen las ecuaciones $y=x^2$ y $y=3x+k$ dos soluciones idénticas?

For what value(s) of $k$ does the pair of equations $y=x^2$ and $y=3x+k$ have two identical solutions?

$\dfrac49$

$-\dfrac49$

$\dfrac94$

$-\dfrac94$

$\pm\dfrac94$

Respuesta: D

Conceptos:parábola recta tangente cuadrática

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Iguala las dos expresiones de $y$

Set the two expressions for $y$ equal

Pista grande:

Una intersección doble hace que el discriminante de la cuadrática resultante sea cero

A repeated intersection makes the resulting quadratic’s discriminant zero

Solución:

Las intersecciones satisfacen $x^2-3x-k=0.$ Para que haya dos soluciones idénticas se requiere $(-3)^2-4(1)(-k)=9+4k=0,$ lo que da $k=-\frac{9}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Intersections satisfy $x^2-3x-k=0.$ Two identical solutions require $(-3)^2-4(1)(-k)=9+4k=0,$ giving $k=-\frac{9}{4}.$

Therefore, the correct answer is D.

5.

Si $x$ y $\log_{10}x$ son números reales y $\log_{10}x\lt0,$ entonces:

If $x$ and $\log_{10}x$ are real numbers and $\log_{10}x\lt0,$ then:

$x\lt0$

$-1\lt x\lt1$

$0\lt x\leq1$

$-1\lt x\lt0$

$0\lt x\lt1$

Respuesta: E

Conceptos:logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Un logaritmo real requiere un argumento positivo

A real logarithm requires a positive argument

Pista grande:

Compara $x$ con $10^0$

Compare $x$ with $10^0$

Solución:

El logaritmo es real solo si $x\gt0.$ Como la base $10$ es mayor que $1,$ la desigualdad $\log_{10}x\lt0=\log_{10}1$ implica $x\lt1.$

Así, la respuesta correcta es E.

The logarithm is real only for $x\gt0.$ Since base $10$ is greater than $1,$ $\log_{10}x\lt0=\log_{10}1$ implies $x\lt1.$

Thus, the correct answer is E.

6.

El triángulo $BAD$ es rectángulo en $B.$ En $AD$ hay un punto $C$ tal que $AC=CD$ y $AB=BC.$ La medida del ángulo $DAB,$ en grados, es:

Triangle $BAD$ is right-angled at $B.$ On $AD$ there is a point $C$ for which $AC=CD$ and $AB=BC.$ The magnitude of angle $DAB,$ in degrees, is:

$67\dfrac12$

$60$

$45$

$30$

$22\dfrac12$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo punto medio triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices

A midpoint of a right triangle’s hypotenuse is equidistant from all three vertices

Pista grande:

Usa $AB=BC=AC$

Use $AB=BC=AC$

Solución:

Como $C$ es el punto medio de la hipotenusa $AD,$ se tiene $AC=BC=CD.$ Dado que $AB=BC,$ el triángulo $ABC$ es equilátero. Por tanto, $\angle DAB=\angle CAB=60^\circ.$

Así, la respuesta correcta es B.

Since $C$ is the midpoint of hypotenuse $AD,$ $AC=BC=CD.$ Given $AB=BC,$ triangle $ABC$ is equilateral. Thus $\angle DAB=\angle CAB=60^\circ.$

Therefore, the correct answer is B.

7.

Dadas las cuatro ecuaciones:

$\begin{aligned} (1)\quad&3y-2x=12,\\ (2)\quad&-2x-3y=10,\\ (3)\quad&3y+2x=12,\\ (4)\quad&2y+3x=10. \end{aligned}$

El par que representa rectas perpendiculares es:

Given the four equations:

$\begin{aligned} (1)\quad&3y-2x=12,\\ (2)\quad&-2x-3y=10,\\ (3)\quad&3y+2x=12,\\ (4)\quad&2y+3x=10. \end{aligned}$

The pair representing perpendicular lines is:

$(1)$ y $(4)$

$(1)$ and $(4)$

$(1)$ y $(3)$

$(1)$ and $(3)$

$(1)$ y $(2)$

$(1)$ and $(2)$

$(2)$ y $(4)$

$(2)$ and $(4)$

$(2)$ y $(3)$

$(2)$ and $(3)$

Respuesta: A

Conceptos:ecuación lineal pendiente

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Reescribe cada ecuación en forma pendiente-intersección

Rewrite each equation in slope-intercept form

Pista grande:

Las pendientes de dos rectas no verticales perpendiculares tienen producto $-1$

Perpendicular nonvertical lines have slopes whose product is $-1$

Solución:

La recta $(1)$ tiene pendiente $\frac{2}{3},$ y la recta $(4)$ tiene pendiente $-\frac{3}{2}.$ Su producto es $-1,$ así que estas dos rectas son perpendiculares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Line $(1)$ has slope $\frac{2}{3},$ and line $(4)$ has slope $-\frac{3}{2}.$ Their product is $-1,$ so these two lines are perpendicular.

Thus, the correct answer is A.

8.

El menor entero positivo $x$ para el cual $1260x=N^3,$ donde $N$ es un entero, es:

The smallest positive integer $x$ for which $1260x=N^3,$ where $N$ is an integer, is:

$1050$

$1260$

$1260^2$

$7350$

$44{,}100$

Respuesta: D

Conceptos:factorización en primos potencia perfecta

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Factoriza $1260$ en primos

Factor $1260$ into primes

Pista grande:

Eleva cada exponente primo hasta el siguiente múltiplo de $3$

Raise every prime exponent to the next multiple of $3$

Solución:

Como $1260=2^2\cdot3^2\cdot5\cdot7,$ el menor multiplicador que hace que todos los exponentes sean divisibles por $3$ es $2\cdot3\cdot5^2\cdot7^2=7350.$

Así, la respuesta correcta es D.

Since $1260=2^2\cdot3^2\cdot5\cdot7,$ the least multiplier making every exponent divisible by $3$ is $2\cdot3\cdot5^2\cdot7^2=7350.$

Thus, the correct answer is D.

9.

En el desarrollo de $\left(a-\dfrac1{\sqrt a}\right)^7$ , el coeficiente de $a^{-\frac{1}{2}}$ es:

In the expansion of $\left(a-\dfrac1{\sqrt a}\right)^7$ the coefficient of $a^{-\frac{1}{2}}$ is:

$-7$

$7$

$-21$

$21$

$35$

Respuesta: C

Conceptos:teorema del binomio exponente

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

El término que elige el segundo sumando $r$ veces tiene exponente $7-\frac{3r}{2}$

The term choosing the second summand $r$ times has exponent $7-\frac{3r}{2}$

Pista grande:

Iguala ese exponente a $-\frac{1}{2}$ antes de hallar el coeficiente binomial y el signo

Set that exponent equal to $-\frac{1}{2}$ before finding the binomial coefficient and sign

Solución:

El término que usa $-a^{-\frac{1}{2}}$ exactamente $r$ veces tiene exponente $7-r-\frac{r}{2}=7-\frac{3r}{2}.$ Al igualarlo a $-\frac{1}{2}$ se obtiene $r=5.$ Su coeficiente es $\binom75(-1)^5=-21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The term using $-a^{-\frac{1}{2}}$ exactly $r$ times has exponent $7-r-\frac{r}{2}=7-\frac{3r}{2}.$ Setting this to $-\frac{1}{2}$ gives $r=5.$ Its coefficient is $\binom75(-1)^5=-21.$

Therefore, the correct answer is C.

10.

Se toma un punto $P$ en el interior de un cuadrado de lado $a$ , de manera que equidista de dos vértices consecutivos y del lado opuesto a esos vértices. Si $d$ representa la distancia común, entonces $d$ es igual a:

Point $P$ is taken interior to a square with side-length $a$ and such that it is equally distant from two consecutive vertices and from the side opposite these vertices. If $d$ represents the common distance, then $d$ equals:

$\dfrac{3a}{5}$

$\dfrac{5a}{8}$

$\dfrac{3a}{8}$

$\dfrac{a\sqrt2}{2}$

$\dfrac a2$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrado (geometría)mediatriz fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Las distancias iguales a dos vértices consecutivos sitúan a $P$ en la mediatriz del segmento que los une

The equal distances to two consecutive vertices put $P$ on their perpendicular bisector

Pista grande:

Si la distancia al lado opuesto es $d,$ usa un triángulo rectángulo con catetos $\frac{a}{2}$ y $a-d$

If the distance to the opposite side is $d,$ use a right triangle with legs $\frac{a}{2}$ and $a-d$

Solución:

Coloca el lado opuesto a altura $0$ y los dos vértices a altura $a.$ Entonces $P=(\frac{a}{2},d).$ Igualar la distancia al vértice con $d$ da $\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2,$ de modo que $\frac{5a^2}{4}=2ad$ y $d=\frac{5a}{8}.$

Así, la respuesta correcta es B.

Place the opposite side at height $0$ and the two vertices at height $a.$ Then $P=(\frac{a}{2},d).$ Equality of the vertex distance and $d$ gives $\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2,$ so $\frac{5a^2}{4}=2ad$ and $d=\frac{5a}{8}.$

Thus, the correct answer is B.

11.

La media aritmética de un conjunto de $50$ números es $38.$ Si se eliminan dos números del conjunto, concretamente $45$ y $55,$ la media aritmética de los números restantes es:

The arithmetic mean of a set of $50$ numbers is $38.$ If two numbers of the set, namely $45$ and $55,$ are discarded, the arithmetic mean of the remaining set of numbers is:

$38.5$

$37.5$

$37$

$36.5$

$36$

Respuesta: B

Conceptos:media operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Recupera la suma original a partir de la media

Recover the original sum from the mean

Pista grande:

Resta $45+55$ y divide entre $48$

Subtract $45+55$ and divide by $48$

Solución:

La suma original es $50\cdot38=1900.$ Después de eliminar $45+55=100,$ la suma restante es $1800,$ así que la nueva media es $\frac{1800}{48}=37.5.$

Así, la respuesta correcta es B.

The original sum is $50\cdot38=1900.$ After removing $45+55=100,$ the remaining sum is $1800,$ so the new mean is $\frac{1800}{48}=37.5.$

Thus, the correct answer is B.

12.

Tres vértices del paralelogramo $PQRS$ son $P(-3,-2),$ $Q(1,-5),$ $R(9,1)$ , con $P$ y $R$ como vértices opuestos. La suma de las coordenadas del vértice $S$ es:

Three vertices of parallelogram $PQRS$ are $P(-3,-2),$ $Q(1,-5),$ $R(9,1)$ with $P$ and $R$ diagonally opposite. The sum of the coordinates of vertex $S$ is:

$13$

$12$

$11$

$10$

$9$

Respuesta: E

Conceptos:paralelogramo geometría analítica punto medio

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan

The diagonals of a parallelogram bisect each other

Pista grande:

Usa la relación vectorial $P+R=Q+S$

Use the vector relation $P+R=Q+S$

Solución:

Como $P+R=Q+S,$ $\begin{aligned} S&=P+R-Q\\ &=(-3,-2)+(9,1)-(1,-5)\\ &=(5,4). \end{aligned}$ La suma de las coordenadas es $5+4=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $P+R=Q+S,$ $\begin{aligned} S&=P+R-Q\\ &=(-3,-2)+(9,1)-(1,-5)\\ &=(5,4). \end{aligned}$ The coordinate sum is $5+4=9.$

Therefore, the correct answer is E.

13.

Si $2^a+2^b=3^c+3^d,$ ¿cuántos de los enteros $a,$ $b,$ $c,$ $d$ pueden ser negativos como máximo?

If $2^a+2^b=3^c+3^d,$ the number of integers $a,$ $b,$ $c,$ $d$ which can possibly be negative is, at most:

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

Respuesta: E

Conceptos:exponente divisibilidad paridad

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Un denominador reducido del lado izquierdo solo puede contener $2,$ mientras que uno del lado derecho solo puede contener $3$

A reduced denominator on the left can contain only $2,$ while one on the right can contain only $3$

Pista grande:

Concluye que ambos lados deben ser enteros y luego analiza cuándo una suma de dos potencias negativas puede ser entera

Conclude both sides must be integers, then examine when a sum of two negative powers can be integral

Solución:

En forma reducida, el lado izquierdo solo puede tener una potencia de $2$ en el denominador, mientras que el lado derecho solo puede tener una potencia de $3.$ La igualdad obliga entonces a que ambos lados sean enteros. Si $c$ o $d$ fuera negativo, $3^c+3^d$ conservaría un factor $3$ en el denominador. Por tanto, $c,d\geq0.$

De igual manera, un valor negativo de $a$ o $b$ solo puede dar un entero en el caso excepcional $a=b=-1,$ cuya suma es $1.$ Pero $3^c+3^d\geq2.$ Por ello, también $a,b\geq0$ , así que ninguno puede ser negativo.

Así, la respuesta correcta es E.

In lowest terms, the left side can have only a power of $2$ in its denominator, while the right side can have only a power of $3.$ Equality therefore forces both sides to be integers. If either $c$ or $d$ were negative, $3^c+3^d$ would retain a factor $3$ in its denominator. Thus $c,d\geq0.$

Likewise, negative $a$ or $b$ can give an integer only in the exceptional case $a=b=-1,$ whose sum is $1.$ But $3^c+3^d\geq2.$ Hence $a,b\geq0$ as well, so none can be negative.

Thus, the correct answer is E.

14.

Dadas las ecuaciones $x^2+kx+6=0$ y $x^2-kx+6=0.$ Si, al ordenar adecuadamente las raíces, cada raíz de la segunda ecuación es $5$ mayor que la raíz correspondiente de la primera, entonces $k$ es igual a:

Given the equations $x^2+kx+6=0$ and $x^2-kx+6=0.$ If, when the roots of the equations are suitably listed, each root of the second equation is $5$ more than the corresponding root of the first equation, then $k$ equals:

$5$

$-5$

$7$

$-7$

ninguna de estas opciones

none of these

Respuesta: A

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Compara las sumas de los dos pares de raíces

Compare the sums of the two pairs of roots

Pista grande:

Sumar $5$ a cada raíz aumenta su suma en $10$

Adding $5$ to each root increases their sum by $10$

Solución:

El primer par de raíces tiene suma $-k,$ mientras que el segundo tiene suma $k.$ Como ambas raíces aumentan en $5,$ se tiene $k=-k+10,$ de modo que $k=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first pair of roots has sum $-k,$ while the second has sum $k.$ Since both roots increase by $5,$ $k=-k+10,$ so $k=5.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

Un círculo está inscrito en un triángulo equilátero y un cuadrado está inscrito en el círculo. La razón entre el área del triángulo y la del cuadrado es:

A circle is inscribed in an equilateral triangle, and a square is inscribed in the circle. The ratio of the area of the triangle to the area of the square is:

$\sqrt3:1$

$\sqrt3:\sqrt2$

$3\sqrt3:2$

$3:\sqrt2$

$3:2\sqrt2$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero circunferencia inscrita, incentro e inradio cuadrado (geometría)razón de áreas

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Expresa ambas áreas mediante el radio $r$ del círculo

Express both areas using the circle’s radius $r$

Pista grande:

El lado del triángulo es $2\sqrt3r$ y la diagonal del cuadrado es $2r$

The triangle’s side is $2\sqrt3r$ and the square’s diagonal is $2r$

Solución:

Si el círculo tiene radio $r,$ el triángulo equilátero tiene lado $2\sqrt3r$ y área $3\sqrt3r^2.$ El cuadrado tiene lado $r\sqrt2$ y área $2r^2.$ La razón es $3\sqrt3:2.$

Así, la respuesta correcta es C.

If the circle has radius $r,$ the equilateral triangle has side $2\sqrt3r$ and area $3\sqrt3r^2.$ The square has side $r\sqrt2$ and area $2r^2.$ The ratio is $3\sqrt3:2.$

Thus, the correct answer is C.

16.

Tres números no nulos $a,$ $b,$ $c$ forman una progresión aritmética. Aumentar $a$ en $1$ o aumentar $c$ en $2$ produce una progresión geométrica. Entonces $b$ es igual a:

Three numbers $a,$ $b,$ $c,$ none zero, form an arithmetic progression. Increasing $a$ by $1$ or increasing $c$ by $2$ results in a geometric progression. Then $b$ equals:

$16$

$14$

$12$

$10$

$8$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Traduce las tres condiciones de progresión en ecuaciones que contengan $b^2$ y $a+c$

Translate the three progression conditions into equations involving $b^2$ and $a+c$

Pista grande:

Compara primero $(a+1)c=b^2=a(c+2)$

Compare $(a+1)c=b^2=a(c+2)$ first

Solución:

Las condiciones dan $\begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2). \end{gathered}$ Comparando las dos últimas se obtiene $c=2a.$ Así, $b=\frac{3a}{2},$ y $\frac{9a^2}{4}=2a(a+1).$ Como $a\ne0,$ resulta $a=8,$ y por tanto $b=12.$

Así, la respuesta correcta es C.

The conditions give $\begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2). \end{gathered}$ Comparing the last two yields $c=2a.$ Thus $b=\frac{3a}{2},$ and $\frac{9a^2}{4}=2a(a+1).$ Since $a\ne0,$ $a=8,$ so $b=12.$

Therefore, the correct answer is C.

17.

La expresión

$\frac{\dfrac{a}{a+y}+\dfrac{y}{a-y}} {\dfrac{y}{a+y}-\dfrac{a}{a-y}},$

con $a$ real y $a\ne0,$ tiene el valor $-1$ para:

The expression

$\frac{\dfrac{a}{a+y}+\dfrac{y}{a-y}} {\dfrac{y}{a+y}-\dfrac{a}{a-y}},$

$a$ real, $a\ne0,$ has the value $-1$ for:

todos los valores reales de $y$ salvo dos

all but two real values of $y$

solo dos valores reales de $y$

only two real values of $y$

todos los valores reales de $y$

all real values of $y$

solo un valor real de $y$

only one real value of $y$

ningún valor real de $y$

no real values of $y$

Respuesta: A

Conceptos:fracción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Combina por separado las dos fracciones del numerador y del denominador

Combine the two fractions in the numerator and denominator separately

Pista grande:

Ten en cuenta los valores excluidos $y=\pm a$

Keep track of the excluded values $y=\pm a$

Solución:

Para $y\ne\pm a,$ el numerador se simplifica a $\frac{a^2+y^2}{a^2-y^2}$ y el denominador a su opuesto. Por tanto, el cociente es $-1.$ La expresión no está definida para $y=a$ ni para $y=-a.$

Así, la respuesta correcta es A.

For $y\ne\pm a,$ the numerator simplifies to $\frac{a^2+y^2}{a^2-y^2}$ and the denominator to its negative. Their quotient is therefore $-1.$ The two values $y=a$ and $y=-a$ are undefined.

Thus, the correct answer is A.

18.

La cuerda $EF$ es la mediatriz de la cuerda $BC,$ a la que corta en $M.$ Se toma un punto $U$ entre $B$ y $M$ , y la prolongación de $EU$ corta al círculo en $A.$ Para cualquier elección de $U$ descrita así, el triángulo $EUM$ es semejante al triángulo:

Chord $EF$ is the perpendicular bisector of chord $BC,$ intersecting it in $M.$ Between $B$ and $M$ point $U$ is taken, and $EU$ extended meets the circle in $A.$ Then, for any selection of $U,$ as described, triangle $EUM$ is similar to triangle:

$EFA$

$EFC$

$ABM$

$ABU$

$FMC$

Respuesta: A

Conceptos:cuerda círculo semejanza

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Como la mediatriz de una cuerda pasa por el centro, $EF$ es un diámetro

Because the perpendicular bisector of a chord passes through the center, $EF$ is a diameter

Pista grande:

Compara los ángulos rectos y el ángulo común en $E$

Compare the right angles and the shared angle at $E$

Solución:

Como $EF$ es un diámetro, $\angle EAF=90^\circ.$ Además, $EF\perp BC,$ así que $\angle EMU=90^\circ.$ Como $E,U,A$ son colineales, los dos triángulos comparten el mismo ángulo agudo en $E.$ Por ello, $\triangle EUM\sim\triangle EFA.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $EF$ is a diameter, $\angle EAF=90^\circ.$ Also $EF\perp BC,$ so $\angle EMU=90^\circ.$ Because $E,U,A$ are collinear, the two triangles share the same acute angle at $E.$ Hence $\triangle EUM\sim\triangle EFA.$

Therefore, the correct answer is A.

19.

Al contar $n$ bolas de colores, unas rojas y otras negras, se encontró que $49$ de las primeras $50$ eran rojas. A partir de entonces, $7$ de cada $8$ bolas contadas eran rojas. Si al menos el $90\%$ de todas las bolas contadas eran rojas, el valor máximo de $n$ es:

In counting $n$ colored balls, some red and some black, it was found that $49$ of the first $50$ counted were red. Thereafter, $7$ out of every $8$ counted were red. If, in all, $90\%$ or more of the balls counted were red, the maximum value of $n$ is:

$225$

$210$

$200$

$180$

$175$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje desigualdad tasa

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Escribe el número de bolas rojas como $49+\frac78(n-50)$

Write the number of red balls as $49+\frac78(n-50)$

Pista grande:

Exige que esa cantidad sea al menos $0.9n$

Require that quantity to be at least $0.9n$

Solución:

La condición es $49+\frac78(n-50)\geq\frac9{10}n.$ Al simplificar se obtiene $\frac{21}{4}\geq \frac{n}{40},$ así que $n\leq210.$ El máximo es $210.$

Así, la respuesta correcta es B.

The condition is $49+\frac78(n-50)\geq\frac9{10}n.$ Simplifying gives $\frac{21}{4}\geq \frac{n}{40},$ so $n\leq210.$ The maximum is $210.$

Thus, the correct answer is B.

20.

Dos hombres situados en los puntos $R$ y $S,$ separados por $76$ millas, parten al mismo tiempo caminando uno hacia el otro. El hombre en $R$ camina uniformemente a $4\dfrac12$ millas por hora; el hombre en $S$ camina a $3\dfrac14$ millas por hora durante la primera hora, a $3\dfrac34$ millas por hora durante la segunda, y así sucesivamente en progresión aritmética. Si se encuentran después de un número entero de horas en un punto que está $x$ millas más cerca de $R$ que de $S$ , entonces $x$ es:

Two men at points $R$ and $S,$ $76$ miles apart, set out at the same time to walk towards each other. The man at $R$ walks uniformly at $4\dfrac12$ miles per hour; the man at $S$ walks at $3\dfrac14$ miles per hour for the first hour, at $3\dfrac34$ miles per hour for the second hour, and so on, in arithmetic progression. If the men meet $x$ miles nearer $R$ than $S$ in an integral number of hours, then $x$ is:

$10$

$8$

$6$

$4$

$2$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Sea $h$ el número entero de horas hasta el encuentro y suma las distancias horarias del segundo hombre

Let the integral meeting time be $h$ hours and sum the second man’s hourly distances

Pista grande:

La ecuación de la distancia combinada se simplifica a $h^2+30h-304=0$

Their combined distance equation simplifies to $h^2+30h-304=0$

Solución:

En $h$ horas, el primer hombre camina $\frac{9h}{2}.$ El segundo recorre la suma de la progresión aritmética $\begin{aligned} &\frac h2\left(2\cdot\frac{13}{4} +(h-1)\frac12\right)\\ &\qquad=3h+\frac{h^2}{4}. \end{aligned}$ Sus distancias suman $76,$ lo que da $h^2+30h-304=0,$ cuya raíz positiva es $h=8.$ Recorren $36$ y $40$ millas, de modo que el punto de encuentro está $4$ millas más cerca de $R$ que de $S.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In $h$ hours the first man walks $\frac{9h}{2}.$ The second walks an arithmetic-series total $\begin{aligned} &\frac h2\left(2\cdot\frac{13}{4} +(h-1)\frac12\right)\\ &\qquad=3h+\frac{h^2}{4}. \end{aligned}$ Their distances sum to $76,$ giving $h^2+30h-304=0,$ whose positive root is $h=8.$ They walk $36$ and $40$ miles, so the meeting point is $4$ miles nearer $R$ than $S.$

Thus, the correct answer is D.

21.

La expresión $x^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z$ tiene:

The expression $x^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z$ has:

ningún factor lineal con coeficientes enteros y exponentes enteros

no linear factor with integer coefficients and integer exponents

el factor $-x+y+z$

the factor $-x+y+z$

el factor $x-y-z+1$

the factor $x-y-z+1$

el factor $x+y-z+1$

the factor $x+y-z+1$

el factor $x-y+z+1$

the factor $x-y+z+1$

Respuesta: E

Conceptos:diferencia de cuadrados factorización sustitución

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Agrupa $y-z$ como una sola expresión

Group $y-z$ as a single expression

Pista grande:

Reescribe el polinomio como $x^2-(y-z)^2+x+(y-z)$

Rewrite the polynomial as $x^2-(y-z)^2+x+(y-z)$

Solución:

Sea $u=y-z.$ Los dos grupos se factorizan como $\begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1. \end{gathered}$ Por tanto, toda la expresión es $(x+u)(x-u+1),$ y uno de sus factores es $x-y+z+1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $u=y-z.$ The two groups factor as $\begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1. \end{gathered}$ Thus the whole expression is $(x+u)(x-u+1),$ and one factor is $x-y+z+1.$

Therefore, the correct answer is E.

22.

El triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en un círculo con centro $O;$ $\overset{\frown}{AB}=120^\circ$ y $\overset{\frown}{BC}=72^\circ.$ Se toma un punto $E$ en el arco menor $AC$ tal que $OE$ es perpendicular a $AC.$ Entonces la razón entre las medidas de los ángulos $OBE$ y $BAC$ es:

Acute-angled triangle $ABC$ is inscribed in a circle with center at $O;$ $\overset{\frown}{AB}=120^\circ$ and $\overset{\frown}{BC}=72^\circ.$ A point $E$ is taken in minor arc $AC$ such that $OE$ is perpendicular to $AC.$ Then the ratio of the magnitudes of angles $OBE$ and $BAC$ is:

$\dfrac5{18}$

$\dfrac29$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac49$

Respuesta: D

Conceptos:arco ángulo inscrito triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Halla el arco menor $AC,$ y luego usa $OE\perp AC$ para situar $E$ en su punto medio

Find minor arc $AC,$ then use $OE\perp AC$ to locate $E$ at its midpoint

Pista grande:

Calcula el ángulo central $BOE$ y el ángulo inscrito $BAC$

Compute the central angle $BOE$ and the inscribed angle $BAC$

Solución:

El arco menor $AC$ mide $360^\circ-120^\circ-72^\circ=168^\circ.$ Como $OE\perp AC,$ el punto $E$ biseca ese arco, por lo que $\angle BOE=72^\circ+84^\circ=156^\circ.$ El triángulo isósceles $OBE$ da $\angle OBE=12^\circ,$ mientras que $\angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$ Su razón es $\frac{1}{3}.$

Así, la respuesta correcta es D.

Minor arc $AC$ has measure $360^\circ-120^\circ-72^\circ=168^\circ.$ Since $OE\perp AC,$ $E$ bisects that arc, so $\angle BOE=72^\circ+84^\circ=156^\circ.$ Isosceles triangle $OBE$ gives $\angle OBE=12^\circ,$ while $\angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$ Their ratio is $\frac{1}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

$A$ le da a $B$ tantos centavos como tiene $B$ y a $C$ tantos centavos como tiene $C$ . Después, $B$ da de igual manera a $A$ y a $C$ tantos centavos como tiene cada uno en ese momento. Luego $C$ , de la misma forma, da a $A$ y a $B$ tantos centavos como tiene cada uno. Si al final cada uno tiene $16$ centavos, ¿con cuántos centavos comienza $A$ ?

$A$ gives $B$ as many cents as $B$ has and $C$ as many cents as $C$ has. Similarly, $B$ then gives $A$ and $C$ as many cents as each then has. $C$ , similarly, then gives $A$ and $B$ as many cents as each then has. If each finally has $16$ cents, with how many cents does $A$ start?

$24$

$26$

$28$

$30$

$32$

Respuesta: B

Conceptos:dinero trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Trabaja hacia atrás desde las cantidades finales

Work backward from the final holdings

Pista grande:

Justo antes de que alguien entregue dinero, cada receptor debe tener la mitad de lo que tiene inmediatamente después

Immediately before someone gives, each recipient must have half of the amount held just after that gift

Solución:

Invierte las transacciones. Antes de que $C$ entregue dinero, las cantidades son $(8,8,32).$ Antes de que $B$ entregue dinero, son $(4,28,16).$ Antes de que $A$ entregue dinero, $B$ y $C$ deben tener $14$ y $8$ centavos, mientras que $A$ tiene $4+14+8=26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Reverse the transactions. Before $C$ gives, the holdings are $(8,8,32).$ Before $B$ gives, they are $(4,28,16).$ Before $A$ gives, $B$ and $C$ must have had $14$ and $8,$ while $A$ had $4+14+8=26.$

Therefore, the correct answer is B.

24.

Considera ecuaciones de la forma $x^2+bx+c=0.$ ¿Cuántas de estas ecuaciones tienen raíces reales y coeficientes $b$ y $c$ elegidos del conjunto de enteros $\{1,2,3,4,5,6\}$ ?

Consider equations of the form $x^2+bx+c=0.$ How many such equations have real roots and have coefficients $b$ and $c$ selected from the set of integers $\{1,2,3,4,5,6\}?$

$20$

$19$

$18$

$17$

$16$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática conteo básico desigualdad

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Las raíces reales requieren $b^2\geq4c$

Real roots require $b^2\geq4c$

Pista grande:

Para cada $c=1,\ldots,6,$ cuenta los valores permitidos de $b$

For each $c=1,\ldots,6,$ count the allowed values of $b$

Solución:

Para $c$ igual a $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ y $6,$ la condición $b^2\geq4c$ permite respectivamente $5,$ $4,$ $3,$ $3,$ $2,$ y $2$ valores de $b$ en el conjunto dado. Su suma es $5+4+3+3+2+2=19.$

Así, la respuesta correcta es B.

For $c$ equal to $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ and $6,$ the condition $b^2\geq4c$ permits respectively $5,$ $4,$ $3,$ $3,$ $2,$ and $2$ values of $b$ in the given set. Their sum is $5+4+3+3+2+2=19.$

Thus, the correct answer is B.

25.

Se toma el punto $F$ en el lado $AD$ del cuadrado $ABCD.$ Por $C$ se traza una perpendicular a $CF,$ que corta a la prolongación de $AB$ en $E.$ El área de $ABCD$ es $256$ pulgadas cuadradas y el área del triángulo $CEF$ es $200$ pulgadas cuadradas. Entonces el número de pulgadas de $BE$ es:

Point $F$ is taken in side $AD$ of square $ABCD.$ At $C$ a perpendicular is drawn to $CF,$ meeting $AB$ extended at $E.$ The area of $ABCD$ is $256$ square inches and the area of triangle $CEF$ is $200$ square inches. Then the number of inches in $BE$ is:

$12$

$14$

$15$

$16$

$20$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrado (geometría)congruencia (geometría)área del triángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Demuestra que los triángulos rectángulos $CDF$ y $CBE$ son congruentes

Show that right triangles $CDF$ and $CBE$ are congruent

Pista grande:

Entonces $CF=CE,$ así que usa el área del triángulo rectángulo $CEF$

Then $CF=CE,$ so use the area of right triangle $CEF$

Solución:

Los ángulos agudos complementarios y los lados iguales del cuadrado dan $\triangle CDF\cong\triangle CBE,$ y por tanto $CF=CE.$ Como $CF\perp CE,$ $\begin{aligned} 200=[CEF] &=\frac12 CE\cdot CF\\ &=\frac12CE^2, \end{aligned}$ de modo que $CE=20.$ El lado del cuadrado mide $16,$ y el triángulo rectángulo $CBE$ da $BE=\sqrt{20^2-16^2}=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The complementary acute angles and the equal square sides give $\triangle CDF\cong\triangle CBE,$ hence $CF=CE.$ Since $CF\perp CE,$ $\begin{aligned} 200=[CEF] &=\frac12 CE\cdot CF\\ &=\frac12CE^2, \end{aligned}$ so $CE=20.$ The square side is $16,$ and right triangle $CBE$ gives $BE=\sqrt{20^2-16^2}=12.$

Therefore, the correct answer is A.

26.

Forma I. Considera los enunciados

$\begin{aligned} (1)\quad&p\land\neg q\land r,\\ (2)\quad&\neg p\land\neg q\land r,\\ (3)\quad&p\land\neg q\land\neg r,\\ (4)\quad&\neg p\land q\land r, \end{aligned}$

donde $p,$ $q,$ $r$ son proposiciones. ¿Cuántos de ellos implican la verdad de $(p\to q)\to r$ ?

Forma II. Considera los enunciados $(1)$ $p$ y $r$ son verdaderos y $q$ es falso, $(2)$ $r$ es verdadero y $p$ y $q$ son falsos, $(3)$ $p$ es verdadero y $q$ y $r$ son falsos, $(4)$ $q$ y $r$ son verdaderos y $p$ es falso. ¿Cuántos de ellos implican la verdad del enunciado « $r$ está implicado por la afirmación de que $p$ implica $q$ »?

Form I. Consider the statements

$\begin{aligned} (1)\quad&p\land\neg q\land r,\\ (2)\quad&\neg p\land\neg q\land r,\\ (3)\quad&p\land\neg q\land\neg r,\\ (4)\quad&\neg p\land q\land r, \end{aligned}$

where $p,$ $q,$ $r$ are propositions. How many of these imply the truth of $(p\to q)\to r?$

Form II. Consider the statements $(1)$ $p$ and $r$ are true and $q$ is false, $(2)$ $r$ is true and $p$ and $q$ are false, $(3)$ $p$ is true and $q$ and $r$ are false, $(4)$ $q$ and $r$ are true and $p$ is false. How many of these imply the truth of the statement “ $r$ is implied by the statement that $p$ implies $q$ ”?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: E

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Una implicación es falsa solo cuando su antecedente es verdadero y su consecuente es falso

An implication is false only when its antecedent is true and its consequent is false

Pista grande:

Evalúa primero $p\to q$ en cada una de las cuatro asignaciones

Evaluate $p\to q$ first in each of the four assignments

Solución:

En los casos $(1)$ y $(3),$ la proposición $p\to q$ es falsa, así que la implicación exterior es verdadera. En los casos $(2)$ y $(4),$ la proposición $p\to q$ es verdadera, pero $r$ también es verdadera, por lo que la implicación exterior vuelve a ser verdadera. Los cuatro enunciados la implican.

Así, la respuesta correcta es E.

In cases $(1)$ and $(3),$ $p\to q$ is false, so the outer implication is true. In cases $(2)$ and $(4),$ $p\to q$ is true, but $r$ is also true, so the outer implication is again true. All four statements imply it.

Thus, the correct answer is E.

27.

Se trazan seis rectas en un plano, sin que dos sean paralelas ni tres sean concurrentes. El número de regiones en que dividen el plano es:

Six straight lines are drawn in a plane with no two parallel and no three concurrent. The number of regions into which they divide the plane is:

$16$

$20$

$22$

$24$

$26$

Respuesta: C

Conceptos:conteo de regiones conteo de intersecciones sumatoria

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Las rectas anteriores cortan la $k$ -ésima recta en $k$ partes

The $k$ th line is cut into $k$ pieces by the previous lines

Pista grande:

Empieza con una región y suma $1+2+\cdots+6$

Start with one region and add $1+2+\cdots+6$

Solución:

Las rectas sucesivas crean $1,2,\ldots,6$ regiones nuevas. Por tanto, el total es $1+\sum_{k=1}^{6}k=1+21=22.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Successive lines create $1,2,\ldots,6$ new regions. Thus the total is $1+\sum_{k=1}^{6}k=1+21=22.$

Therefore, the correct answer is C.

28.

Dada la ecuación $3x^2-4x+k=0$ con raíces reales, el valor de $k$ para el cual el producto de las raíces es máximo es:

Given the equation $3x^2-4x+k=0$ with real roots. The value of $k$ for which the product of the roots of the equation is a maximum is:

$\dfrac{16}{9}$

$\dfrac{16}{3}$

$\dfrac49$

$\dfrac43$

$-\dfrac43$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta optimización

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

El producto de las raíces es $\frac{k}{3}$

The product of the roots is $\frac{k}{3}$

Pista grande:

Usa la condición del discriminante para hallar el mayor $k$ permitido

Use the discriminant condition to find the largest allowed $k$

Solución:

Las raíces reales requieren $16-12k\geq0,$ así que $k\leq\frac{4}{3}.$ El producto de las raíces es $\frac{k}{3},$ que crece con $k.$ Por tanto, es máximo cuando $k=\frac{4}{3}.$

Así, la respuesta correcta es D.

Real roots require $16-12k\geq0,$ so $k\leq\frac{4}{3}.$ The root product is $\frac{k}{3},$ which increases with $k.$ It is therefore largest at $k=\frac{4}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

29.

Una partícula lanzada verticalmente hacia arriba alcanza, al cabo de $t$ segundos, una altura de $s$ pies, donde $s=160t-16t^2.$ La altura máxima es:

A particle projected vertically upward reaches, at the end of $t$ seconds, an elevation of $s$ feet where $s=160t-16t^2.$ The highest elevation is:

$800$

$640$

$400$

$320$

$160$

Respuesta: C

Conceptos:cuadrática optimización

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

La altura es una cuadrática que abre hacia abajo

The height is a downward-opening quadratic

Pista grande:

Halla el tiempo del vértice usando $-\frac{b}{2a}$

Find its vertex time using $-\frac{b}{2a}$

Solución:

El vértice se alcanza cuando $t=-\frac{160}{2\cdot-16}=5.$ Entonces $s(5)=160(5)-16(25)=400.$

Así, la respuesta correcta es C.

The vertex occurs at $t=-\frac{160}{2\cdot-16}=5.$ Then $s(5)=160(5)-16(25)=400.$

Thus, the correct answer is C.

30.

Sea

$F=\log\frac{1+x}{1-x}.$

Obtén una nueva función $G$ reemplazando cada $x$ de $F$ por

$\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$

y simplifica. La expresión simplificada $G$ es igual a:

Let

$F=\log\frac{1+x}{1-x}.$

Form a new function $G$ by replacing each $x$ in $F$ by

$\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$

and simplify. The simplified expression $G$ is equal to:

$-F$

$F$

$3F$

$F^3$

$F^3-F$

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo factorización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Llama $u$ a la fracción sustituida y simplifica $\frac{1+u}{1-u}$

Call the substituted fraction $u$ and simplify $\frac{1+u}{1-u}$

Pista grande:

Su numerador y su denominador se factorizan como cubos

Its numerator and denominator factor as cubes

Solución:

Para $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$ $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}$ Por tanto, $G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3,$ así que $G=3F.$

Así, la respuesta correcta es C.

For $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$ $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}$ Therefore $G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3,$ so $G=3F.$

Thus, the correct answer is C.

31.

El número de soluciones en enteros positivos de $2x+3y=763$ es:

The number of solutions in positive integers of $2x+3y=763$ is:

$255$

$254$

$128$

$127$

$0$

Respuesta: D

Conceptos:Ecuación diofántica paridad conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Despeja $x=\frac{763-3y}{2}$

Solve for $x=\frac{763-3y}{2}$

Pista grande:

Para que $x$ sea un entero positivo, $y$ debe ser un entero positivo impar menor que $\frac{763}{3}$

Positive integral $x$ requires $y$ to be an odd positive integer below $\frac{763}{3}$

Solución:

Necesitamos que $y$ sea impar para que $763-3y$ sea par, y la positividad da $1\leq y\leq253.$ Los valores impares $1,$ $3,$ $\ldots,$ y $253$ son $\frac{253+1}{2}=127.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We need $y$ odd so that $763-3y$ is even, and positivity gives $1\leq y\leq253.$ The odd values $1,$ $3,$ $\ldots,$ and $253$ number $\frac{253+1}{2}=127.$

Therefore, the correct answer is D.

32.

Las dimensiones de un rectángulo $R$ son $a$ y $b,$ con $a\lt b.$ Se quiere obtener un rectángulo de dimensiones $x$ y $y,$ con $x\lt a,$ $y\lt a,$ de modo que su perímetro sea un tercio del de $R,$ y su área sea un tercio de la de $R.$ El número de rectángulos distintos de este tipo es:

The dimensions of a rectangle $R$ are $a$ and $b,$ $a\lt b.$ It is required to obtain a rectangle with dimensions $x$ and $y,$ $x\lt a,$ $y\lt a,$ so that its perimeter is one-third that of $R,$ and its area is one-third that of $R.$ The number of such (different) rectangles is:

$0$

$1$

$2$

$4$

infinitos

infinitely many

Respuesta: A

Conceptos:rectángulo desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Traduce las condiciones en $3(x+y)=a+b$ y $3xy=ab$

Translate the conditions into $3(x+y)=a+b$ and $3xy=ab$

Pista grande:

Divide la ecuación de la suma entre la del producto y compara recíprocos usando $x\lt a,$ $y\lt a,$ y $a\lt b$

Divide the sum equation by the product equation and compare reciprocals using $x\lt a,$ $y\lt a,$ and $a\lt b$

Solución:

Las condiciones dan $3(x+y)=a+b$ y $3xy=ab.$ Al dividir se obtiene $\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b.$ Pero $x\lt a$ y $y\lt a$ hacen que el lado izquierdo sea mayor que $\frac{2}{a},$ mientras que $a\lt b$ hace que el derecho sea menor que $\frac{2}{a}.$ Esto es imposible.

Así, la respuesta correcta es A.

The conditions give $3(x+y)=a+b$ and $3xy=ab.$ Dividing yields $\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b.$ But $x\lt a$ and $y\lt a$ make the left side greater than $\frac{2}{a},$ while $a\lt b$ makes the right side less than $\frac{2}{a}.$ This is impossible.

Thus, the correct answer is A.

33.

Dada la recta $y=\dfrac34x+6$ y una recta $L$ paralela a ella y situada a $4$ unidades de distancia, una posible ecuación de $L$ es:

Given the line $y=\dfrac34x+6$ and a line $L$ parallel to the given line and $4$ units from it. A possible equation for $L$ is:

$y=\dfrac34x+1$

$y=\dfrac34x$

$y=\dfrac34x-\dfrac23$

$y=\dfrac34x-1$

$y=\dfrac34x+2$

Respuesta: A

Conceptos:rectas paralelas fórmula de la distancia pendiente

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Escribe las rectas paralelas como $3x-4y+c=0$

Write parallel lines as $3x-4y+c=0$

Pista grande:

La distancia es el valor absoluto de la diferencia de las constantes dividido entre $5$

The distance equals the absolute difference of constants divided by $5$

Solución:

La recta dada es $3x-4y+24=0.$ Una recta paralela $y=\frac{3x}{4}+b$ es $3x-4y+4b=0,$ por lo que la distancia es $\frac{|24-4b|}{5}.$ Al igualarla a $4$ se obtiene $|6-b|=5,$ de donde $b=1$ o $11.$ La opción A es posible.

Así, la respuesta correcta es A.

The given line is $3x-4y+24=0.$ A parallel line $y=\frac{3x}{4}+b$ is $3x-4y+4b=0,$ so the distance is $\frac{|24-4b|}{5}.$ Setting this equal to $4$ gives $|6-b|=5,$ hence $b=1$ or $11.$ Choice A is possible.

Thus, the correct answer is A.

34.

En el triángulo $ABC,$ el lado $a=\sqrt3,$ el lado $b=\sqrt3,$ y el lado $c\gt3.$ Sea $x$ el mayor número tal que la medida, en grados, del ángulo opuesto al lado $c$ supera a $x.$ Entonces $x$ es igual a:

In triangle $ABC,$ side $a=\sqrt3,$ side $b=\sqrt3,$ and side $c\gt3.$ Let $x$ be the largest number such that the magnitude, in degrees, of the angle opposite side $c$ exceeds $x.$ Then $x$ equals:

$150$

$120$

$105$

$90$

$60$

Respuesta: B

Conceptos:ley de los cosenos desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Usa la ley de los cosenos para el ángulo $C$ opuesto a $c$

Use the law of cosines for the angle $C$ opposite $c$

Pista grande:

Compara $c\gt3$ con el caso límite $c=3$

Compare $c\gt3$ with the limiting case $c=3$

Solución:

La ley de los cosenos da $\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}.$ Como $c\gt3,$ se tiene $\cos C\lt-\frac{1}{2},$ así que $C\gt120^\circ.$ Los valores pueden acercarse a $120^\circ$ cuando $c$ se aproxima a $3$ por encima, por lo que la mayor cota garantizada es $120.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The law of cosines gives $\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}.$ Since $c\gt3,$ $\cos C\lt-\frac{1}{2},$ so $C\gt120^\circ.$ Values can approach $120^\circ$ as $c$ approaches $3$ from above, so the largest guaranteed bound is $120.$

Therefore, the correct answer is B.

35.

Las longitudes de los lados de un triángulo son enteros, y su área también es un entero. Un lado mide $21$ y el perímetro es $48.$ El lado más corto mide:

The lengths of the sides of a triangle are integers, and its area is also an integer. One side is $21$ and the perimeter is $48.$ The shortest side is:

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

Respuesta: B

Conceptos:Fórmula de Herón análisis por casos desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Escribe los otros lados como $x$ y $27-x$ , con semiperímetro $24$

Write the other sides as $x$ and $27-x$ , with semiperimeter $24$

Pista grande:

La fórmula de Herón hace que el área al cuadrado sea $72(24-x)(x-3)$

Heron’s formula makes the squared area $72(24-x)(x-3)$

Solución:

Sean los otros lados $x$ y $27-x,$ con $x\leq27-x.$ El semiperímetro es $24,$ así que la fórmula de Herón da $\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3). \end{aligned}$ Las desigualdades del triángulo dan $4\leq x\leq13.$ Al comprobar estos enteros, la expresión no es un cuadrado para $x=4,\ldots,9,$ mientras que para $x=10$ vale $72\cdot14\cdot7=7056=84^2.$ Por tanto, el lado más corto mide $10.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the other sides be $x$ and $27-x,$ with $x\leq27-x.$ The semiperimeter is $24,$ so Heron’s formula gives $\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3). \end{aligned}$ The triangle inequalities give $4\leq x\leq13.$ Checking these integers, the expression is not a square for $x=4,\ldots,9,$ while at $x=10$ it is $72\cdot14\cdot7=7056=84^2.$ Thus the shortest side is $10.$

Therefore, the correct answer is B.

36.

Una persona comienza con $64$ centavos y hace $6$ apuestas. Gana tres veces y pierde tres veces, con las victorias y derrotas en orden aleatorio, y la probabilidad de ganar es igual a la de perder. Si cada apuesta es por la mitad del dinero que queda en ese momento, entonces el resultado final es:

A person starting with $64$ cents and making $6$ bets, wins three times and loses three times, the wins and losses occurring in random order. The chance for a win is equal to the chance for a loss. If each wager is for half the money remaining at the time of the bet, then the final result is:

una pérdida de $27$ ¢

a loss of $27$ ¢

una ganancia de $27$ ¢

a gain of $27$ ¢

una pérdida de $37$ ¢

a loss of $37$ ¢

ni ganancia ni pérdida

neither a gain nor a loss

una ganancia o una pérdida según el orden de las victorias y derrotas

a gain or a loss depending upon the order in which the wins and losses occur

Respuesta: C

Conceptos:exponente simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Una victoria multiplica la cantidad actual por $\frac{3}{2}$ , mientras que una derrota la multiplica por $\frac{1}{2}$

A win multiplies the current amount by $\frac{3}{2}$ , while a loss multiplies it by $\frac{1}{2}$

Pista grande:

La multiplicación hace que el orden sea irrelevante

Multiplication makes the order irrelevant

Solución:

Después de tres victorias y tres derrotas, la cantidad, en centavos, es $\begin{aligned} 64\left(\frac32\right)^3 \left(\frac12\right)^3 &=64\cdot\frac{27}{64}\\ &=27. \end{aligned}$ La pérdida es de $64-27=37$ centavos, sin importar el orden.

Así, la respuesta correcta es C.

After three wins and three losses, the amount, in cents, is $\begin{aligned} 64\left(\frac32\right)^3 \left(\frac12\right)^3 &=64\cdot\frac{27}{64}\\ &=27. \end{aligned}$ The loss is $64-27=37$ cents, regardless of order.

Thus, the correct answer is C.

37.

Se dan los puntos $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_7$ sobre una recta, en el orden indicado, aunque no necesariamente equiespaciados. Sea $P$ un punto cualquiera de la recta y sea $s$ la suma de las longitudes no dirigidas

$PP_1,\ PP_2,\ \ldots,\ PP_7.$

Entonces $s$ es mínimo si y solo si el punto $P$ está:

Given points $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_7$ on a straight line, in the order stated (not necessarily evenly spaced). Let $P$ be an arbitrarily selected point on the line and let $s$ be the sum of the undirected lengths

$PP_1,\ PP_2,\ \ldots,\ PP_7.$

Then $s$ is smallest if and only if the point $P$ is:

a mitad de camino entre $P_1$ y $P_7$

midway between $P_1$ and $P_7$

a mitad de camino entre $P_2$ y $P_6$

midway between $P_2$ and $P_6$

a mitad de camino entre $P_3$ y $P_5$

midway between $P_3$ and $P_5$

en $P_4$

at $P_4$

en $P_1$

at $P_1$

Respuesta: D

Conceptos:optimización emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Empareja las distancias a $P_1,P_7$ , luego las de $P_2,P_6$ , y finalmente las de $P_3,P_5$

Pair the distances to $P_1,P_7$ , then $P_2,P_6$ , then $P_3,P_5$

Pista grande:

Cada suma emparejada es mínima en todo el segmento entre sus puntos; el punto central no emparejado selecciona una posición

Each paired sum is minimized throughout its intervening segment; the unpaired middle point selects one location

Solución:

Para cualquier par $P_i,P_{8-i},$ la suma $PP_i+PP_{8-i}$ es mínima cuando $P$ está entre ellos. Los tres intervalos de este tipo contienen $P_4.$ El término restante $PP_4$ es mínimo únicamente cuando $P=P_4.$

Así, la respuesta correcta es D.

For any pair $P_i,P_{8-i},$ the sum $PP_i+PP_{8-i}$ is minimized when $P$ lies between them. The three such intervals all contain $P_4.$ The remaining term $PP_4$ is uniquely minimized at $P=P_4.$

Thus, the correct answer is D.

38.

El punto $F$ se toma en la prolongación del lado $AD$ del paralelogramo $ABCD.$ La recta $BF$ corta a la diagonal $AC$ en $E$ y al lado $DC$ en $G.$ Si $EF=32$ y $GF=24,$ entonces $BE$ es igual a:

Point $F$ is taken on the extension of side $AD$ of parallelogram $ABCD.$ $BF$ intersects diagonal $AC$ at $E$ and side $DC$ at $G.$ If $EF=32$ and $GF=24,$ then $BE$ equals:

$4$

$8$

$10$

$12$

$16$

Respuesta: E

Conceptos:paralelogramo vector razón y proporción

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Parametriza los puntos de $FB$ por la fracción de la distancia de $F$ a $B$

Parameterize points on $FB$ by their fraction of the distance from $F$ to $B$

Pista grande:

Si $F=tD$ en coordenadas afines con origen en $A,$ los parámetros de $G$ y $E$ son $\frac{t-1}{t}$ y $\frac{t}{t+1}$

If $F=tD$ in affine coordinates based at $A,$ the parameters of $G$ and $E$ are $\frac{t-1}{t}$ and $\frac{t}{t+1}$

Solución:

Usa coordenadas afines $A=0,$ $B=u,$ $D=v,$ $C=u+v,$ y $F=tv.$ Un punto de $FB$ es $su+t(1-s)v.$ La intersección con $DC$ da $s_G=\frac{t-1}{t},$ mientras que la intersección con $AC$ da $s_E=\frac{t}{t+1}.$ Por tanto, $\begin{aligned} \frac{GF}{EF} &=\frac{s_G}{s_E} =\frac{t^2-1}{t^2}\\ &=\frac{24}{32}=\frac34, \end{aligned}$ de modo que $t=2$ y $s_E=\frac{2}{3}.$ Así, $EF=(\frac{2}{3})FB=32,$ por lo que $FB=48$ y $BE=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Use affine coordinates $A=0,$ $B=u,$ $D=v,$ $C=u+v,$ and $F=tv.$ A point on $FB$ is $su+t(1-s)v.$ Intersecting $DC$ gives $s_G=\frac{t-1}{t},$ while intersecting $AC$ gives $s_E=\frac{t}{t+1}.$ Therefore $\begin{aligned} \frac{GF}{EF} &=\frac{s_G}{s_E} =\frac{t^2-1}{t^2}\\ &=\frac{24}{32}=\frac34, \end{aligned}$ so $t=2$ and $s_E=\frac{2}{3}.$ Thus $EF=(\frac{2}{3})FB=32,$ making $FB=48$ and $BE=16.$

Therefore, the correct answer is E.

39.

En el triángulo $ABC$ se trazan las rectas $CE$ y $AD$ de modo que $\dfrac{CD}{DB}=\dfrac31$ y $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac32.$

Sea $r=\dfrac{CP}{PE},$ donde $P$ es el punto de intersección de $CE$ y $AD.$ Entonces $r$ es igual a:

In triangle $ABC$ lines $CE$ and $AD$ are drawn so that $\dfrac{CD}{DB}=\dfrac31$ and $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac32.$

Let $r=\dfrac{CP}{PE},$ where $P$ is the intersection point of $CE$ and $AD.$ Then $r$ equals:

$3$

$\dfrac32$

$4$

$5$

$\dfrac52$

Respuesta: D

Conceptos:puntos de masa razón y proporción

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Asigna masas a los extremos inversamente proporcionales a las razones laterales dadas

Assign endpoint masses inversely proportional to the given side ratios

Pista grande:

Elige masas $m_A=2,$ $m_B=3,$ y $m_C=1$ , y luego halla la masa en $E$

Choose masses $m_A=2,$ $m_B=3,$ and $m_C=1$ , then find the mass at $E$

Solución:

La razón $AE:EB=3:2$ se representa con masas $m_A=2$ y $m_B=3.$ La razón $CD:DB=3:1$ da entonces $m_C=1.$ El punto $E$ tiene masa $m_A+m_B=5,$ así que a lo largo de la ceviana $CE,$ $\frac{CP}{PE}=\frac{m_E}{m_C}=\frac51=5.$

Así, la respuesta correcta es D.

The ratio $AE:EB=3:2$ is represented by masses $m_A=2$ and $m_B=3.$ The ratio $CD:DB=3:1$ then gives $m_C=1.$ Point $E$ has mass $m_A+m_B=5,$ so along cevian $CE,$ $\frac{CP}{PE}=\frac{m_E}{m_C}=\frac51=5.$

Thus, the correct answer is D.

40.

Si $x$ es un número que satisface la ecuación $\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3,$ entonces $x^2$ está entre:

If $x$ is a number satisfying the equation $\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3,$ then $x^2$ is between:

$55$ y $65$

$55$ and $65$

$65$ y $75$

$65$ and $75$

$75$ y $85$

$75$ and $85$

$85$ y $95$

$85$ and $95$

$95$ y $105$

$95$ and $105$

Respuesta: C

Conceptos:radical suma y diferencia de cubos simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Sea $u=\sqrt[3]{x+9}$ y $v=\sqrt[3]{x-9}$

Set $u=\sqrt[3]{x+9}$ and $v=\sqrt[3]{x-9}$

Pista grande:

Usa tanto $u-v=3$ como $u^3-v^3=18$ para hallar $uv$

Use both $u-v=3$ and $u^3-v^3=18$ to find $uv$

Solución:

Sea $u=\sqrt[3]{x+9}$ y $v=\sqrt[3]{x-9}.$ Entonces $u-v=3$ y $\begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2), \end{aligned}$ por lo que $u^2+uv+v^2=6.$ Al comparar con $(u-v)^2=9$ se obtiene $uv=-1.$ Por tanto, $(u+v)^2=5.$ Al elevar al cubo $2u=3\pm\sqrt5$ se obtiene $x=\pm4\sqrt5,$ y en ambos casos $x^2=80,$ que está entre $75$ y $85.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $u=\sqrt[3]{x+9}$ and $v=\sqrt[3]{x-9}.$ Then $u-v=3$ and $\begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2), \end{aligned}$ so $u^2+uv+v^2=6.$ Comparing with $(u-v)^2=9$ gives $uv=-1.$ Hence $(u+v)^2=5.$ Cubing $2u=3\pm\sqrt5$ gives $x=\pm4\sqrt5,$ and either way $x^2=80,$ between $75$ and $85.$

Therefore, the correct answer is C.

Problemas del 1963 AMC 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Pista grande: