Question

Considera ecuaciones de la forma $x^2+bx+c=0.$ ¿Cuántas de estas ecuaciones tienen raíces reales y coeficientes $b$ y $c$ elegidos del conjunto de enteros $\{1,2,3,4,5,6\}$ ?

Consider equations of the form $x^2+bx+c=0.$ How many such equations have real roots and have coefficients $b$ and $c$ selected from the set of integers $\{1,2,3,4,5,6\}?$

$20$

$19$

$18$

$17$

$16$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática conteo básico desigualdad

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Las raíces reales requieren $b^2\geq4c$

Real roots require $b^2\geq4c$

Pista grande:

Para cada $c=1,\ldots,6,$ cuenta los valores permitidos de $b$

For each $c=1,\ldots,6,$ count the allowed values of $b$

Solución:

Para $c$ igual a $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ y $6,$ la condición $b^2\geq4c$ permite respectivamente $5,$ $4,$ $3,$ $3,$ $2,$ y $2$ valores de $b$ en el conjunto dado. Su suma es $5+4+3+3+2+2=19.$

Así, la respuesta correcta es B.

For $c$ equal to $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ and $6,$ the condition $b^2\geq4c$ permits respectively $5,$ $4,$ $3,$ $3,$ $2,$ and $2$ values of $b$ in the given set. Their sum is $5+4+3+3+2+2=19.$

Thus, the correct answer is B.

1963 AMC 12 Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años