Question

Se toma el punto $F$ en el lado $AD$ del cuadrado $ABCD.$ Por $C$ se traza una perpendicular a $CF,$ que corta a la prolongación de $AB$ en $E.$ El área de $ABCD$ es $256$ pulgadas cuadradas y el área del triángulo $CEF$ es $200$ pulgadas cuadradas. Entonces el número de pulgadas de $BE$ es:

Point $F$ is taken in side $AD$ of square $ABCD.$ At $C$ a perpendicular is drawn to $CF,$ meeting $AB$ extended at $E.$ The area of $ABCD$ is $256$ square inches and the area of triangle $CEF$ is $200$ square inches. Then the number of inches in $BE$ is:

$12$

$14$

$15$

$16$

$20$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrado (geometría)congruencia (geometría)área del triángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Demuestra que los triángulos rectángulos $CDF$ y $CBE$ son congruentes

Show that right triangles $CDF$ and $CBE$ are congruent

Pista grande:

Entonces $CF=CE,$ así que usa el área del triángulo rectángulo $CEF$

Then $CF=CE,$ so use the area of right triangle $CEF$

Solución:

Los ángulos agudos complementarios y los lados iguales del cuadrado dan $\triangle CDF\cong\triangle CBE,$ y por tanto $CF=CE.$ Como $CF\perp CE,$ $\begin{aligned} 200=[CEF] &=\frac12 CE\cdot CF\\ &=\frac12CE^2, \end{aligned}$ de modo que $CE=20.$ El lado del cuadrado mide $16,$ y el triángulo rectángulo $CBE$ da $BE=\sqrt{20^2-16^2}=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The complementary acute angles and the equal square sides give $\triangle CDF\cong\triangle CBE,$ hence $CF=CE.$ Since $CF\perp CE,$ $\begin{aligned} 200=[CEF] &=\frac12 CE\cdot CF\\ &=\frac12CE^2, \end{aligned}$ so $CE=20.$ The square side is $16,$ and right triangle $CBE$ gives $BE=\sqrt{20^2-16^2}=12.$

Therefore, the correct answer is A.

1963 AMC 12 Problema 25

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años