Question

El triángulo $ABC$ es isósceles con base $AC.$ Los puntos $P$ y $Q$ están, respectivamente, en $CB$ y $AB,$ y $AC=AP=PQ=QB.$ La medida del ángulo $B$ es:

Triangle $ABC$ is isosceles with base $AC.$ Points $P$ and $Q$ are respectively in $CB$ and $AB$ and such that $AC=AP=PQ=QB.$ The number of degrees in angle $B$ is:

$25\dfrac57$

$26\dfrac13$

$30$

$40$

no se determina con la información dada

not determined by the information given

Respuesta: A

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Sea $\angle B=m$ y usa cada par de segmentos iguales para formar triángulos isósceles

Let $\angle B=m$ and use each pair of equal segments to create isosceles triangles

Pista grande:

Sigue los ángulos en los triángulos $BQP,$ $AQP,$ y $APC$

Chase the angles through triangles $BQP,$ $AQP,$ and $APC$

Solución:

Sea $\angle B=m.$ Como $PQ=QB,$ el triángulo $BQP$ da $\angle QPB=m$ y $\angle AQP=2m.$ Como $AP=PQ,$ el triángulo $AQP$ da $\angle QAP=2m,$ y $\angle QPA=180^\circ-4m.$ Como $B,P,C$ son colineales, $\angle APC=3m.$ Ahora $AP=AC$ da $\angle ACP=3m.$ Finalmente, $AB=BC$ hace que ambos ángulos de la base de $ABC$ sean $3m,$ y $m+3m+3m=180^\circ.$ Por lo tanto, $m=\frac{180^\circ}{7}=25\dfrac57^\circ.$

Así, la respuesta correcta es A.

Let $\angle B=m.$ Since $PQ=QB,$ triangle $BQP$ gives $\angle QPB=m$ and $\angle AQP=2m.$ Since $AP=PQ,$ triangle $AQP$ gives $\angle QAP=2m,$ so $\angle QPA=180^\circ-4m.$ As $B,P,C$ are collinear, $\angle APC=3m.$ Now $AP=AC$ gives $\angle ACP=3m.$ Finally $AB=BC$ makes both base angles of $ABC$ equal to $3m,$ and $m+3m+3m=180^\circ.$ Therefore $m=\frac{180^\circ}{7}=25\dfrac57^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

1961 AMC 12 Problema 25

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años