Question

Para una sucesión $u_1,$ $u_2,$ $\ldots,$ se define $\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n$ y, para todos los enteros $k\gt1,$ $\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n)).$ Si $u_n=n^3+n,$ entonces $\Delta^k(u_n)=0$ para todo $n$

For a sequence $u_1,$ $u_2,$ $\ldots,$ define $\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n$ and, for all integers $k\gt1,$ $\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n)).$ If $u_n=n^3+n,$ then $\Delta^k(u_n)=0$ for all $n$

si $k=1$

if $k=1$

si $k=2,$ pero no si $k=1$

if $k=2,$ but not if $k=1$

si $k=3,$ pero no si $k=2$

if $k=3,$ but not if $k=2$

si $k=4,$ pero no si $k=3$

if $k=4,$ but not if $k=3$

para ningún valor de $k$

for no value of $k$

Respuesta: D

Conceptos:polinomio recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Cada diferencia progresiva reduce en uno el grado de una sucesión polinómica

Each forward difference lowers the degree of a polynomial sequence by one

Pista grande:

Calcula hasta la tercera diferencia constante para ver cuándo aparece cero por primera vez

Compute through the constant third difference to see when zero first appears

Solución:

Directamente, $\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0. \end{aligned}$ Por tanto, las cuartas diferencias se anulan para todo $n,$ pero las terceras no.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Directly, $\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0. \end{aligned}$ Thus the fourth differences vanish for all $n,$ but the third differences do not.

Therefore, the correct answer is D.

1976 AMC 12 Problema 25

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años