Question

$ABC$ es un triángulo: $A=(0,0),$ $B=(36,15),$ y las dos coordenadas de $C$ son enteras. ¿Cuál es el área mínima que puede tener $\triangle ABC$ ?

$ABC$ is a triangle: $A=(0,0),$ $B=(36,15),$ and both the coordinates of $C$ are integers. What is the minimum area $\triangle ABC$ can have?

$\frac12$

$1$

$\frac32$

$\frac{13}{2}$

no existe un mínimo

there is no minimum

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica determinant area máximo común divisor

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Escribe $C=(u,v)$ y usa la fórmula del determinante para el área de un triángulo

Write $C=(u,v)$ and use the determinant formula for triangle area

Pista grande:

Halla el menor valor positivo de $|36v-15u|$ usando $\gcd(36,15)$

Find the smallest positive value of $|36v-15u|$ using $\gcd(36,15)$

Solución:

Para $C=(u,v),$ el área es $\frac12|36v-15u|.$ Como $\gcd(36,15)=3,$ el menor valor positivo posible del determinante es al menos $3.$ Este se alcanza, por ejemplo, con $u=7,\ v=3,$ pues $36(3)-15(7)=3.$ Por lo tanto, el área mínima es $\frac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For $C=(u,v),$ the area is $\frac12|36v-15u|.$ Since $\gcd(36,15)=3,$ the smallest possible positive value of the determinant is at least $3.$ It is attained, for example, by $u=7,\ v=3,$ since $36(3)-15(7)=3.$ Therefore the minimum area is $\frac{3}{2}.$

Thus the correct answer is C.

1987 AMC 12 Problema 25

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años