Soluciones del 1987 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

$(1+x^2)(1-x^3)$ es igual a

$(1+x^2)(1-x^3)$ equals

$1-x^5$

$1-x^6$

$1+x^2-x^3$

$1+x^2-x^3-x^5$

$1+x^2-x^3-x^6$

Conceptos:polynomial multiplication propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Distribuye cada término del primer binomio sobre el segundo

Distribute each term of the first binomial across the second

Pista grande:

El producto $x^2(-x^3)$ aporta el término de mayor grado

The product $x^2(-x^3)$ contributes the highest-degree term

Solución:

Al desarrollar obtenemos $\begin{aligned} (1+x^2)(1-x^3) &=1+x^2-x^3\\ &\qquad-x^5. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Expanding gives $\begin{aligned} (1+x^2)(1-x^3) &=1+x^2-x^3\\ &\qquad-x^5. \end{aligned}$

Thus the correct answer is D.

2.

Como muestra la figura, se corta una esquina triangular con $DB=EB=1$ de un triángulo equilátero $ABC$ de lado $3.$ El perímetro del cuadrilátero restante $ADEC$ es

As shown in the figure, a triangular corner with side lengths $DB=EB=1$ is cut from equilateral triangle $ABC$ of side length $3.$ The perimeter of the remaining quadrilateral $ADEC$ is

$6$

$6\frac12$

$7$

$7\frac12$

$8$

Conceptos:triángulo equilátero perímetro angle-side relationship

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Determina el ángulo entre $BD$ y $BE$

Determine the angle between $BD$ and $BE$

Pista grande:

Parte del perímetro original, resta $BD$ y $BE,$ y suma $DE$

Start from the original perimeter, remove $BD$ and $BE,$ and add $DE$

Solución:

Como $\angle DBE=60^\circ$ y $DB=EB=1,$ el triángulo $DBE$ es equilátero, así que $DE=1.$ El perímetro original es $9.$ Al cortar la esquina se eliminan dos segmentos unitarios y se añade uno: $9-1-1+1=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $\angle DBE=60^\circ$ and $DB=EB=1,$ triangle $DBE$ is equilateral, so $DE=1.$ The original perimeter is $9.$ Cutting off the corner removes two unit segments and adds one: $9-1-1+1=8.$

Thus the correct answer is E.

3.

¿Cuántos primos menores que $100$ tienen $7$ como cifra de las unidades? (Supón la representación usual en base $10$ .)

How many primes less than $100$ have $7$ as the ones digit? (Assume the usual base $10$ representation.)

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:prime numbers divisibilidad enumeration

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Enumera todos los enteros positivos menores que $100$ cuya cifra de las unidades es $7$

List every positive integer below $100$ whose ones digit is $7$

Pista grande:

Para números menores que $100,$ basta probar divisibilidad por primos que no excedan su raíz cuadrada

For numbers below $100,$ trial division only requires primes through their square roots

Solución:

Los primos son $7,\ 17,\ 37,\ 47,\ 67,\ 97.$ Los demás candidatos son compuestos: $27,57,77$ y $87.$ Por tanto, hay $6$ primos de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The primes are $7,\ 17,\ 37,\ 47,\ 67,\ 97.$ The other candidates are composite: $27,57,77,$ and $87.$ Hence there are $6$ such primes.

Thus the correct answer is C.

4.

$\frac{2^1+2^0+2^{-1}}{2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}}$ es igual a

$\frac{2^1+2^0+2^{-1}}{2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}}$ equals

$6$

$8$

$\frac{31}{2}$

$24$

$512$

Conceptos:negative exponents geometric scaling fractions

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Reescribe cada potencia negativa de $2$ como un recíproco

Rewrite every negative power of $2$ as a reciprocal

Pista grande:

Compara los términos correspondientes del numerador y el denominador mediante un factor común

Compare corresponding numerator and denominator terms by a common factor

Solución:

El numerador es $2+1+\frac12=\frac72,$ mientras que el denominador es $\frac14+\frac18+\frac1{16}=\frac7{16}.$ Su cociente es $\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{16}}=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The numerator is $2+1+\frac12=\frac72,$ while the denominator is $\frac14+\frac18+\frac1{16}=\frac7{16}.$ Their quotient is $\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{16}}=8.$

Thus the correct answer is B.

5.

Un estudiante registró la distribución exacta de frecuencias porcentuales de un conjunto de mediciones, como se muestra abajo. Sin embargo, olvidó indicar $N,$ el número total de mediciones. ¿Cuál es el menor valor posible de $N$ ?

valor medido	frecuencia porcentual
$0$	$12.5$
$1$	$0$
$2$	$50$
$3$	$25$
$4$	$12.5$
	$100$

A student recorded the exact percentage frequency distribution for a set of measurements, as shown below. However, the student neglected to indicate $N,$ the total number of measurements. What is the smallest possible value of $N?$

measured value	percent frequency
$0$	$12.5$
$1$	$0$
$2$	$50$
$3$	$25$
$4$	$12.5$
	$100$

$5$

$8$

$16$

$25$

$50$

Conceptos:percentage frequency divisibilidad sample size

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Expresa cada porcentaje no nulo como una fracción reducida del total

Express each nonzero percentage as a reduced fraction of the total

Pista grande:

Cada frecuencia resultante debe ser un número entero

Every resulting frequency must be a whole number

Solución:

Como $12.5\%=\frac{1}{8},$ el total $N$ debe ser divisible por $8.$ Al tomar $N=8$ se obtienen las frecuencias $1,0,4,2,1,$ todas enteras. Por tanto, el menor total posible es $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $12.5\%=\frac{1}{8},$ the total $N$ must be divisible by $8.$ Taking $N=8$ gives frequencies $1,0,4,2,1,$ all whole numbers. Thus the smallest possible total is $8.$

Therefore the correct answer is B.

6.

En el $\triangle ABC$ mostrado, $D$ es un punto interior, y $x,$ $y,$ $z,$ $w$ son las medidas de los ángulos en grados. Expresa $x$ en función de $y,$ $z$ y $w.$

In the $\triangle ABC$ shown, $D$ is some interior point, and $x,$ $y,$ $z,$ $w$ are the measures of angles in degrees. Solve for $x$ in terms of $y,$ $z,$ and $w.$

$w-y-z$

$w-2y-2z$

$180-w-y-z$

$2w-y-z$

$180-w+y+z$

Conceptos:triangle angle sum angle subtraction interior point

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Nombra los dos ángulos no marcados en $A$ y $B$ dentro del triángulo $ADB$

Name the two unlabelled angles at $A$ and $B$ inside triangle $ADB$

Pista grande:

Resta la suma de los ángulos de $\triangle ADB$ de la de $\triangle ABC$

Subtract the angle sum of $\triangle ADB$ from that of $\triangle ABC$

Solución:

Sean los ángulos no marcados del triángulo $ADB$ en $A$ y $B$ iguales a $\alpha$ y $\beta,$ respectivamente. Entonces $\alpha+\beta+w=180^\circ.$ La suma de los ángulos del triángulo $ABC$ da $(\alpha+y)+(\beta+z)+x=180^\circ.$ Al restar obtenemos $x+y+z=w,$ por lo que $x=w-y-z.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the unlabelled angles of triangle $ADB$ at $A$ and $B$ be $\alpha$ and $\beta.$ Then $\alpha+\beta+w=180^\circ.$ The angle sum of triangle $ABC$ gives $(\alpha+y)+(\beta+z)+x=180^\circ.$ Subtracting yields $x+y+z=w,$ so $x=w-y-z.$

Thus the correct answer is A.

7.

Si $a-1=b+2=c-3=d+4,$ ¿cuál de las cuatro cantidades $a,$ $b,$ $c,$ $d$ es la mayor?

If $a-1=b+2=c-3=d+4,$ which of the four quantities $a,$ $b,$ $c,$ $d$ is the largest?

$a$

$b$

$c$

$d$

ninguna es siempre la mayor

no one is always largest

Conceptos:equal expressions variable comparison linear relations

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Iguala las cuatro expresiones a un mismo valor

Set all four expressions equal to one common value

Pista grande:

Despeja cada variable como el valor común más o menos una constante

Solve each variable as the common value plus or minus a constant

Solución:

Si el valor común es $k,$ entonces $\begin{aligned} a&=k+1,& b&=k-2,\\ c&=k+3,& d&=k-4. \end{aligned}$ Por tanto, $c$ es siempre la mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the common value is $k,$ then $\begin{aligned} a&=k+1,& b&=k-2,\\ c&=k+3,& d&=k-4. \end{aligned}$ Therefore $c$ is always the largest.

Thus the correct answer is C.

8.

En la figura, la suma de las distancias $AD$ y $BD$ está

In the figure the sum of the distances $AD$ and $BD$ is

entre $10$ y $11$

between $10$ and $11$

$12$

entre $15$ y $16$

between $15$ and $16$

entre $16$ y $17$

between $16$ and $17$

$17$

Conceptos:Pythagorean theorem distance estimación

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Usa el triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5$ para hallar $BD$

Use the $3$ - $4$ - $5$ right triangle to find $BD$

Pista grande:

Los desplazamientos horizontal y vertical de $A$ a $D$ son $10$ y $4$

The horizontal and vertical displacements from $A$ to $D$ are $10$ and $4$

Solución:

El triángulo $BCD$ es un triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5,$ así que $BD=5.$ De $A$ a $D,$ el desplazamiento horizontal es $13-3=10$ y el vertical es $4,$ por lo que $AD=\sqrt{10^2+4^2}=\sqrt{116}.$ Como $10\lt\sqrt{116}\lt11,$ la suma $AD+BD$ está entre $15$ y $16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Triangle $BCD$ is a $3$ - $4$ - $5$ right triangle, so $BD=5.$ From $A$ to $D,$ the horizontal displacement is $13-3=10$ and the vertical displacement is $4,$ hence $AD=\sqrt{10^2+4^2}=\sqrt{116}.$ Since $10\lt\sqrt{116}\lt11,$ the sum $AD+BD$ is between $15$ and $16.$

Thus the correct answer is C.

9.

Los primeros cuatro términos de una sucesión aritmética son $a,$ $x,$ $b,$ $2x.$ La razón de $a$ a $b$ es

The first four terms of an arithmetic sequence are $a,$ $x,$ $b,$ $2x.$ The ratio of $a$ to $b$ is

$\frac14$

$\frac13$

$\frac12$

$\frac23$

$2$

Conceptos:sucesión aritmética common difference ratio

Nivel de dificultad: 1230

Pista pequeña:

Escribe los cuatro términos usando $a$ y una diferencia común

Write all four terms using $a$ and a common difference

Pista grande:

Usa la ecuación que relaciona el segundo término $x$ con el cuarto término $2x$

Use the equation relating the second term $x$ to the fourth term $2x$

Solución:

Sea $d$ la diferencia común. Entonces $x=a+d,\ b=a+2d,$ y $2x=a+3d.$ Por tanto, $2(a+d)=a+3d,$ así que $a=d$ y $b=3d.$ En consecuencia, $\frac{a}{b}=\frac{1}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the common difference be $d.$ Then $x=a+d,\ b=a+2d,$ and $2x=a+3d.$ Thus $2(a+d)=a+3d,$ so $a=d$ and $b=3d.$ Therefore $\frac{a}{b}=\frac{1}{3}.$

Thus the correct answer is B.

10.

¿Cuántas ternas ordenadas $(a,b,c)$ de números reales no nulos tienen la propiedad de que cada número es el producto de los otros dos?

How many ordered triples $(a,b,c)$ of nonzero real numbers have the property that each number is the product of the other two?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:sistema de ecuaciones sign patterns product

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Traduce la condición en $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$

Translate the condition into $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$

Pista grande:

Multiplica las ecuaciones y usa la condición de que los números son no nulos para determinar sus magnitudes posibles

Multiply the equations and use the nonzero condition to determine the possible magnitudes

Solución:

Al multiplicar $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$ obtenemos $abc=(abc)^2.$ Como ninguna variable es cero, $abc=1.$ Además, $abc=a^2=b^2=c^2,$ así que cada variable es $1$ o $-1.$ Para que el producto sea $1,$ puede no haber signos negativos o puede haber exactamente dos, lo que da $1+3=4$ ternas ordenadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Multiplying $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$ gives $abc=(abc)^2.$ Since none of the variables is zero, $abc=1.$ Also $abc=a^2=b^2=c^2,$ so each variable is $1$ or $-1.$ Product $1$ allows either no negative signs or exactly two, giving $1+3=4$ ordered triples.

Thus the correct answer is D.

11.

Sea $c$ una constante. Las ecuaciones simultáneas $\begin{aligned} x-y&=2,\\ cx+y&=3. \end{aligned}$ tienen una solución $(x,y)$ dentro del primer cuadrante si y solo si

Let $c$ be a constant. The simultaneous equations $\begin{aligned} x-y&=2,\\ cx+y&=3. \end{aligned}$ have a solution $(x,y)$ inside Quadrant I if and only if

$c=-1$

$c\gt-1$

$c\lt\frac32$

$0\lt c\lt\frac32$

$-1\lt c\lt\frac32$

Conceptos:linear system inequalities coordinate quadrants

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Resuelve las dos ecuaciones para $x$ y $y$ en función de $c$

Solve the two equations for $x$ and $y$ in terms of $c$

Pista grande:

El primer cuadrante exige que ambas coordenadas sean estrictamente positivas

Quadrant I requires both coordinates to be strictly positive

Solución:

Al resolver el sistema obtenemos $x=\frac5{c+1},\qquad y=\frac{3-2c}{c+1}.$ La condición $x\gt0$ exige $c\gt-1.$ Con este denominador positivo, $y\gt0$ equivale a $c\lt\frac{3}{2}.$ Por tanto, $-1\lt c\lt\frac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Solving the system gives $x=\frac5{c+1},\qquad y=\frac{3-2c}{c+1}.$ The condition $x\gt0$ requires $c\gt-1.$ With this positive denominator, $y\gt0$ is equivalent to $c\lt\frac{3}{2}.$ Hence $-1\lt c\lt\frac{3}{2}.$

Thus the correct answer is E.

12.

En una oficina, varias veces durante el día el jefe entrega a la secretaria una carta para mecanografiar y cada vez la coloca encima de la pila de la bandeja de entrada. Cuando tiene tiempo, la secretaria retira la carta superior y la mecanografía. Si hay cinco cartas en total y el jefe las entrega en el orden $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ ¿cuál de los siguientes no podría ser el orden en que la secretaria las mecanografía?

In an office, at various times during the day the boss gives the secretary a letter to type, each time putting the letter on top of the pile in the secretary’s in-box. When there is time, the secretary takes the top letter off the pile and types it. If there are five letters in all, and the boss delivers them in the order $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ which of the following could not be the order in which the secretary types them?

$1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$

$2,$ $4,$ $3,$ $5,$ $1$

$3,$ $2,$ $4,$ $1,$ $5$

$4,$ $5,$ $2,$ $3,$ $1$

$5,$ $4,$ $3,$ $2,$ $1$

Conceptos:stack order permutaciones logical feasibility

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Las cartas que permanecen en la pila siempre conservan el orden creciente de abajo hacia arriba

Letters still in the pile always remain in increasing order from bottom to top

Pista grande:

Después de mecanografiar la carta $4,$ examina qué carta menor debe estar encima antes de poder mecanografiar la $2$

After letter $4$ is typed, examine which smaller letter must be on top before $2$ can be typed

Solución:

Para mecanografiar primero la carta $4$ en la opción D, las cartas $1,2,3,4$ ya deben haberse entregado, por lo que $3$ queda encima después de retirar $4.$ Entonces puede entregarse y mecanografiarse la carta $5,$ pero $3$ todavía está sobre $2,$ así que $2$ no puede ser la siguiente. Por tanto, $4,5,2,3,1$ es imposible. Cada uno de los otros órdenes puede producirse intercalando entregas y mecanografiado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

To type $4$ first in choice D, letters $1,2,3,4$ must all have been delivered, leaving $3$ on top after $4$ is removed. Letter $5$ can then be delivered and typed, but $3$ is still above $2,$ so $2$ cannot be typed next. Thus $4,5,2,3,1$ is impossible. Each other listed order can be produced by interleaving deliveries and typings.

Therefore the correct answer is D.

13.

Una tira larga de papel de $5$ cm de ancho se enrolla $600$ veces alrededor de un tubo de cartón de $2$ cm de diámetro, formando un rollo de caja registradora de $10$ cm de diámetro. Aproxima la longitud del papel en metros. (Supón que el papel forma $600$ círculos concéntricos con diámetros uniformemente espaciados entre $2$ cm y $10$ cm.)

A long piece of paper $5$ cm wide is made into a roll for cash registers by wrapping it $600$ times around a cardboard tube of diameter $2$ cm, forming a roll $10$ cm in diameter. Approximate the length of the paper in meters. (Pretend the paper forms $600$ concentric circles with diameters evenly spaced from $2$ cm to $10$ cm.)

$36\pi$

$45\pi$

$60\pi$

$72\pi$

$90\pi$

Conceptos:sucesión aritmética circunferencia conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Los $600$ diámetros forman una sucesión aritmética

The $600$ diameters form an arithmetic sequence

Pista grande:

Usa el diámetro promedio para hallar la suma de las $600$ circunferencias

Use the average diameter to find the sum of all $600$ circumferences

Solución:

El promedio de los diámetros primero y último es $\frac{2+10}{2}=6\text{ cm}.$ Por tanto, la longitud total es aproximadamente $600(6\pi)=3600\pi$ cm, es decir, $36\pi$ metros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The average of the first and last diameters is $\frac{2+10}{2}=6\text{ cm}.$ Hence the total length is approximately $600(6\pi)=3600\pi$ cm, or $36\pi$ meters.

Thus the correct answer is A.

14.

$ABCD$ es un cuadrado, y $M$ y $N$ son los puntos medios de $BC$ y $CD,$ respectivamente. Entonces $\sin\theta=$

$ABCD$ is a square and $M$ and $N$ are the midpoints of $BC$ and $CD,$ respectively. Then $\sin\theta=$

$\frac{\sqrt5}{5}$

$\frac35$

$\frac{\sqrt{10}}5$

$\frac45$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:vectors sine of angle midpoint geometry

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Asigna coordenadas al cuadrado y escribe los vectores $\overrightarrow{AM}$ y $\overrightarrow{AN}$

Assign coordinates to the square and write vectors $\overrightarrow{AM}$ and $\overrightarrow{AN}$

Pista grande:

Usa la fórmula del determinante para el seno del ángulo entre dos vectores

Use the determinant formula for the sine of the angle between two vectors

Solución:

Toma un cuadrado de lado $2,$ con $A=(0,0),\ M=(1,2),$ y $N=(2,1).$ Entonces $\begin{aligned} \sin\theta &=\frac{|\det((1,2),(2,1))|} {\sqrt5\sqrt5}\\ &=\frac{|1-4|}{5} =\frac35. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Take the square to have side $2,$ with $A=(0,0),\ M=(1,2),$ and $N=(2,1).$ Then $\begin{aligned} \sin\theta &=\frac{|\det((1,2),(2,1))|} {\sqrt5\sqrt5}\\ &=\frac{|1-4|}{5} =\frac35. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

15.

Si $(x,y)$ es una solución del sistema $\begin{aligned} xy&=6,\\ x^2y+xy^2+x+y&=63, \end{aligned}$ halla $x^2+y^2.$

If $(x,y)$ is a solution to the system $\begin{aligned} xy&=6,\\ x^2y+xy^2+x+y&=63, \end{aligned}$ find $x^2+y^2.$

$13$

$\frac{1173}{32}$

$55$

$69$

$81$

Conceptos:symmetric expressions factorización sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Factoriza la segunda ecuación usando $x+y$

Factor the second equation using $x+y$

Pista grande:

Usa $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

Use $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

Solución:

La segunda ecuación se convierte en $\begin{aligned} xy(x+y)&+(x+y)\\ &=(xy+1)(x+y)\\ &=63. \end{aligned}$ Como $xy=6,$ obtenemos $x+y=9.$ Por tanto, $\begin{aligned} x^2+y^2 &=(x+y)^2-2xy\\ &=81-12=69. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The second equation becomes $\begin{aligned} xy(x+y)&+(x+y)\\ &=(xy+1)(x+y)\\ &=63. \end{aligned}$ Since $xy=6,$ we get $x+y=9.$ Therefore $\begin{aligned} x^2+y^2 &=(x+y)^2-2xy\\ &=81-12=69. \end{aligned}$

Thus the correct answer is D.

16.

Un criptógrafo idea el siguiente método para codificar enteros positivos. Primero, el entero se expresa en base $5.$ Segundo, se establece una correspondencia de $1$ a $1$ entre los dígitos que aparecen en las expresiones en base $5$ y los elementos del conjunto $\{V,W,X,Y,Z\}.$ Con esta correspondencia, el criptógrafo descubre que tres enteros consecutivos en orden creciente se codifican como $VYZ,$ $VYX,$ $VVW,$ respectivamente. ¿Cuál es la expresión en base $10$ del entero codificado como $XYZ$ ?

A cryptographer devises the following method for encoding positive integers. First, the integer is expressed in base $5.$ Second, a $1$ -to- $1$ correspondence is established between the digits that appear in the expressions in base $5$ and the elements of the set $\{V,W,X,Y,Z\}.$ Using this correspondence, the cryptographer finds that three consecutive integers in increasing order are coded as $VYZ,$ $VYX,$ $VVW,$ respectively. What is the base- $10$ expression for the integer coded as $XYZ?$

$48$

$71$

$82$

$108$

$113$

Conceptos:base representation carrying biyección

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Compara los últimos dígitos de $VYZ$ y $VYX$

Compare the final digits of $VYZ$ and $VYX$

Pista grande:

El cambio de $VYX$ a $VVW$ obliga a que haya un acarreo en base $5$

The change from $VYX$ to $VVW$ forces a base- $5$ carry

Solución:

Como $VYX$ es uno más que $VYZ,$ el dígito correspondiente a $X$ es uno más que el correspondiente a $Z.$ El siguiente incremento cambia $VYX$ a $VVW,$ por lo que $X=4,\ W=0,$ y $Z=3.$ El acarreo cambia $Y$ a $V,$ de modo que $Y=1,\ V=2.$ Así, $\begin{aligned} XYZ_5&=413_5,\\ 413_5&=4\cdot25+5+3\\ &=108. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $VYX$ is one more than $VYZ,$ the digit for $X$ is one more than the digit for $Z.$ The next increment changes $VYX$ to $VVW,$ so $X=4,\ W=0,$ and $Z=3.$ The carry changes $Y$ to $V,$ leaving $Y=1,\ V=2.$ Thus $\begin{aligned} XYZ_5&=413_5,\\ 413_5&=4\cdot25+5+3\\ &=108. \end{aligned}$

Thus the correct answer is D.

17.

En una competencia de matemáticas, la suma de las puntuaciones de Bill y Dick fue igual a la suma de las de Ann y Carol. Si se hubieran intercambiado las puntuaciones de Bill y Carol, la suma de las puntuaciones de Ann y Carol habría excedido la suma de las de los otros dos. Además, la puntuación de Dick excedió la suma de las puntuaciones de Bill y Carol. Determina el orden en que terminaron los cuatro concursantes, del mayor al menor. Supón que todas las puntuaciones fueron no negativas.

In a mathematics competition, the sum of the scores of Bill and Dick equalled the sum of the scores of Ann and Carol. If the scores of Bill and Carol had been interchanged, then the sum of the scores of Ann and Carol would have exceeded the sum of the scores of the other two. Also, Dick’s score exceeded the sum of the scores of Bill and Carol. Determine the order in which the four contestants finished, from highest to lowest. Assume all scores were nonnegative.

Dick, Ann, Carol, Bill

Dick, Ann, Bill, Carol

Dick, Carol, Bill, Ann

Ann, Dick, Carol, Bill

Ann, Dick, Bill, Carol

Conceptos:inequalities ordering algebraic comparison

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Representa las cuatro puntuaciones por $A,B,C,D$ en el orden de los nombres

Represent the four scores by $A,B,C,D$ in name order

Pista grande:

Suma y resta la igualdad $A+C=B+D$ y la desigualdad $A+B\gt C+D$

Add and subtract the equality $A+C=B+D$ and the inequality $A+B\gt C+D$

Solución:

Sean $A,B,C,D$ las puntuaciones de Ann, Bill, Carol y Dick. Las condiciones son $\begin{aligned} A+C&=B+D,\\ A+B&\gt C+D,\\ D&\gt B+C. \end{aligned}$ Al sumar las dos primeras comparaciones obtenemos $A\gt D.$ Al restar la igualdad de la desigualdad obtenemos $B\gt C.$ Finalmente, $D\gt B+C\ge B.$ Por tanto, $A\gt D\gt B\gt C.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $A,B,C,D$ be the scores of Ann, Bill, Carol, and Dick. The conditions are $\begin{aligned} A+C&=B+D,\\ A+B&\gt C+D,\\ D&\gt B+C. \end{aligned}$ Adding the first two comparisons gives $A\gt D.$ Subtracting the equality from the inequality gives $B\gt C.$ Finally, $D\gt B+C\ge B.$ Hence $A\gt D\gt B\gt C.$

Thus the correct answer is E.

18.

Se necesitan $A$ libros de álgebra (todos del mismo grosor) y $H$ libros de geometría (todos del mismo grosor, mayor que el de un libro de álgebra) para llenar por completo cierto estante. También $S$ libros de álgebra y $M$ libros de geometría llenarían el mismo estante. Por último, $E$ libros de álgebra por sí solos llenarían este estante. Dado que $A,$ $H,$ $S,$ $M,$ $E$ son enteros positivos distintos, se deduce que $E$ es

It takes $A$ algebra books (all the same thickness) and $H$ geometry books (all the same thickness, which is greater than that of an algebra book) to completely fill a certain shelf. Also, $S$ of the algebra books and $M$ of the geometry books would fill the same shelf. Finally, $E$ of the algebra books alone would fill this shelf. Given that $A,$ $H,$ $S,$ $M,$ $E$ are distinct positive integers, it follows that $E$ is

$\frac{AM+SH}{M+H}$

$\frac{AM^2+SH^2}{M^2+H^2}$

$\frac{AH-SM}{M-H}$

$\frac{AM-SH}{M-H}$

$\frac{AM^2-SH^2}{M^2-H^2}$

Conceptos:linear equations rates and mixtures algebraic elimination

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sean $a$ y $g$ los dos grosores de los libros y normaliza la longitud del estante a $1$

Let $a$ and $g$ be the two book thicknesses and normalize the shelf length to $1$

Pista grande:

Elimina el grosor del libro de geometría de $Aa+Hg=1$ y $Sa+Mg=1$

Eliminate the geometry-book thickness from $Aa+Hg=1$ and $Sa+Mg=1$

Solución:

Sea $1$ la longitud del estante, y sean $a,g$ los grosores de los libros de álgebra y de geometría. Entonces $\begin{aligned} Aa+Hg&=1,\\ Sa+Mg&=1,\qquad Ea=1. \end{aligned}$ Al multiplicar la primera ecuación por $M,$ la segunda por $H,$ y restar, obtenemos $(AM-SH)a=M-H.$ Por tanto, $E=\frac1a=\frac{AM-SH}{M-H}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the shelf length be $1,$ and let $a,g$ be the algebra- and geometry-book thicknesses. Then $\begin{aligned} Aa+Hg&=1,\\ Sa+Mg&=1,\qquad Ea=1. \end{aligned}$ Multiplying the first equation by $M,$ the second by $H,$ and subtracting gives $(AM-SH)a=M-H.$ Hence $E=\frac1a=\frac{AM-SH}{M-H}.$

Thus the correct answer is D.

19.

¿Cuál de los siguientes valores es el más cercano a $\sqrt{65}-\sqrt{63}$ ?

Which of the following is closest to $\sqrt{65}-\sqrt{63}?$

$0.12$

$0.13$

$0.14$

$0.15$

$0.16$

Conceptos:radical rationalization estimación inequalities

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Racionaliza la diferencia de las dos raíces cuadradas

Rationalize the difference of the two square roots

Pista grande:

Compara $\sqrt{65}+\sqrt{63}$ con $16$ para decidir de qué lado de $0.125$ queda el resultado

Compare $\sqrt{65}+\sqrt{63}$ with $16$ to decide which side of $0.125$ the result lies on

Solución:

Al racionalizar obtenemos $\sqrt{65}-\sqrt{63}=\frac2{\sqrt{65}+\sqrt{63}}.$ El denominador es menor que $16,$ porque su cuadrado es $128+2\sqrt{4095}\lt256.$ Por tanto, el valor es mayor que $\frac{2}{16}=0.125.$ Además, cada radical es mayor que $7.5,$ así que el valor es menor que $\frac{2}{15}<0.134.$ Por consiguiente, está más cerca de $0.13$ que de cualquier otra opción.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rationalizing gives $\sqrt{65}-\sqrt{63}=\frac2{\sqrt{65}+\sqrt{63}}.$ The denominator is less than $16,$ because its square is $128+2\sqrt{4095}\lt256.$ Thus the value is greater than $\frac{2}{16}=0.125.$ Also each radical exceeds $7.5,$ so the value is less than $\frac{2}{15}<0.134.$ It is therefore closer to $0.13$ than to any other choice.

Thus the correct answer is B.

20.

Evalúa $\begin{aligned} &\log_{10}(\tan1^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan2^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan3^\circ)+\cdots\\ &\quad+\log_{10}(\tan88^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan89^\circ). \end{aligned}$

Evaluate $\begin{aligned} &\log_{10}(\tan1^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan2^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan3^\circ)+\cdots\\ &\quad+\log_{10}(\tan88^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan89^\circ). \end{aligned}$

$0$

$\frac12\log_{10}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)$

$\frac12\log_{10}2$

$1$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:logarithm product rule complementary angles tangent

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Empareja el término del ángulo $k^\circ$ con el del ángulo $(90-k)^\circ$

Pair the term at angle $k^\circ$ with the term at angle $(90-k)^\circ$

Pista grande:

Usa $\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta$ antes de combinar los logaritmos

Use $\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta$ before combining logarithms

Solución:

Para cada $k=1,\ldots,44,$ $\tan k^\circ\tan(90^\circ-k^\circ)=1.$ Así, cada suma emparejada de logaritmos es $\log_{10}1=0.$ El término central restante es $\log_{10}(\tan45^\circ)=0.$ Por tanto, la suma completa es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each $k=1,\ldots,44,$ $\tan k^\circ\tan(90^\circ-k^\circ)=1.$ Thus each paired sum of logarithms is $\log_{10}1=0.$ The remaining middle term is $\log_{10}(\tan45^\circ)=0.$ Hence the whole sum is $0.$

Thus the correct answer is A.

21.

Hay dos maneras naturales de inscribir un cuadrado en un triángulo rectángulo isósceles dado. Si se hace como en la Figura $1$ de abajo, se obtiene que el área del cuadrado es $441\text{ cm}^2.$ ¿Cuál es el área (en $\text{cm}^2$ ) del cuadrado inscrito en el mismo $\triangle ABC$ , como se muestra en la Figura $2$ de abajo?

There are two natural ways to inscribe a square in a given isosceles right triangle. If it is done as in Figure $1$ below, then one finds that the area of the square is $441\text{ cm}^2.$ What is the area (in $\text{cm}^2$ ) of the square inscribed in the same $\triangle ABC$ as shown in Figure $2$ below?

$378$

$392$

$400$

$441$

$484$

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Usa la Figura $1$ para determinar la longitud de los catetos del triángulo rectángulo isósceles

Use Figure $1$ to determine the leg length of the isosceles right triangle

Pista grande:

En la Figura $2,$ compara el lado del cuadrado inclinado con los dos segmentos iguales que su lado opuesto determina sobre los catetos

In Figure $2,$ compare the side of the tilted square with the two equal leg segments cut off by its opposite side

Solución:

El primer cuadrado tiene lado $21,$ así que los catetos del triángulo tienen longitud $42.$ Sea $s$ el lado del cuadrado inclinado. Su lado sobre la hipotenusa es paralelo al lado opuesto que une los catetos. Ese lado opuesto tiene extremos $(0,k)$ y $(k,0),$ por lo que $s=k\sqrt2.$ La distancia entre las rectas paralelas $x+y=k$ y $x+y=42$ también es $s,$ de modo que $s=\frac{42-k}{\sqrt2},\qquad k=\frac{s}{\sqrt2}.$ Por tanto, $s=14\sqrt2,$ y su área es $s^2=392.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first square has side $21,$ so the triangle’s legs have length $42.$ Let $s$ be the side of the tilted square. Its side on the hypotenuse is parallel to the opposite side joining the legs. That opposite side has endpoints $(0,k)$ and $(k,0),$ so $s=k\sqrt2.$ The distance between the parallel lines $x+y=k$ and $x+y=42$ is also $s,$ giving $s=\frac{42-k}{\sqrt2},\qquad k=\frac{s}{\sqrt2}.$ Hence $s=14\sqrt2,$ and its area is $s^2=392.$

Thus the correct answer is B.

22.

Una pelota flotaba en un lago cuando este se congeló. La pelota se retiró sin romper el hielo, dejando un agujero de $24$ cm de ancho en la superficie y $8$ cm de profundidad. ¿Cuál era el radio de la pelota, en centímetros?

A ball was floating in a lake when the lake froze. The ball was removed (without breaking the ice), leaving a hole $24$ cm across at the top and $8$ cm deep. What was the radius of the ball (in centimeters)?

$8$

$12$

$13$

$8\sqrt3$

$6\sqrt6$

Conceptos:sphere cross-section triángulo rectángulo chord geometry

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Toma una sección transversal vertical que pase por el centro del agujero circular

Take a vertical cross-section through the center of the circular hole

Pista grande:

La semichorda mide $12,$ mientras que la distancia del centro al plano del hielo es $r-8$

The half-chord is $12,$ while the center-to-ice distance is $r-8$

Solución:

En una sección transversal vertical, la mitad del agujero de $24$ cm es un segmento de cuerda de longitud $12.$ Si el radio de la esfera es $r,$ la distancia desde su centro hasta el plano del hielo es $r-8.$ El triángulo rectángulo resultante da $(r-8)^2+12^2=r^2.$ Al resolver, se obtiene $16r=208,$ así que $r=13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In a vertical cross-section, half the $24$ -cm hole is a chord segment of length $12.$ If the sphere radius is $r,$ the distance from its center to the ice plane is $r-8.$ The resulting right triangle gives $(r-8)^2+12^2=r^2.$ Solving yields $16r=208,$ so $r=13.$

Thus the correct answer is C.

23.

Si $p$ es primo y las dos raíces de $x^2+px-444p=0$ son enteras, entonces

If $p$ is a prime and both roots of $x^2+px-444p=0$ are integers, then

$1\lt p\le11$

$11\lt p\le21$

$21\lt p\le31$

$31\lt p\le41$

$41\lt p\le51$

Conceptos:integer roots prime divisibility Vieta’s formulas

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Para una raíz entera $x,$ reescribe la ecuación como $x^2=p(444-x)$

For an integer root $x,$ rewrite the equation as $x^2=p(444-x)$

Pista grande:

Como $p$ es primo, escribe $x=np$ y factoriza $444$

Since $p$ is prime, write $x=np$ and factor $444$

Solución:

Una raíz entera satisface $x^2=p(444-x).$ Por tanto, $x$ es divisible por $p,$ así que escribimos $x=np.$ Al sustituir, se obtiene $n(n+1)p=444=2^2\cdot3\cdot37.$ La condición sobre el producto de enteros consecutivos solo se cumple con $p=37,$ para el cual $n=3$ o $-4.$ Las raíces son $111$ y $-148,$ de modo que $31\lt p\le41.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

An integer root satisfies $x^2=p(444-x).$ Thus $x$ is divisible by $p,$ so write $x=np.$ Substitution gives $n(n+1)p=444=2^2\cdot3\cdot37.$ The consecutive product condition works only with $p=37,$ for which $n=3$ or $-4.$ The roots are $111$ and $-148,$ so $31\lt p\le41.$

Thus the correct answer is D.

24.

¿Cuántas funciones polinómicas $f$ de grado $\ge1$ satisfacen $f(x^2)=[f(x)]^2=f(f(x))?$

How many polynomial functions $f$ of degree $\ge1$ satisfy $f(x^2)=[f(x)]^2=f(f(x))?$

$0$

$1$

$2$

una cantidad finita, pero mayor que $2$

finitely many but more than $2$

una cantidad infinita

infinitely many

Conceptos:polynomial degree leading coefficient ecuación funcional

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Compara los grados y los coeficientes principales de los tres polinomios

Compare the degrees and leading coefficients of the three polynomials

Pista grande:

Después de demostrar que $f$ es un polinomio cuadrático mónico, compara coeficientes en $f(x^2)=[f(x)]^2$

After proving $f$ is a monic quadratic, compare coefficients in $f(x^2)=[f(x)]^2$

Solución:

Sea $f$ de grado $n\ge1$ y coeficiente principal $a.$ Las tres expresiones tienen grados $2n,2n,n^2,$ por lo que $n^2=2n$ y, en consecuencia, $n=2.$ Al comparar los coeficientes principales en $f(x^2)=[f(x)]^2$ , se obtiene $a=a^2,$ de donde $a=1.$

Escribamos $f(x)=x^2+bx+c.$ Entonces $x^4+bx^2+c=(x^2+bx+c)^2.$ El coeficiente cúbico obliga a que $b=0,$ y luego el coeficiente cuadrático obliga a que $c=0.$ Por tanto, la única candidata es $f(x)=x^2,$ que en efecto satisface las tres expresiones. Hay exactamente una función.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $f$ have degree $n\ge1$ and leading coefficient $a.$ The three expressions have degrees $2n,2n,n^2,$ so $n^2=2n$ and therefore $n=2.$ Comparing leading coefficients in $f(x^2)=[f(x)]^2$ gives $a=a^2,$ hence $a=1.$

Write $f(x)=x^2+bx+c.$ Then $x^4+bx^2+c=(x^2+bx+c)^2.$ The cubic coefficient forces $b=0,$ and then the quadratic coefficient forces $c=0.$ Thus the only candidate is $f(x)=x^2,$ which indeed satisfies all three expressions. There is exactly one function.

Thus the correct answer is B.

25.

$ABC$ es un triángulo: $A=(0,0),$ $B=(36,15),$ y las dos coordenadas de $C$ son enteras. ¿Cuál es el área mínima que puede tener $\triangle ABC$ ?

$ABC$ is a triangle: $A=(0,0),$ $B=(36,15),$ and both the coordinates of $C$ are integers. What is the minimum area $\triangle ABC$ can have?

$\frac12$

$1$

$\frac32$

$\frac{13}{2}$

no existe un mínimo

there is no minimum

Conceptos:geometría analítica determinant area máximo común divisor

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Escribe $C=(u,v)$ y usa la fórmula del determinante para el área de un triángulo

Write $C=(u,v)$ and use the determinant formula for triangle area

Pista grande:

Halla el menor valor positivo de $|36v-15u|$ usando $\gcd(36,15)$

Find the smallest positive value of $|36v-15u|$ using $\gcd(36,15)$

Solución:

Para $C=(u,v),$ el área es $\frac12|36v-15u|.$ Como $\gcd(36,15)=3,$ el menor valor positivo posible del determinante es al menos $3.$ Este se alcanza, por ejemplo, con $u=7,\ v=3,$ pues $36(3)-15(7)=3.$ Por lo tanto, el área mínima es $\frac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For $C=(u,v),$ the area is $\frac12|36v-15u|.$ Since $\gcd(36,15)=3,$ the smallest possible positive value of the determinant is at least $3.$ It is attained, for example, by $u=7,\ v=3,$ since $36(3)-15(7)=3.$ Therefore the minimum area is $\frac{3}{2}.$

Thus the correct answer is C.

26.

La cantidad $2.5$ se divide uniformemente al azar en dos números reales no negativos; por ejemplo, en $2.143$ y $0.357,$ o en $\sqrt3$ y $2.5-\sqrt3.$ Después, cada número se redondea al entero más cercano; por ejemplo, a $2$ y $0$ en el primer caso, y a $2$ y $1$ en el segundo. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos enteros sumen $3$ ?

The amount $2.5$ is split into two nonnegative real numbers uniformly at random, for instance, into $2.143$ and $0.357,$ or into $\sqrt3$ and $2.5-\sqrt3.$ Then each number is rounded to its nearest integer, for instance, $2$ and $0$ in the first case above, $2$ and $1$ in the second. What is the probability that the two integers sum to $3?$

$\frac14$

$\frac25$

$\frac12$

$\frac35$

$\frac34$

Conceptos:continuous probability rounding interval length

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sea el primer número $x$ , distribuido uniformemente en $[0,2.5]$

Let the first number be $x$ uniformly distributed on $[0,2.5]$

Pista grande:

Halla los intervalos en los que $x$ y $2.5-x$ se redondean a enteros cuya suma es $3$

Find the intervals on which $x$ and $2.5-x$ round to integers whose sum is $3$

Solución:

Sea la primera parte $x\in[0,2.5],$ de modo que la segunda es $2.5-x.$ Ignorando los extremos, que tienen probabilidad cero, los valores redondeados suman $3$ exactamente cuando $\begin{gathered} \frac12\lt x\lt1\\ \text{o}\\ \frac32\lt x\lt2. \end{gathered}$ Estos intervalos tienen longitud total $1,$ dentro de un intervalo muestral de longitud $2.5.$ Por consiguiente, la probabilidad es $\frac{1}{2.5}=\frac{2}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the first part be $x\in[0,2.5],$ so the second is $2.5-x.$ Ignoring endpoints of probability zero, the rounded values sum to $3$ exactly when $\begin{gathered} \frac12\lt x\lt1\\ \text{or}\\ \frac32\lt x\lt2. \end{gathered}$ These intervals have total length $1,$ out of a sample interval of length $2.5.$ The probability is therefore $\frac{1}{2.5}=\frac{2}{5}.$

Thus the correct answer is B.

27.

Un cubo de queso $C=\{(x,y,z)\mid0\le x,y,z\le1\}$ se corta por los planos $x=y,$ $y=z,$ y $z=x.$ ¿Cuántas piezas se obtienen? (No se mueve el queso hasta haber realizado los tres cortes.)

A cube of cheese $C=\{(x,y,z)\mid0\le x,y,z\le1\}$ is cut along the planes $x=y,$ $y=z,$ and $z=x.$ How many pieces are there? (No cheese is moved until all three cuts are made.)

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:three-dimensional geometry coordinate ordering permutaciones

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Dentro de una misma pieza, el orden relativo de $x,y,z$ no puede cambiar

Within one piece, the relative order of $x,y,z$ cannot change

Pista grande:

Cuenta los ordenamientos estrictos de tres coordenadas distintas

Count the strict orderings of three distinct coordinates

Solución:

Los tres planos son precisamente las fronteras donde dos coordenadas son iguales. Fuera de ellos, cada pieza queda determinada por un orden estricto de $x,y,z,$ como $x\lt y\lt z.$ Cada uno de los $3!=6$ ordenamientos aparece dentro del cubo, así que hay $6$ piezas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The three planes are precisely the boundaries where two coordinates are equal. Away from them, each piece is determined by a strict ordering of $x,y,z,$ such as $x\lt y\lt z.$ Every one of the $3!=6$ orderings occurs inside the cube, so there are $6$ pieces.

Thus the correct answer is B.

28.

Sean $a,$ $b,$ $c,$ $d$ números reales. Supongamos que todas las raíces de $z^4+az^3+bz^2+cz+d=0$ son números complejos situados sobre una circunferencia del plano complejo con centro en $0+0i$ y radio $1.$ La suma de los recíprocos de las raíces es necesariamente

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d$ be real numbers. Suppose that all the roots of $z^4+az^3+bz^2+cz+d=0$ are complex numbers lying on a circle in the complex plane centered at $0+0i$ and having radius $1.$ The sum of the reciprocals of the roots is necessarily

$a$

$b$

$c$

$-a$

$-b$

Conceptos:complex conjugates unit circle Vieta’s formulas

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Para un número complejo $r$ sobre la circunferencia unitaria, compara $\frac{1}{r}$ con $\overline r$

For a complex number $r$ on the unit circle, compare $\frac{1}{r}$ with $\overline r$

Pista grande:

Los coeficientes reales del polinomio hacen que la suma de las raíces sea real

Real polynomial coefficients make the sum of the roots real

Solución:

Si $|r|=1,$ entonces $\frac{1}{r}=\overline r.$ Por tanto, la suma de los recíprocos es el conjugado de la suma de las raíces. Por las fórmulas de Vieta, la suma de las raíces es $-a,$ que es real. Su conjugado sigue siendo $-a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $|r|=1,$ then $\frac{1}{r}=\overline r.$ Therefore the sum of the reciprocals is the conjugate of the sum of the roots. By Vieta’s formulas, the sum of the roots is $-a,$ which is real. Its conjugate is still $-a.$

Thus the correct answer is D.

29.

Considera la sucesión definida recursivamente por $t_1=1$ y, para $n\gt1,$ por $t_n=1+t_{\frac{n}{2}}$ cuando $n$ es par y por $t_n=\frac{1}{t_{n-1}}$ cuando $n$ es impar. Dado que $t_n=\frac{19}{87},$ la suma de los dígitos de $n$ es

Consider the sequence of numbers defined recursively by $t_1=1$ and for $n\gt1$ by $t_n=1+t_{\frac{n}{2}}$ when $n$ is even and by $t_n=\frac{1}{t_{n-1}}$ when $n$ is odd. Given that $t_n=\frac{19}{87},$ the sum of the digits of $n$ is

$15$

$17$

$19$

$21$

$23$

Conceptos:recursive sequence inverse recursion rational numbers

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Los valores mayores que $1$ provienen de índices pares; los valores entre $0$ y $1$ provienen de índices impares

Values greater than $1$ come from even indices; values between $0$ and $1$ come from odd indices

Pista grande:

Invierte la recurrencia: resta $1$ a los valores mayores que $1$ y toma el recíproco de los valores menores que $1$

Reverse the recursion by subtracting $1$ from values above $1$ and taking reciprocals of values below $1$

Solución:

Sea $N(r)$ el índice en el que aparece el valor $r$ . Al invertir la recurrencia, se obtiene $N(r)=2N(r-1)$ para $r\gt1,$ y $N(r)=N(\frac{1}{r})+1$ para $0\lt r\lt1.$

Partiendo de $N(1)=1,$ el uso repetido de estas relaciones da $N(2)=2,$ $N(\frac{1}{2})=3,$ $N(\frac{3}{2})=6,$ y $N(\frac{2}{3})=7.$ Al continuar, se obtiene $N(\frac{5}{3})=14,$ $N(\frac{8}{3})=28,$ $N(\frac{3}{8})=29,$ y $N(\frac{11}{8})=58.$

Luego, $N(\frac{8}{11})=59,$ $N(\frac{19}{11})=118,$ $N(\frac{11}{19})=119,$ $N(\frac{30}{19})=238,$ $N(\frac{49}{19})=476,$ y $N(\frac{68}{19})=952.$ Finalmente, $N(\frac{87}{19})=1904$ y $N(\frac{19}{87})=1905.$ Así, $n=1905,$ cuya suma de dígitos es $1+9+0+5=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $N(r)$ be the index at which the value $r$ occurs. Reversing the recursion gives $N(r)=2N(r-1)$ for $r\gt1,$ and $N(r)=N(\frac{1}{r})+1$ for $0\lt r\lt1.$

Starting with $N(1)=1,$ repeated use gives $N(2)=2,$ $N(\frac{1}{2})=3,$ $N(\frac{3}{2})=6,$ and $N(\frac{2}{3})=7.$ Continuing gives $N(\frac{5}{3})=14,$ $N(\frac{8}{3})=28,$ $N(\frac{3}{8})=29,$ and $N(\frac{11}{8})=58.$

Next, $N(\frac{8}{11})=59,$ $N(\frac{19}{11})=118,$ $N(\frac{11}{19})=119,$ $N(\frac{30}{19})=238,$ $N(\frac{49}{19})=476,$ and $N(\frac{68}{19})=952.$ Finally, $N(\frac{87}{19})=1904$ and $N(\frac{19}{87})=1905.$ Thus $n=1905,$ whose digit sum is $1+9+0+5=15.$

Therefore the correct answer is A.

30.

En la figura, $\triangle ABC$ tiene $\angle A=45^\circ$ y $\angle B=30^\circ.$ Una recta $DE,$ con $D$ sobre $AB$ y $\angle ADE=60^\circ,$ divide $\triangle ABC$ en dos partes de igual área. (Nota: la figura puede no ser exacta; quizá $E$ esté sobre $CB$ en lugar de $AC.$ ) La razón $\frac{AD}{AB}$ es

In the figure, $\triangle ABC$ has $\angle A=45^\circ$ and $\angle B=30^\circ.$ A line $DE,$ with $D$ on $AB$ and $\angle ADE=60^\circ,$ divides $\triangle ABC$ into two pieces of equal area. (Note: the figure may not be accurate; perhaps $E$ is on $CB$ instead of $AC.$ ) The ratio $\frac{AD}{AB}$ is

$\frac1{\sqrt2}$

$\frac2{2+\sqrt2}$

$\frac1{\sqrt3}$

$\frac1{\sqrt[3]{6}}$

$\frac1{\sqrt[4]{12}}$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo similar scaling trigonometría

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Escala de modo que $AB=1$ y coloca $A=(0,0),\ B=(1,0)$

Scale so $AB=1$ and place $A=(0,0),\ B=(1,0)$

Pista grande:

Halla la altura de $C$ y la de $E$ en términos de $d=AD$ ; luego iguala la mitad del área total al área de $\triangle ADE$

Find the height of $C$ and the height of $E$ in terms of $d=AD$ , then equate half the total area to the area of $\triangle ADE$

Solución:

Tomemos $AB=1,\ A=(0,0),$ y $B=(1,0).$ Como $\angle A=45^\circ,$ el lado $AC$ se encuentra sobre $y=x.$ La recta que pasa por $B$ y forma un ángulo de $30^\circ$ con $BA$ la interseca a la altura $h_C=\frac1{1+\sqrt3}.$ Sea $d=AD.$ El rayo $DE$ tiene pendiente $-\sqrt3,$ así que su intersección con $y=x$ tiene altura $h_E=\frac{\sqrt3\,d}{1+\sqrt3}.$ La igualdad de las áreas exige $\frac12d h_E=\frac12\left(\frac12h_C\right).$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \frac{\sqrt3\,d^2}{2(1+\sqrt3)} &=\frac1{4(1+\sqrt3)},\\ d^2&=\frac1{2\sqrt3} =\frac1{\sqrt{12}}. \end{aligned}$ Así, $\frac{AD}{AB}=d=\frac{1}{\sqrt[4]{12}}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set $AB=1,\ A=(0,0),$ and $B=(1,0).$ Since $\angle A=45^\circ,$ side $AC$ lies on $y=x.$ The line through $B$ making angle $30^\circ$ with $BA$ meets it at height $h_C=\frac1{1+\sqrt3}.$ Let $d=AD.$ The ray $DE$ has slope $-\sqrt3,$ so its intersection with $y=x$ has height $h_E=\frac{\sqrt3\,d}{1+\sqrt3}.$ Equal areas require $\frac12d h_E=\frac12\left(\frac12h_C\right).$ Therefore $\begin{aligned} \frac{\sqrt3\,d^2}{2(1+\sqrt3)} &=\frac1{4(1+\sqrt3)},\\ d^2&=\frac1{2\sqrt3} =\frac1{\sqrt{12}}. \end{aligned}$ Hence $\frac{AD}{AB}=d=\frac{1}{\sqrt[4]{12}}.$

Thus the correct answer is E.