Question

La cantidad $2.5$ se divide uniformemente al azar en dos números reales no negativos; por ejemplo, en $2.143$ y $0.357,$ o en $\sqrt3$ y $2.5-\sqrt3.$ Después, cada número se redondea al entero más cercano; por ejemplo, a $2$ y $0$ en el primer caso, y a $2$ y $1$ en el segundo. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos enteros sumen $3$ ?

The amount $2.5$ is split into two nonnegative real numbers uniformly at random, for instance, into $2.143$ and $0.357,$ or into $\sqrt3$ and $2.5-\sqrt3.$ Then each number is rounded to its nearest integer, for instance, $2$ and $0$ in the first case above, $2$ and $1$ in the second. What is the probability that the two integers sum to $3?$

$\frac14$

$\frac25$

$\frac12$

$\frac35$

$\frac34$

Respuesta: B

Conceptos:continuous probability rounding interval length

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sea el primer número $x$ , distribuido uniformemente en $[0,2.5]$

Let the first number be $x$ uniformly distributed on $[0,2.5]$

Pista grande:

Halla los intervalos en los que $x$ y $2.5-x$ se redondean a enteros cuya suma es $3$

Find the intervals on which $x$ and $2.5-x$ round to integers whose sum is $3$

Solución:

Sea la primera parte $x\in[0,2.5],$ de modo que la segunda es $2.5-x.$ Ignorando los extremos, que tienen probabilidad cero, los valores redondeados suman $3$ exactamente cuando $\begin{gathered} \frac12\lt x\lt1\\ \text{o}\\ \frac32\lt x\lt2. \end{gathered}$ Estos intervalos tienen longitud total $1,$ dentro de un intervalo muestral de longitud $2.5.$ Por consiguiente, la probabilidad es $\frac{1}{2.5}=\frac{2}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the first part be $x\in[0,2.5],$ so the second is $2.5-x.$ Ignoring endpoints of probability zero, the rounded values sum to $3$ exactly when $\begin{gathered} \frac12\lt x\lt1\\ \text{or}\\ \frac32\lt x\lt2. \end{gathered}$ These intervals have total length $1,$ out of a sample interval of length $2.5.$ The probability is therefore $\frac{1}{2.5}=\frac{2}{5}.$

Thus the correct answer is B.

1987 AMC 12 Problema 26

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años