Question

Sea $m$ un entero positivo, y supongamos que las rectas $13x+11y=700$ y $y=mx-1$ se cortan en un punto de coordenadas enteras. Entonces $m$ puede ser:

Let $m$ be a positive integer and let the lines $13x+11y=700$ and $y=mx-1$ intersect in a point whose coordinates are integers. Then $m$ can be:

solo $4$

$4$ only

solo $5$

$5$ only

solo $6$

$6$ only

solo $7$

$7$ only

uno de los enteros $4,$ $5,$ $6,$ $7$ y otro entero positivo

one of the integers $4,$ $5,$ $6,$ $7$ and one other positive integer

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica divisibilidad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Sustituye $y=mx-1$ en la primera recta

Substitute $y=mx-1$ into the first line

Pista grande:

Para que $x$ sea entero, $13+11m$ debe dividir a $711$

For integer $x,$ the number $13+11m$ must divide $711$

Solución:

La sustitución da $(13+11m)x=711.$ Así, $13+11m$ debe ser un divisor positivo de $711=3^2\cdot79.$ Entre los divisores mayores que $13,$ solo $79$ es congruente con $13\pmod{11}.$ Por ello, $13+11m=79,$ así que $m=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substitution gives $(13+11m)x=711.$ Thus $13+11m$ must be a positive divisor of $711=3^2\cdot79.$ Among divisors greater than $13,$ only $79$ is congruent to $13\pmod{11}.$ Hence $13+11m=79,$ so $m=6.$

Therefore, the correct answer is C.

1966 AMC 12 Problema 26

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años