Question

En la ecuación $\frac{x(x-1)-(m+1)}{(x-1)(m-1)}=\frac{x}{m},$ las raíces son iguales cuando:

In the equation $\frac{x(x-1)-(m+1)}{(x-1)(m-1)}=\frac{x}{m},$ the roots are equal when:

$m=1$

$m=\dfrac12$

$m=0$

$m=-1$

$m=-\dfrac12$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática ecuación racional

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Elimina los denominadores y ordena la ecuación cuadrática resultante en $x$

Clear denominators and collect the resulting quadratic in $x$

Pista grande:

La ecuación se reduce a $x^2-x-m(m+1)=0$ ; para que las raíces sean iguales, el discriminante debe ser cero

The equation reduces to $x^2-x-m(m+1)=0$ ; equal roots require zero discriminant

Solución:

Al eliminar los denominadores y simplificar se obtiene $x^2-x-m(m+1)=0.$ Para que las raíces sean iguales se requiere $\begin{aligned} 1+4m(m+1) &=(2m+1)^2\\ &=0, \end{aligned}$ de donde $m=-\frac12.$ Este valor no anula ninguno de los denominadores originales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Clearing denominators and simplifying yields $x^2-x-m(m+1)=0.$ Equal roots require $\begin{aligned} 1+4m(m+1) &=(2m+1)^2\\ &=0, \end{aligned}$ hence $m=-\frac12.$ This value does not violate the original denominators.

Thus, the correct answer is E.

1951 AMC 12 Problema 26

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años