Question

La base de un triángulo isósceles mide $\sqrt2.$ Las medianas correspondientes a los lados iguales se cortan en ángulo recto. El área del triángulo es:

The base of an isosceles triangle is $\sqrt2.$ The medians to the legs intersect each other at right angles. The area of the triangle is:

$1.5$

$2$

$2.5$

$3.5$

$4$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo isósceles mediana (geometría)geometría analítica área

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Coloca los extremos de la base simétricamente respecto del origen y el tercer vértice sobre la mediatriz

Place the base endpoints symmetrically about the origin and the third vertex on the perpendicular bisector

Pista grande:

Escribe vectores directores para las dos medianas e iguala su producto punto a cero

Write direction vectors for the two medians and set their dot product equal to zero

Solución:

Coloca los extremos de la base en $A=(-\frac{\sqrt2}{2},0)$ y $B=(\frac{\sqrt2}{2},0),$ y sea el tercer vértice $C=(0,h).$ La mediana desde $A$ tiene dirección $\left(\frac{3\sqrt2}{4},\frac h2\right),$ mientras que la mediana desde $B$ tiene dirección $\left(-\frac{3\sqrt2}{4},\frac h2\right).$ Su producto punto es cero, así que $-\frac98+\frac{h^2}{4}=0,$ y $h=\frac{3\sqrt2}{2}.$ Por lo tanto, el área es $\frac12\cdot\sqrt2\cdot\frac{3\sqrt2}{2}=\frac32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Put the base endpoints at $A=(-\frac{\sqrt2}{2},0)$ and $B=(\frac{\sqrt2}{2},0),$ and let the third vertex be $C=(0,h).$ The median from $A$ has direction $\left(\frac{3\sqrt2}{4},\frac h2\right),$ while the median from $B$ has direction $\left(-\frac{3\sqrt2}{4},\frac h2\right).$ Their dot product is zero, so $-\frac98+\frac{h^2}{4}=0,$ and $h=\frac{3\sqrt2}{2}.$ Thus the area is $\frac12\cdot\sqrt2\cdot\frac{3\sqrt2}{2}=\frac32.$

Therefore, the correct answer is A.

1959 AMC 12 Problema 26

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años