Question

Tres polígonos regulares planos que no se solapan, de los cuales al menos dos son congruentes, tienen todos lados de longitud $1.$ Los polígonos se encuentran en un punto $A$ de tal manera que la suma de los tres ángulos interiores en $A$ es $360^\circ.$ Así, los tres polígonos forman un nuevo polígono con $A$ como punto interior. ¿Cuál es el mayor perímetro posible que puede tener este polígono?

Three non-overlapping regular plane polygons, at least two of which are congruent, all have sides of length $1.$ The polygons meet at a point $A$ in such a way that the sum of the three interior angles at $A$ is $360^\circ.$ Thus the three polygons form a new polygon with $A$ as an interior point. What is the largest possible perimeter that this polygon can have?

$12$

$14$

$18$

$21$

$24$

Solución:

Sea que dos $a$ -ágonos congruentes y un $b$ -ágono se encuentran en $A.$ Sus ángulos interiores satisfacen $\begin{aligned} &2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right) \\ &\quad {}+ 180\left(1 - \tfrac2b\right) = 360, \end{aligned}$ lo que se reduce a $(a - 4)(b - 2) = 8.$

Las soluciones $(a, b)$ son $(5, 10), (6, 6), (8, 4),$ y $(12, 3).$ El perímetro del nuevo polígono es $2a + b - 6,$ dando $14, 12, 14,$ y $21.$ El mayor es $21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let two congruent $a$ -gons and one $b$ -gon meet at $A.$ Their interior angles satisfy $\begin{aligned} &2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right) \\ &\quad {}+ 180\left(1 - \tfrac2b\right) = 360, \end{aligned}$ which reduces to $(a - 4)(b - 2) = 8.$

The solutions $(a, b)$ are $(5, 10), (6, 6), (8, 4),$ and $(12, 3).$ The new polygon's perimeter is $2a + b - 6,$ giving $14, 12, 14,$ and $21.$ The largest is $21.$

Thus, the correct answer is D.

1999 AMC 12 Problema 26

Solución: