Question

En el triángulo $ABC,$ $3\sin A + 4\cos B = 6$ y $4\sin B + 3\cos A = 1.$ Entonces $\angle C$ en grados es

In triangle $ABC,$ $3\sin A + 4\cos B = 6$ and $4\sin B + 3\cos A = 1.$ Then $\angle C$ in degrees is

$30$

$60$

$90$

$120$

$150$

Solución:

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando se obtiene $\begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37, \end{aligned}$ así que $24\sin(A + B) = 12$ y $\sin(A + B) = \tfrac12.$

Entonces $\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12,$ así que $\angle C = 30^\circ$ o $150^\circ.$ Si $\angle C = 150^\circ,$ entonces $A \lt 30^\circ,$ haciendo que $3\sin A + 4\cos B \lt 6,$ una contradicción. Por lo tanto $\angle C = 30^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Squaring both equations and adding gives $\begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37, \end{aligned}$ so $24\sin(A + B) = 12$ and $\sin(A + B) = \tfrac12.$

Then $\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12,$ so $\angle C = 30^\circ$ or $150^\circ.$ If $\angle C = 150^\circ,$ then $A \lt 30^\circ,$ making $3\sin A + 4\cos B \lt 6,$ a contradiction. Hence $\angle C = 30^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

1999 AMC 12 Problema 27

Solución: