Question

Sea $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_n$ una sucesión de enteros tal que

(i) $-1 \le x_i \le 2,$ para $i = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n$ ;

(ii) $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19;$ y

(iii) $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99.$

Sean $m$ y $M$ los valores mínimo y máximo posibles de $x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3,$ respectivamente. ¿Cuánto vale $\dfrac{M}{m}$ ?

Let $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_n$ be a sequence of integers such that

(i) $-1 \le x_i \le 2,$ for $i = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n$ ;

(ii) $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19;$ and

(iii) $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99.$

Let $m$ and $M$ be the minimal and maximal possible values of $x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3,$ respectively. What is $\dfrac{M}{m}?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: E

Conceptos:sistema de ecuaciones optimización

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Sean $a, b, c$ el número de $-1$ , $1$ y $2$ (los ceros no importan).

Let $a, b, c$ count the $-1$ s, $1$ s, and $2$ s (zeros do not matter)

Pista grande:

La suma de cubos es $-a + b + 8c = 19 + 6c;$ optimiza sobre el rango permitido de $c$ .

The sum of cubes is $-a + b + 8c = 19 + 6c;$ optimize over the allowed range of $c$

Solución:

Sean $a, b, c$ el número de $-1$ , $1$ y $2$ . Entonces $-a + b + 2c = 19$ y $a + b + 4c = 99,$ dando $a = 40 - c$ y $b = 59 - 3c$ con $0 \le c \le 19.$

La suma de cubos es $-a + b + 8c = 19 + 6c.$ El mínimo está en $c = 0$ (valor $19$ ) y el máximo en $c = 19$ (valor $133$ ), así que $\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $a, b, c$ be the numbers of $-1$ s, $1$ s, and $2$ s. Then $-a + b + 2c = 19$ and $a + b + 4c = 99,$ giving $a = 40 - c$ and $b = 59 - 3c$ with $0 \le c \le 19.$

The sum of cubes is $-a + b + 8c = 19 + 6c.$ The minimum is at $c = 0$ (value $19$ ) and the maximum at $c = 19$ (value $133$ ), so $\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7.$

Thus, the correct answer is E.

1999 AMC 12 Problema 28

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años