1999 AMC 12 Problema 29
A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 29 del 1999 AMC 12, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1999 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
Nivel de dificultad: 2380
29.
Un tetraedro con cuatro caras triangulares equiláteras tiene una esfera inscrita en su interior y una esfera circunscrita a su alrededor. Para cada una de las cuatro caras, hay una esfera tangente externamente a la cara en su centro y a la esfera circunscrita. Se selecciona al azar un punto dentro de la esfera circunscrita. La probabilidad de que esté dentro de una de las cinco esferas pequeñas es la más cercana a
A tetrahedron with four equilateral triangular faces has a sphere inscribed within it and a sphere circumscribed about it. For each of the four faces, there is a sphere tangent externally to the face at its center and to the circumscribed sphere. A point is selected at random inside the circumscribed sphere. The probability that lies inside one of the five small spheres is closest to
Solución:
Sea el centro común de las esferas inscrita y circunscrita. Dividir el tetraedro en cuatro piezas congruentes desde muestra que el circunradio es veces el inradio, así que la esfera circunscrita tiene veces el volumen de la esfera inscrita,
Cada esfera tangente externamente cabe entre una cara y la esfera circunscrita y es congruente con la esfera inscrita, así que las cinco esferas pequeñas tienen volumen total La probabilidad es la más cercana a
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let be the common center of the inscribed and circumscribed spheres. Splitting the tetrahedron into four congruent pieces from shows the circumradius is times the inradius, so the circumscribed sphere has times the inscribed sphere's volume
Each externally tangent sphere fits between a face and the circumscribed sphere and is congruent to the inscribed sphere, so the five small spheres have total volume The probability is closest to
Thus, the correct answer is C.