1999 AMC 12 Problema 29
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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
29.
Un tetraedro con cuatro caras triangulares equiláteras tiene una esfera inscrita en su interior y una esfera circunscrita a su alrededor. Para cada una de las cuatro caras, hay una esfera tangente externamente a la cara en su centro y a la esfera circunscrita. Se selecciona al azar un punto dentro de la esfera circunscrita. La probabilidad de que esté dentro de una de las cinco esferas pequeñas es la más cercana a
A tetrahedron with four equilateral triangular faces has a sphere inscribed within it and a sphere circumscribed about it. For each of the four faces, there is a sphere tangent externally to the face at its center and to the circumscribed sphere. A point is selected at random inside the circumscribed sphere. The probability that lies inside one of the five small spheres is closest to
Respuesta: C
Pista pequeña:
Para un tetraedro regular el circunradio es veces el inradio.
For a regular tetrahedron the circumradius is times the inradius
Pista grande:
Cada una de las cinco esferas pequeñas tiene el mismo volumen que la esfera inscrita.
Each of the five small spheres has the same volume as the inscribed sphere
Solución:
Sea el centro común de las esferas inscrita y circunscrita. Dividir el tetraedro en cuatro piezas congruentes desde muestra que el circunradio es veces el inradio, por lo que la esfera circunscrita tiene veces el volumen de la esfera inscrita.
Si una de las otras cuatro esferas pequeñas tiene radio su centro está a distancia de y también a distancia de , así que Estas cinco esferas tienen interiores disjuntos (la esfera central es tangente a cada una de las otras cuatro), por lo que su unión tiene volumen La probabilidad es la más cercana a
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let be the common center of the inscribed and circumscribed spheres. Splitting the tetrahedron into four congruent pieces from shows the circumradius is times the inradius, so the circumscribed sphere has times the inscribed sphere’s volume
If one of the four other small spheres has radius its center is from and also from so These five spheres have disjoint interiors (the central sphere is tangent to each of the other four), so their union has volume The probability is closest to
Thus, the correct answer is C.
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