Soluciones del 1999 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

$\begin{aligned} &1 - 2 + 3 - 4 + \cdots - 98 \\ &\quad {}+ 99 = \, ? \end{aligned}$

$-50$

$-49$

$0$

$49$

$50$

Conceptos:sumatoria emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Agrupa los términos en parejas consecutivas.

Group the terms in consecutive pairs

Pista grande:

Cada pareja $(2k-1) - 2k$ es igual a $-1$

Each pair $(2k-1) - 2k$ equals $-1$

Solución:

Al agrupar los términos consecutivos se obtiene $\begin{aligned} &(1-2) + (3-4) + \cdots \\ &\quad {}+ (97-98) + 99. \end{aligned}$ Hay $49$ parejas, cada una igual a $-1,$ así que la suma es $-49 + 99 = 50.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Pairing consecutive terms gives $\begin{aligned} &(1-2) + (3-4) + \cdots \\ &\quad {}+ (97-98) + 99. \end{aligned}$ There are $49$ pairs, each equal to $-1,$ so the sum is $-49 + 99 = 50.$

Thus, the correct answer is E.

2.

¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?

Which one of the following statements is false?

Todos los triángulos equiláteros son congruentes entre sí.

All equilateral triangles are congruent to each other.

Todos los triángulos equiláteros son convexos.

All equilateral triangles are convex.

Todos los triángulos equiláteros son equiángulos.

All equilateral triangles are equiangular.

Todos los triángulos equiláteros son polígonos regulares.

All equilateral triangles are regular polygons.

Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí.

All equilateral triangles are similar to each other.

Conceptos:triángulo equilátero congruencia (geometría)semejanza

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

Congruente significa la misma forma y el mismo tamaño.

Congruent means the same shape and the same size

Pista grande:

Los triángulos equiláteros pueden tener longitudes de lado diferentes.

Equilateral triangles can have different side lengths

Solución:

Los triángulos equiláteros con longitudes de lado $1$ y $2$ tienen la misma forma pero distinto tamaño, por lo que son semejantes pero no congruentes. Todo triángulo equilátero es convexo, equiángulo (todos sus ángulos miden $60^\circ$ ) y un polígono regular, así que el único enunciado falso es que todos son congruentes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Equilateral triangles with side lengths $1$ and $2$ have the same shape but different sizes, so they are similar but not congruent. Every equilateral triangle is convex, equiangular (all angles $60^\circ$ ), and a regular polygon, so the only false statement is that they are all congruent.

Thus, the correct answer is A.

3.

El número que está justo a la mitad entre $\tfrac18$ y $\tfrac{1}{10}$ es

The number halfway between $\tfrac18$ and $\tfrac{1}{10}$ is

$\dfrac{1}{80}$

$\dfrac{1}{40}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{9}{80}$

Conceptos:fracción media

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

El número que está a la mitad entre dos valores es su promedio.

The number halfway between two values is their average

Pista grande:

Calcula $\dfrac12\left(\dfrac18 + \dfrac{1}{10}\right)$

Compute $\dfrac12\left(\dfrac18 + \dfrac{1}{10}\right)$

Solución:

El punto medio es el promedio $\dfrac12\left(\dfrac18 + \dfrac{1}{10}\right) = \dfrac12 \cdot \dfrac{18}{80} = \dfrac{9}{80}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The halfway point is the average $\dfrac12\left(\dfrac18 + \dfrac{1}{10}\right) = \dfrac12 \cdot \dfrac{18}{80} = \dfrac{9}{80}.$

Thus, the correct answer is E.

4.

Halla la suma de todos los números primos entre $1$ y $100$ que son simultáneamente $1$ mayor que un múltiplo de $4$ y $1$ menor que un múltiplo de $5.$

Find the sum of all prime numbers between $1$ and $100$ that are simultaneously $1$ greater than a multiple of $4$ and $1$ less than a multiple of $5.$

$118$

$137$

$158$

$187$

$245$

Conceptos:aritmética modular primo Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Un número $1$ menor que un múltiplo de $5$ tiene cifra de las unidades $4$ o $9$

A number $1$ less than a multiple of $5$ has units digit $4$ or $9$

Pista grande:

Ser además $\equiv 1 \pmod 4$ obliga a que el número sea $\equiv 9 \pmod{20}$

Being also $\equiv 1 \pmod 4$ forces the number to be $\equiv 9 \pmod{20}$

Solución:

Un número que es $1$ menor que un múltiplo de $5$ termina en $4$ o $9,$ y uno que es $1$ mayor que un múltiplo de $4$ es impar. Juntas, estas condiciones dan números $\equiv 9 \pmod{20},$ a saber $9, 29, 49, 69, 89.$

Entre estos, solo $29$ y $89$ son primos, y su suma es $29 + 89 = 118.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A number that is $1$ less than a multiple of $5$ ends in $4$ or $9,$ and one that is $1$ greater than a multiple of $4$ is odd. Together these give numbers $\equiv 9 \pmod{20},$ namely $9, 29, 49, 69, 89.$

Among these, only $29$ and $89$ are prime, and their sum is $29 + 89 = 118.$

Thus, the correct answer is A.

5.

El precio marcado de un libro era $30\%$ menor que el precio de venta sugerido. Alice compró el libro por la mitad del precio marcado en una venta del Quincuagésimo Aniversario. ¿Qué porcentaje del precio de venta sugerido pagó Alice?

The marked price of a book was $30\%$ less than the suggested retail price. Alice purchased the book for half the marked price at a Fiftieth Anniversary sale. What percent of the suggested retail price did Alice pay?

$25\%$

$30\%$

$35\%$

$60\%$

$65\%$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Sea $P$ el precio de venta sugerido.

Let the suggested retail price be $P$

Pista grande:

El precio marcado es $0.7P,$ y Alice paga la mitad de eso.

The marked price is $0.7P,$ and Alice pays half of that

Solución:

Si el precio de venta sugerido es $P,$ entonces el precio marcado es $0.7P.$ Alice paga la mitad de esto, $0.35P,$ que es el $35\%$ del precio de venta sugerido.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the suggested retail price is $P,$ then the marked price is $0.7P.$ Alice pays half of this, $0.35P,$ which is $35\%$ of the suggested retail price.

Thus, the correct answer is C.

6.

¿Cuál es la suma de las cifras de la forma decimal del producto $2^{1999} \cdot 5^{2001}$ ?

What is the sum of the digits of the decimal form of the product $2^{1999} \cdot 5^{2001}?$

$2$

$4$

$5$

$7$

$10$

Conceptos:exponente dígitos

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Empareja cada factor $2$ con un factor $5$ para formar $10$ .

Pair each factor of $2$ with a factor of $5$ to make $10$

Pista grande:

$2^{1999} \cdot 5^{2001} = 5^2 \cdot 10^{1999}$

Solución:

Escribe $\begin{aligned} 2^{1999} \cdot 5^{2001} &= 2^{1999} \cdot 5^{1999} \cdot 5^2 \\ &= 25 \cdot 10^{1999}, \end{aligned}$ que es $25$ seguido de $1999$ ceros. La suma de las cifras es $2 + 5 = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $\begin{aligned} 2^{1999} \cdot 5^{2001} &= 2^{1999} \cdot 5^{1999} \cdot 5^2 \\ &= 25 \cdot 10^{1999}, \end{aligned}$ which is $25$ followed by $1999$ zeros. The sum of the digits is $2 + 5 = 7.$

Thus, the correct answer is D.

7.

¿Cuál es el mayor número de ángulos agudos que puede tener un hexágono convexo?

What is the largest number of acute angles that a convex hexagon can have?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:suma de ángulos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Los ángulos exteriores de un polígono convexo suman $360^\circ$ .

The exterior angles of a convex polygon sum to $360^\circ$

Pista grande:

Un ángulo interior agudo da un ángulo exterior mayor que $90^\circ$ .

An acute interior angle gives an exterior angle greater than $90^\circ$

Solución:

Cada ángulo interior agudo corresponde a un ángulo exterior mayor que $90^\circ.$ Como los ángulos exteriores de un polígono convexo suman $360^\circ,$ a lo sumo tres pueden superar $90^\circ.$ Esta cota se alcanza: tomemos un hexágono de lados iguales cuyos ángulos exteriores alternan entre $100^\circ$ y $20^\circ.$ Las direcciones de sus lados se dividen en dos ternas separadas por $120^\circ$ , así que se cierra, y sus ángulos interiores alternan entre $80^\circ$ y $160^\circ.$ Por tanto, el máximo es tres.

Así, la respuesta correcta es B.

Each acute interior angle corresponds to an exterior angle greater than $90^\circ.$ Since the exterior angles of a convex polygon sum to $360^\circ,$ at most three of them can exceed $90^\circ.$ This bound is attainable: take a hexagon with equal side lengths and exterior angles alternating $100^\circ$ and $20^\circ.$ Its edge directions split into two triples $120^\circ$ apart, so it closes, and its interior angles alternate between $80^\circ$ and $160^\circ.$ Hence the largest possible number is three.

Thus, the correct answer is B.

8.

Al final de $1994$ Walter tenía la mitad de la edad de su abuela. La suma de los años en que nacieron es $3838.$ ¿Cuántos años tendrá Walter al final de $1999$ ?

At the end of $1994$ Walter was half as old as his grandmother. The sum of the years in which they were born is $3838.$ How old will Walter be at the end of $1999?$

$48$

$49$

$53$

$55$

$101$

Conceptos:edades ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Sea $w$ la edad de Walter y $2w$ la de su abuela al final de $1994$ .

Let Walter be $w$ and his grandmother $2w$ at the end of $1994$

Pista grande:

Sus años de nacimiento son $1994 - w$ y $1994 - 2w$

Their birth years are $1994 - w$ and $1994 - 2w$

Solución:

Sea $w$ la edad de Walter al final de $1994,$ de modo que su abuela tiene $2w.$ Sus años de nacimiento son $1994 - w$ y $1994 - 2w,$ y $\begin{aligned} &(1994 - w) \\ &\quad {}+ (1994 - 2w) = 3838. \end{aligned}$ Esto da $3988 - 3w = 3838,$ así que $w = 50.$

Al final de $1999,$ Walter tendrá $50 + 5 = 55.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let Walter be $w$ years old at the end of $1994,$ so his grandmother is $2w.$ Their birth years are $1994 - w$ and $1994 - 2w,$ and $\begin{aligned} &(1994 - w) \\ &\quad {}+ (1994 - 2w) = 3838. \end{aligned}$ This gives $3988 - 3w = 3838,$ so $w = 50.$

At the end of $1999,$ Walter will be $50 + 5 = 55.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Antes de que Ashley comenzara un viaje de tres horas en auto, el cuentakilómetros de su auto marcaba $29792,$ un palíndromo, es decir, un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. En su destino, el cuentakilómetros marcaba otro palíndromo. Si Ashley nunca superó el límite de velocidad de $75$ millas por hora, ¿cuál de las siguientes fue su mayor velocidad promedio posible?

Before Ashley started a three-hour drive, her car’s odometer reading was $29792,$ a palindrome. (A palindrome is a number that reads the same way from left to right as it does from right to left.) At her destination, the odometer reading was another palindrome. If Ashley never exceeded the speed limit of $75$ miles per hour, which of the following was her greatest possible average speed?

$33\tfrac13$

$53\tfrac13$

$66\tfrac23$

$70\tfrac13$

$74\tfrac13$

Conceptos:palíndromo distancia, velocidad y tiempo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Enumera los palíndromos justo por encima de $29792$ .

List the palindromes just above $29792$

Pista grande:

La distancia en $3$ horas no puede superar $3 \cdot 75 = 225$ millas.

The distance in $3$ hours cannot exceed $3 \cdot 75 = 225$ miles

Solución:

Los palíndromos después de $29792$ son $29892, 29992, 30003,$ y $30103.$ En tres horas Ashley puede recorrer a lo sumo $3 \cdot 75 = 225$ millas.

Llegar a $30103$ requeriría $30103 - 29792 = 311$ millas, lo cual es demasiado lejos. Llegar a $30003$ requiere $30003 - 29792 = 211$ millas, dando una velocidad promedio de $\dfrac{211}{3} = 70\tfrac13$ millas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The palindromes after $29792$ are $29892, 29992, 30003,$ and $30103.$ In three hours Ashley can drive at most $3 \cdot 75 = 225$ miles.

Reaching $30103$ would require $30103 - 29792 = 311$ miles, which is too far. Reaching $30003$ requires $30003 - 29792 = 211$ miles, giving average speed $\dfrac{211}{3} = 70\tfrac13$ miles per hour.

Thus, the correct answer is D.

10.

Un sobre sellado contiene una tarjeta con una sola cifra escrita. Tres de los siguientes enunciados son verdaderos y el otro es falso.

I. La cifra es $1.$

II. La cifra no es $2.$

III. La cifra es $3.$

IV. La cifra no es $4.$

¿Cuál de los siguientes debe ser necesariamente correcto?

A sealed envelope contains a card with a single digit on it. Three of the following statements are true, and the other is false.

I. The digit is $1.$

II. The digit is not $2.$

III. The digit is $3.$

IV. The digit is not $4.$

Which one of the following must necessarily be correct?

$\mathrm{I}$ es verdadero.

$\mathrm{I}$ is true.

$\mathrm{I}$ es falso.

$\mathrm{I}$ is false.

$\mathrm{II}$ es verdadero.

$\mathrm{II}$ is true.

$\mathrm{III}$ es verdadero.

$\mathrm{III}$ is true.

$\mathrm{IV}$ es falso.

$\mathrm{IV}$ is false.

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Los enunciados I y III no pueden ser ambos verdaderos.

Statements I and III cannot both be true

Pista grande:

Exactamente un enunciado es falso, así que el falso es I o III.

Exactly one statement is false, so the false one is I or III

Solución:

Los enunciados I y III no pueden ser ambos verdaderos, así que el único enunciado falso es uno de ellos. Por lo tanto los enunciados II y IV son ambos verdaderos, lo que hace que “II es verdadero” sea necesariamente correcto.

La cifra es entonces $1$ o $3.$ Si fuera $1,$ entonces (B) y (D) son falsos; si fuera $3,$ entonces (A) es falso; y (E) siempre es incorrecto. Solo (C) está garantizado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Statements I and III cannot both be true, so the single false statement is one of them. Therefore statements II and IV are both true, which makes “II is true” necessarily correct.

The digit is thus $1$ or $3.$ If it were $1,$ then (B) and (D) are false; if it were $3,$ then (A) is false; and (E) is always incorrect. Only (C) is guaranteed.

Thus, the correct answer is C.

11.

Los casilleros de los estudiantes de Olympic High están numerados consecutivamente empezando por el casillero número $1.$ Las cifras de plástico usadas para numerar los casilleros cuestan $2$ centavos cada una. Así, cuesta $2$ centavos rotular el casillero número $9$ y $4$ centavos rotular el casillero número $10.$ Si cuesta $\$137.94$ rotular todos los casilleros, ¿cuántos casilleros hay en la escuela?

The student lockers at Olympic High are numbered consecutively beginning with locker number $1.$ The plastic digits used to number the lockers cost $2$ cents apiece. Thus, it costs $2$ cents to label locker number $9$ and $4$ cents to label locker number $10.$ If it costs $\$137.94$ to label all the lockers, how many lockers are there at the school?

$2001$

$2010$

$2100$

$2726$

$6897$

Conceptos:dígitos conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Divide el costo total entre el costo por cifra para obtener el número de cifras.

Divide the total cost by the cost per digit to get the number of digits

Pista grande:

Resta las cifras usadas por los casilleros $1$ - $9,$ $10$ - $99,$ y $100$ - $999$ .

Subtract the digits used by lockers $1$ - $9,$ $10$ - $99,$ and $100$ - $999$

Solución:

Rotular cuesta $\frac{\$137.94}{\$0.02} = 6897$ cifras. Los casilleros $1$ - $9$ usan $9$ cifras, los casilleros $10$ - $99$ usan $2 \cdot 90 = 180$ cifras, y los casilleros $100$ - $999$ usan $3 \cdot 900 = 2700$ cifras.

Las cifras restantes son $6897 - 2700 - 180 - 9 = 4008,$ que rotulan $\frac{4008}{4} = 1002$ casilleros de cuatro cifras. En total hay $999 + 1002 = 2001$ casilleros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Labeling costs $\frac{\$137.94}{\$0.02} = 6897$ digits. Lockers $1$ - $9$ use $9$ digits, lockers $10$ - $99$ use $2 \cdot 90 = 180$ digits, and lockers $100$ - $999$ use $3 \cdot 900 = 2700$ digits.

The remaining digits number $6897 - 2700 - 180 - 9 = 4008,$ which label $\frac{4008}{4} = 1002$ four-digit lockers. In all there are $999 + 1002 = 2001$ lockers.

Thus, the correct answer is A.

12.

¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección de las gráficas de dos funciones polinómicas de cuarto grado diferentes $y = p(x)$ y $y = q(x),$ cada una con coeficiente principal $1$ ?

What is the maximum number of points of intersection of the graphs of two different fourth degree polynomial functions $y = p(x)$ and $y = q(x),$ each with leading coefficient $1?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$8$

Conceptos:polinomio conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Las intersecciones ocurren donde $p(x) = q(x)$ .

Intersections occur where $p(x) = q(x)$

Pista grande:

Los términos principales $x^4$ se cancelan en $p(x) - q(x)$ .

The leading $x^4$ terms cancel in $p(x) - q(x)$

Solución:

Las coordenadas $x$ de los puntos de intersección son las raíces de $p(x) - q(x).$ Como ambos coeficientes principales son $1,$ los términos $x^4$ se cancelan, así que $p(x) - q(x)$ tiene grado a lo sumo $3$ y por lo tanto a lo sumo $3$ raíces. La cota se alcanza, por ejemplo tomando $p(x) = x^4$ y $q(x) = x^4 - x(x-1)(x+1),$ cuyas gráficas se intersecan en $x = -1, 0, 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The $x$ -coordinates of the intersection points are the roots of $p(x) - q(x).$ Because both leading coefficients are $1,$ the $x^4$ terms cancel, so $p(x) - q(x)$ has degree at most $3$ and therefore at most $3$ roots. The bound is attainable, for example by taking $p(x) = x^4$ and $q(x) = x^4 - x(x-1)(x+1),$ whose graphs intersect at $x = -1, 0, 1.$

Thus, the correct answer is C.

13.

Define una sucesión de números reales $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ mediante $a_1 = 1$ y $a_{n+1}^3 = 99 a_n^3$ para todo $n \ge 1.$ Entonces $a_{100}$ es igual a

Define a sequence of real numbers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ by $a_1 = 1$ and $a_{n+1}^3 = 99 a_n^3$ for all $n \ge 1.$ Then $a_{100}$ equals

$33^{33}$

$33^{99}$

$99^{33}$

$99^{99}$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:sucesión geométrica exponente

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Toma raíces cúbicas: $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n$

Take cube roots: $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n$

Pista grande:

Es geométrica con razón $\sqrt[3]{99},$ así que $a_{100} = (\sqrt[3]{99})^{99}$

This is geometric with ratio $\sqrt[3]{99},$ so $a_{100} = (\sqrt[3]{99})^{99}$

Solución:

Tomando raíces cúbicas, $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n,$ así que la sucesión es geométrica con primer término $1$ y razón $\sqrt[3]{99}.$ Entonces $a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Taking cube roots, $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n,$ so the sequence is geometric with first term $1$ and ratio $\sqrt[3]{99}.$ Then $a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.$

Thus, the correct answer is C.

14.

Cuatro chicas, Mary, Alina, Tina y Hanna, cantaron canciones en un concierto como tríos, con una chica descansando cada vez. Hanna cantó $7$ canciones, más que cualquier otra chica, y Mary cantó $4$ canciones, menos que cualquier otra chica. ¿Cuántas canciones cantaron estos tríos?

Four girls — Mary, Alina, Tina, and Hanna — sang songs in a concert as trios, with one girl sitting out each time. Hanna sang $7$ songs, which was more than any other girl, and Mary sang $4$ songs, which was fewer than any other girl. How many songs did these trios sing?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:divisibilidad doble conteo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Cada canción tiene $3$ cantantes, así que el número total de apariciones de chicas es $3N$ .

Each song has $3$ singers, so the total number of girl-appearances is $3N$

Pista grande:

Alina y Tina cantaron cada una $5$ o $6,$ y el total debe ser múltiplo de $3$ .

Alina and Tina each sang $5$ or $6,$ and the total must be a multiple of $3$

Solución:

Si se cantan $N$ canciones, el número total de apariciones de chicas es $3N.$ Alina y Tina cantaron cada una estrictamente entre $4$ y $7,$ así que cada una cantó $5$ o $6.$

Entonces $3N = 7 + 4 + (\text{Alina}) + (\text{Tina}),$ que es $21, 22,$ o $23.$ Solo $21$ es múltiplo de $3,$ así que $N = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If $N$ songs are sung, the total number of girl-appearances is $3N.$ Alina and Tina each sang strictly between $4$ and $7,$ so each sang $5$ or $6.$

Then $3N = 7 + 4 + (\text{Alina}) + (\text{Tina}),$ which is $21, 22,$ or $23.$ Only $21$ is a multiple of $3,$ so $N = 7.$

Thus, the correct answer is A.

15.

Sea $x$ un número real tal que $\sec x - \tan x = 2.$ ¿Cuánto vale $\sec x + \tan x$ ?

Let $x$ be a real number such that $\sec x - \tan x = 2.$ What is $\sec x + \tan x?$

$0.1$

$0.2$

$0.3$

$0.4$

$0.5$

Conceptos:identidad trigonométrica diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Recuerda la identidad $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$

Recall the identity $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$

Pista grande:

Factorízala como $(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x)$

Factor it as $(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x)$

Solución:

Como $\sec^2 x - \tan^2 x = 1,$ tenemos $\begin{aligned} &(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) \\ &\quad = 1. \end{aligned}$ Con $\sec x - \tan x = 2,$ se sigue que $\sec x + \tan x = \tfrac12 = 0.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $\sec^2 x - \tan^2 x = 1,$ we have $\begin{aligned} &(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) \\ &\quad = 1. \end{aligned}$ With $\sec x - \tan x = 2,$ it follows that $\sec x + \tan x = \tfrac12 = 0.5.$

Thus, the correct answer is E.

16.

¿Cuál es el radio de un círculo inscrito en un rombo con diagonales de longitud $10$ y $24$ ?

What is the radius of a circle inscribed in a rhombus with diagonals of length $10$ and $24?$

$4$

$\dfrac{58}{13}$

$\dfrac{60}{13}$

$5$

$6$

Conceptos:rombo circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras área del triángulo

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Las diagonales dividen el rombo en cuatro triángulos rectángulos $5$ - $12$ - $13$ .

The diagonals cut the rhombus into four $5$ - $12$ - $13$ right triangles

Pista grande:

El inradio es igual a la altura desde el centro hasta un lado del rombo.

The inradius equals the altitude from the center to a side of the rhombus

Solución:

Las semidiagonales son $5$ y $12,$ así que cada lado del rombo es $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13.$ Uno de los cuatro triángulos rectángulos formados por las diagonales tiene catetos $5$ y $12$ y área $30.$

La altura desde el centro hasta el lado de longitud $13$ es $\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13},$ que es el radio del círculo inscrito.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The half-diagonals are $5$ and $12,$ so each side of the rhombus is $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13.$ One of the four right triangles formed by the diagonals has legs $5$ and $12$ and area $30.$

The altitude from the center to the side of length $13$ is $\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13},$ which is the inscribed circle’s radius.

Thus, the correct answer is C.

17.

Sea $P(x)$ un polinomio tal que cuando $P(x)$ se divide entre $x - 19,$ el residuo es $99,$ y cuando $P(x)$ se divide entre $x - 99,$ el residuo es $19.$ ¿Cuál es el residuo cuando $P(x)$ se divide entre $(x - 19)(x - 99)$ ?

Let $P(x)$ be a polynomial such that when $P(x)$ is divided by $x - 19,$ the remainder is $99,$ and when $P(x)$ is divided by $x - 99,$ the remainder is $19.$ What is the remainder when $P(x)$ is divided by $(x - 19)(x - 99)?$

$-x + 80$

$x + 80$

$-x + 118$

$x + 118$

$0$

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Dividir entre un cuadrático deja un residuo de la forma $ax + b$ .

Dividing by a quadratic leaves a remainder of the form $ax + b$

Pista grande:

Usa $P(19) = 99$ y $P(99) = 19$ .

Use $P(19) = 99$ and $P(99) = 19$

Solución:

Por el Teorema del Residuo, $P(19) = 99$ y $P(99) = 19.$ Escribe $\begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b. \end{aligned}$ Entonces $19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19.$

Al restar se obtiene $80a = -80,$ así que $a = -1$ y $b = 118.$ El residuo es $-x + 118.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By the Remainder Theorem, $P(19) = 99$ and $P(99) = 19.$ Write $\begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b. \end{aligned}$ Then $19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19.$

Subtracting gives $80a = -80,$ so $a = -1$ and $b = 118.$ The remainder is $-x + 118.$

Thus, the correct answer is C.

18.

¿Cuántos ceros tiene $f(x) = \cos(\log x)$ en el intervalo $0 \lt x \lt 1$ ?

How many zeros does $f(x) = \cos(\log x)$ have on the interval $0 \lt x \lt 1?$

$0$

$1$

$2$

$10$

infinitos

infinitely many

Conceptos:trigonometría logaritmo función

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Cuando $x$ recorre $(0, 1),$ ¿qué valores toma $\log x$ ?

As $x$ ranges over $(0, 1),$ what values does $\log x$ take?

Pista grande:

$\log x$ cubre todos los números negativos, y el coseno se anula en infinitos de ellos.

$\log x$ covers all negative numbers, and cosine vanishes at infinitely many of them

Solución:

Cuando $x$ recorre $(0, 1),$ $\log x$ recorre todos los números reales negativos. La función coseno es cero en $\tfrac{\pi}{2} - n\pi$ para todo entero positivo $n,$ todos ellos negativos, así que $f$ tiene infinitos ceros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

As $x$ ranges over $(0, 1),$ $\log x$ ranges over all negative real numbers. The cosine function is zero at $\tfrac{\pi}{2} - n\pi$ for every positive integer $n,$ all of which are negative, so $f$ has infinitely many zeros.

Thus, the correct answer is E.

19.

Considera todos los triángulos $ABC$ que satisfacen las siguientes condiciones: $AB = AC,$ $D$ es un punto sobre $\overline{AC}$ para el cual $\overline{BD} \perp \overline{AC},$ $AD$ y $CD$ son enteros, y $BD^2 = 57.$ Entre todos esos triángulos, el menor valor posible de $AC$ es

Consider all triangles $ABC$ satisfying the following conditions: $AB = AC,$ $D$ is a point on $\overline{AC}$ for which $\overline{BD} \perp \overline{AC},$ $AD$ and $CD$ are integers, and $BD^2 = 57.$ Among all such triangles, the smallest possible value of $AC$ is

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Conceptos:triángulo isósceles Teorema de Pitágoras Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

El triángulo rectángulo $ADB$ da $AB^2 = AD^2 + BD^2$ .

Right triangle $ADB$ gives $AB^2 = AD^2 + BD^2$

Pista grande:

Con $AB = AC = AD + CD,$ reduce a $CD(CD + 2\,AD) = 57$ .

With $AB = AC = AD + CD,$ reduce to $CD(CD + 2\,AD) = 57$

Solución:

Sea $AD = n$ y $CD = m.$ Como $\triangle ADB$ es rectángulo en $D,$ $AB^2 = n^2 + 57.$ Además $AB = AC = m + n,$ así que $(m + n)^2 = n^2 + 57,$ lo que se simplifica a $m(m + 2n) = 57.$

Las soluciones enteras positivas son $m = 1, n = 28$ (que dan $AC = 29$ ) y $m = 3, n = 8$ (que dan $AC = 11$ ). El menor valor posible de $AC$ es $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $AD = n$ and $CD = m.$ Since $\triangle ADB$ is right-angled at $D,$ $AB^2 = n^2 + 57.$ Also $AB = AC = m + n,$ so $(m + n)^2 = n^2 + 57,$ which simplifies to $m(m + 2n) = 57.$

The positive integer solutions are $m = 1, n = 28$ (giving $AC = 29$ ) and $m = 3, n = 8$ (giving $AC = 11$ ). The smallest possible value of $AC$ is $11.$

Thus, the correct answer is C.

20.

La sucesión $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ satisface $a_1 = 19,$ $a_9 = 99,$ y, para todo $n \ge 3,$ $a_n$ es la media aritmética de los primeros $n - 1$ términos. Halla $a_2.$

The sequence $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ satisfies $a_1 = 19,$ $a_9 = 99,$ and, for all $n \ge 3,$ $a_n$ is the arithmetic mean of the first $n - 1$ terms. Find $a_2.$

$29$

$59$

$79$

$99$

$179$

Conceptos:recursión media invariante

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Muestra que $a_n$ es constante para todo $n \ge 3$ .

Show that $a_n$ is constant for all $n \ge 3$

Pista grande:

Entonces $a_3 = a_9 = 99$ y $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$ .

Then $a_3 = a_9 = 99$ and $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$

Solución:

Para $n \ge 3,$ $(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}.$ Entonces $a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n,$ así que la sucesión es constante a partir de $a_3$ en adelante. Por lo tanto $a_3 = a_9 = 99.$

Como $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99,$ obtenemos $a_2 = 179.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $n \ge 3,$ $(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}.$ Then $a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n,$ so the sequence is constant from $a_3$ onward. Hence $a_3 = a_9 = 99.$

Since $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99,$ we get $a_2 = 179.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Se circunscribe un círculo a un triángulo con lados $20,$ $21,$ y $29,$ dividiendo así el interior del círculo en cuatro regiones. Sean $A,$ $B,$ y $C$ las áreas de las regiones no triangulares, siendo $C$ la mayor. Entonces

A circle is circumscribed about a triangle with sides $20,$ $21,$ and $29,$ thus dividing the interior of the circle into four regions. Let $A,$ $B,$ and $C$ be the areas of the non-triangular regions, with $C$ being the largest. Then

$A + B = C$

$A + B + 210 = C$

$A^2 + B^2 = C^2$

$20A + 21B = 29C$

$\dfrac{1}{A^2} + \dfrac{1}{B^2} = \dfrac{1}{C^2}$

Conceptos:triángulo rectángulo área del círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Comprueba si $20, 21, 29$ forman un triángulo rectángulo.

Check whether $20, 21, 29$ form a right triangle

Pista grande:

La hipotenusa es un diámetro, así que la mayor región $C$ es un semicírculo.

The hypotenuse is a diameter, so the largest region $C$ is a semicircle

Solución:

Como $20^2 + 21^2 = 841 = 29^2,$ el triángulo es rectángulo, y su hipotenusa de longitud $29$ es un diámetro del círculo. Así, la mayor región $C$ es el semicírculo de un lado de ese diámetro.

El otro semicírculo consiste en el triángulo junto con las regiones $A$ y $B.$ Como los dos semicírculos son congruentes y el triángulo tiene área $\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210,$ obtenemos $A + B + 210 = C.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $20^2 + 21^2 = 841 = 29^2,$ the triangle is right-angled, and its hypotenuse of length $29$ is a diameter of the circle. Thus the largest region $C$ is the semicircle on one side of that diameter.

The other semicircle consists of the triangle together with regions $A$ and $B.$ Since the two semicircles are congruent and the triangle has area $\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210,$ we get $A + B + 210 = C.$

Thus, the correct answer is B.

22.

Las gráficas de $y = -|x - a| + b$ y $y = |x - c| + d$ se intersecan en los puntos $(2, 5)$ y $(8, 3).$ Halla $a + c.$

The graphs of $y = -|x - a| + b$ and $y = |x - c| + d$ intersect at points $(2, 5)$ and $(8, 3).$ Find $a + c.$

$7$

$8$

$10$

$13$

$18$

Conceptos:valor absoluto geometría analítica punto medio

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La primera gráfica alcanza su máximo en $(a, b);$ la segunda su mínimo en $(c, d)$ .

The first graph peaks at $(a, b);$ the second bottoms out at $(c, d)$

Pista grande:

Reescribe la ecuación de intersección como $|x-a|+|x-c|=b-d$ y usa la simetría.

Rewrite the intersection equation as $|x-a|+|x-c|=b-d$ and use symmetry

Solución:

En una intersección, $-|x-a|+b=|x-c|+d,$ o bien $|x-a|+|x-c|=b-d.$ Como hay dos intersecciones aisladas, estas quedan en lados opuestos del intervalo de extremos $a$ y $c.$ Las dos soluciones son simétricas respecto de $x=\tfrac{a+c}{2}.$ Sus coordenadas $x$ son $2$ y $8,$ así que $a+c=2+8=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

At an intersection, $-|x-a|+b=|x-c|+d,$ or $|x-a|+|x-c|=b-d.$ Because there are two isolated intersections, they lie on opposite sides of the interval with endpoints $a$ and $c.$ The two solutions are symmetric about $x=\tfrac{a+c}{2}.$ Their $x$ -coordinates are $2$ and $8,$ so $a+c=2+8=10.$

Thus, the correct answer is C.

23.

El hexágono convexo equiángulo $ABCDEF$ tiene $AB = 1,$ $BC = 4,$ $CD = 2,$ y $DE = 4.$ El área del hexágono es

The equiangular convex hexagon $ABCDEF$ has $AB = 1,$ $BC = 4,$ $CD = 2,$ and $DE = 4.$ The area of the hexagon is

$\dfrac{15}{2}\sqrt{3}$

$9\sqrt{3}$

$16$

$\dfrac{39}{4}\sqrt{3}$

$\dfrac{43}{4}\sqrt{3}$

Conceptos:polígono equiángulo triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Extiende lados alternos para encerrar el hexágono en un triángulo equilátero grande.

Extend alternate sides to enclose the hexagon in a large equilateral triangle

Pista grande:

Resta tres pequeños triángulos equiláteros de las esquinas del grande.

Subtract three small equilateral corner triangles from the large one

Solución:

Cada ángulo interior mide $120^\circ,$ así que al prolongar los pares de lados $FA$ y $BC,$ $BC$ y $DE,$ y $DE$ y $FA$ , se recortan tres triángulos equiláteros en las esquinas y se forma un gran triángulo equilátero.

Sean $EF=e$ y $FA=f.$ Al descomponer los seis lados en direcciones separadas por $60^\circ$ , se obtiene $f-e=4$ y $e+f=6,$ así que $e=1$ y $f=5.$ Por tanto, los triángulos de las esquinas construidos sobre $AB, CD,$ y $EF$ son equiláteros. El triángulo grande tiene lado $1+4+2=7,$ mientras que los triángulos eliminados tienen lados $1,2,$ y $1.$ El área es $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es E.

Each interior angle is $120^\circ,$ so extending sides $FA$ and $BC,$ $BC$ and $DE,$ and $DE$ and $FA$ cuts off three equilateral corner triangles and forms a large equilateral triangle.

Let $EF=e$ and $FA=f.$ Resolving the six sides in directions separated by $60^\circ$ gives $f-e=4$ and $e+f=6,$ so $e=1$ and $f=5.$ The corner triangles built on $AB, CD,$ and $EF$ are therefore equilateral. The large triangle has side $1+4+2=7,$ while the removed triangles have sides $1,2,$ and $1.$ The area is $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

24.

Se dan seis puntos sobre un círculo. Se seleccionan al azar cuatro de las cuerdas que unen pares de los seis puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro cuerdas formen un cuadrilátero convexo?

Six points on a circle are given. Four of the chords joining pairs of the six points are selected at random. What is the probability that the four chords form a convex quadrilateral?

$\dfrac{1}{15}$

$\dfrac{1}{91}$

$\dfrac{1}{273}$

$\dfrac{1}{455}$

$\dfrac{1}{1365}$

Conceptos:probabilidad básica combinaciones

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Cualesquiera $4$ de los $6$ puntos determinan exactamente un cuadrilátero convexo.

Any $4$ of the $6$ points determine exactly one convex quadrilateral

Pista grande:

Cuenta todas las formas de elegir $4$ cuerdas de las $\binom{6}{2}$ cuerdas.

Count all ways to choose $4$ chords from the $\binom{6}{2}$ chords

Solución:

Hay $\binom{6}{2} = 15$ cuerdas, así que $\binom{15}{4} = 1365$ formas de seleccionar cuatro de ellas. Un cuadrilátero convexo surge exactamente cuando las cuatro cuerdas son los lados de un cuadrilátero sobre cuatro de los seis puntos, y cada elección de $4$ puntos da exactamente uno de tales cuadriláteros.

Por lo tanto hay $\binom{6}{4} = 15$ resultados favorables, y la probabilidad es $\dfrac{15}{1365} = \dfrac{1}{91}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $\binom{6}{2} = 15$ chords, so $\binom{15}{4} = 1365$ ways to select four of them. A convex quadrilateral arises exactly when the four chords are the sides of a quadrilateral on four of the six points, and each choice of $4$ points gives exactly one such quadrilateral.

Hence there are $\binom{6}{4} = 15$ favorable outcomes, and the probability is $\dfrac{15}{1365} = \dfrac{1}{91}.$

Thus, the correct answer is B.

25.

Existen enteros únicos $a_2,$ $a_3,$ $a_4,$ $a_5,$ $a_6,$ $a_7$ tales que

$\begin{aligned} &\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} \\ &\quad {}+ \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}, \end{aligned}$

donde $0 \le a_i \lt i$ para $i = 2,$ $3,$ $\ldots,$ $7.$ Halla $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7.$

There are unique integers $a_2,$ $a_3,$ $a_4,$ $a_5,$ $a_6,$ $a_7$ such that

$\begin{aligned} &\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} \\ &\quad {}+ \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}, \end{aligned}$

where $0 \le a_i \lt i$ for $i = 2,$ $3,$ $\ldots,$ $7.$ Find $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7.$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:base numérica factorial aritmética modular

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Multiplica ambos lados por $7!$

Multiply both sides by $7!$

Pista grande:

Reduce módulo $7,$ luego $6,$ luego $5, \ldots$ para ir extrayendo una cifra a la vez.

Reduce modulo $7,$ then $6,$ then $5, \ldots$ to peel off one digit at a time

Solución:

Multiplicando por $7! = 5040$ se obtiene $\begin{aligned} &3600 = 2520a_2 + 840a_3 \\ &\quad {}+ 210a_4 + 42a_5 \\ &\quad {}+ 7a_6 + a_7. \end{aligned}$ Reduciendo módulo $7,$ $a_7 = 2.$

Luego $\dfrac{3600 - 2}{7} = 514$ $= 360a_2 + 120a_3$ $+ 30a_4 + 6a_5$ $+ a_6.$ Reduciendo módulo $6$ se obtiene $a_6 = 4,$ y continuando de esta manera se llega a $a_5 = 0, a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = 1.$

La suma es $1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiplying by $7! = 5040$ gives $\begin{aligned} &3600 = 2520a_2 + 840a_3 \\ &\quad {}+ 210a_4 + 42a_5 \\ &\quad {}+ 7a_6 + a_7. \end{aligned}$ Reducing modulo $7,$ $a_7 = 2.$

Then $\dfrac{3600 - 2}{7} = 514$ $= 360a_2 + 120a_3$ $+ 30a_4 + 6a_5$ $+ a_6.$ Reducing modulo $6$ gives $a_6 = 4,$ and continuing this way yields $a_5 = 0, a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = 1.$

The sum is $1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9.$

Thus, the correct answer is B.

26.

Tres polígonos regulares planos que no se solapan, de los cuales al menos dos son congruentes, tienen todos lados de longitud $1.$ Los polígonos se encuentran en un punto $A$ de tal manera que la suma de los tres ángulos interiores en $A$ es $360^\circ.$ Así, los tres polígonos forman un nuevo polígono con $A$ como punto interior. ¿Cuál es el mayor perímetro posible que puede tener este polígono?

Three non-overlapping regular plane polygons, at least two of which are congruent, all have sides of length $1.$ The polygons meet at a point $A$ in such a way that the sum of the three interior angles at $A$ is $360^\circ.$ Thus the three polygons form a new polygon with $A$ as an interior point. What is the largest possible perimeter that this polygon can have?

$12$

$14$

$18$

$21$

$24$

Conceptos:polígono regular Ecuación diofántica perímetro

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Con dos $a$ -ágonos y un $b$ -ágono, $2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right)$ $+ 180\left(1 - \tfrac2b\right)$ $= 360$ .

With two $a$ -gons and one $b$ -gon, $2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right)$ $+ 180\left(1 - \tfrac2b\right)$ $= 360$

Pista grande:

Esto se simplifica a $(a - 4)(b - 2) = 8$ .

This simplifies to $(a - 4)(b - 2) = 8$

Solución:

Sea que dos $a$ -ágonos congruentes y un $b$ -ágono se encuentran en $A.$ Sus ángulos interiores satisfacen $\begin{aligned} &2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right) \\ &\quad {}+ 180\left(1 - \tfrac2b\right) = 360, \end{aligned}$ lo que se reduce a $(a - 4)(b - 2) = 8.$

Las soluciones $(a, b)$ son $(5, 10), (6, 6), (8, 4),$ y $(12, 3).$ El perímetro del nuevo polígono es $2a + b - 6,$ dando $14, 12, 14,$ y $21.$ El mayor es $21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let two congruent $a$ -gons and one $b$ -gon meet at $A.$ Their interior angles satisfy $\begin{aligned} &2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right) \\ &\quad {}+ 180\left(1 - \tfrac2b\right) = 360, \end{aligned}$ which reduces to $(a - 4)(b - 2) = 8.$

The solutions $(a, b)$ are $(5, 10), (6, 6), (8, 4),$ and $(12, 3).$ The new polygon’s perimeter is $2a + b - 6,$ giving $14, 12, 14,$ and $21.$ The largest is $21.$

Thus, the correct answer is D.

27.

En el triángulo $ABC,$ $3\sin A + 4\cos B = 6$ y $4\sin B + 3\cos A = 1.$ Entonces $\angle C$ en grados es

In triangle $ABC,$ $3\sin A + 4\cos B = 6$ and $4\sin B + 3\cos A = 1.$ Then $\angle C$ in degrees is

$30$

$60$

$90$

$120$

$150$

Conceptos:identidad trigonométrica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado ambas ecuaciones y súmalas.

Square both equations and add them

Pista grande:

Usa $\sin^2 + \cos^2 = 1$ para obtener $\sin(A + B),$ luego descarta un caso.

Use $\sin^2 + \cos^2 = 1$ to get $\sin(A + B),$ then rule out one case

Solución:

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando se obtiene $\begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37, \end{aligned}$ así que $24\sin(A + B) = 12$ y $\sin(A + B) = \tfrac12.$

Entonces $\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12,$ así que $\angle C = 30^\circ$ o $150^\circ.$ Si $\angle C = 150^\circ,$ entonces $A \lt 30^\circ,$ haciendo que $3\sin A + 4\cos B \lt 6,$ una contradicción. Por lo tanto $\angle C = 30^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Squaring both equations and adding gives $\begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37, \end{aligned}$ so $24\sin(A + B) = 12$ and $\sin(A + B) = \tfrac12.$

Then $\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12,$ so $\angle C = 30^\circ$ or $150^\circ.$ If $\angle C = 150^\circ,$ then $A \lt 30^\circ,$ making $3\sin A + 4\cos B \lt 6,$ a contradiction. Hence $\angle C = 30^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

28.

Sea $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_n$ una sucesión de enteros tal que

(i) $-1 \le x_i \le 2,$ para $i = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n$ ;

(ii) $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19;$ y

(iii) $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99.$

Sean $m$ y $M$ los valores mínimo y máximo posibles de $x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3,$ respectivamente. ¿Cuánto vale $\dfrac{M}{m}$ ?

Let $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_n$ be a sequence of integers such that

(i) $-1 \le x_i \le 2,$ for $i = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n$ ;

(ii) $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19;$ and

(iii) $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99.$

Let $m$ and $M$ be the minimal and maximal possible values of $x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3,$ respectively. What is $\dfrac{M}{m}?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:sistema de ecuaciones optimización

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Sean $a, b, c$ el número de $-1$ , $1$ y $2$ (los ceros no importan).

Let $a, b, c$ count the $-1$ s, $1$ s, and $2$ s (zeros do not matter)

Pista grande:

La suma de cubos es $-a + b + 8c = 19 + 6c;$ optimiza sobre el rango permitido de $c$ .

The sum of cubes is $-a + b + 8c = 19 + 6c;$ optimize over the allowed range of $c$

Solución:

Sean $a, b, c$ el número de $-1$ , $1$ y $2$ . Entonces $-a + b + 2c = 19$ y $a + b + 4c = 99,$ dando $a = 40 - c$ y $b = 59 - 3c$ con $0 \le c \le 19.$

La suma de cubos es $-a + b + 8c = 19 + 6c.$ El mínimo está en $c = 0$ (valor $19$ ) y el máximo en $c = 19$ (valor $133$ ), así que $\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $a, b, c$ be the numbers of $-1$ s, $1$ s, and $2$ s. Then $-a + b + 2c = 19$ and $a + b + 4c = 99,$ giving $a = 40 - c$ and $b = 59 - 3c$ with $0 \le c \le 19.$

The sum of cubes is $-a + b + 8c = 19 + 6c.$ The minimum is at $c = 0$ (value $19$ ) and the maximum at $c = 19$ (value $133$ ), so $\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7.$

Thus, the correct answer is E.

29.

Un tetraedro con cuatro caras triangulares equiláteras tiene una esfera inscrita en su interior y una esfera circunscrita a su alrededor. Para cada una de las cuatro caras, hay una esfera tangente externamente a la cara en su centro y a la esfera circunscrita. Se selecciona al azar un punto $P$ dentro de la esfera circunscrita. La probabilidad de que $P$ esté dentro de una de las cinco esferas pequeñas es la más cercana a

A tetrahedron with four equilateral triangular faces has a sphere inscribed within it and a sphere circumscribed about it. For each of the four faces, there is a sphere tangent externally to the face at its center and to the circumscribed sphere. A point $P$ is selected at random inside the circumscribed sphere. The probability that $P$ lies inside one of the five small spheres is closest to

$0$

$0.1$

$0.2$

$0.3$

$0.4$

Conceptos:Geometría 3D esfera probabilidad geométrica volumen

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Para un tetraedro regular el circunradio es $3$ veces el inradio.

For a regular tetrahedron the circumradius is $3$ times the inradius

Pista grande:

Cada una de las cinco esferas pequeñas tiene el mismo volumen que la esfera inscrita.

Each of the five small spheres has the same volume as the inscribed sphere

Solución:

Sea $O$ el centro común de las esferas inscrita y circunscrita. Dividir el tetraedro en cuatro piezas congruentes desde $O$ muestra que el circunradio es $3$ veces el inradio, por lo que la esfera circunscrita tiene $27$ veces el volumen $V$ de la esfera inscrita.

Si una de las otras cuatro esferas pequeñas tiene radio $s,$ su centro está a distancia $r+s$ de $O$ y también a distancia $3r-s$ de $O$ , así que $s=r.$ Estas cinco esferas tienen interiores disjuntos (la esfera central es tangente a cada una de las otras cuatro), por lo que su unión tiene volumen $5V.$ La probabilidad es $\dfrac{5V}{27V} = \dfrac{5}{27} \approx 0.185,$ la más cercana a $0.2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the common center of the inscribed and circumscribed spheres. Splitting the tetrahedron into four congruent pieces from $O$ shows the circumradius is $3$ times the inradius, so the circumscribed sphere has $27$ times the inscribed sphere’s volume $V.$

If one of the four other small spheres has radius $s,$ its center is $r+s$ from $O$ and also $3r-s$ from $O,$ so $s=r.$ These five spheres have disjoint interiors (the central sphere is tangent to each of the other four), so their union has volume $5V.$ The probability is $\dfrac{5V}{27V} = \dfrac{5}{27} \approx 0.185,$ closest to $0.2.$

Thus, the correct answer is C.

30.

El número de pares ordenados de enteros $(m, n)$ para los cuales $mn \ge 0$ y

$m^3 + n^3 + 99mn = 33^3$

es igual a

The number of ordered pairs of integers $(m, n)$ for which $mn \ge 0$ and

$m^3 + n^3 + 99mn = 33^3$

is equal to

$2$

$3$

$33$

$35$

$99$

Conceptos:factorización Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Como $99 = 3 \cdot 33,$ la ecuación es $m^3 + n^3 + (-33)^3$ $- 3mn(-33) = 0$ .

Since $99 = 3 \cdot 33,$ the equation is $m^3 + n^3 + (-33)^3$ $- 3mn(-33) = 0$

Pista grande:

Usa $x^3 + y^3 + z^3$ $- 3xyz = (x + y + z)$ $\cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$ .

Use $x^3 + y^3 + z^3$ $- 3xyz = (x + y + z)$ $\cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$

Solución:

Escribiendo $z = -33,$ la ecuación se convierte en $m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0,$ que se factoriza como $\begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}$

El segundo factor es igual a $\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big],$ que es $0$ solo en $(m, n) = (-33, -33);$ esto satisface $mn \ge 0.$

En caso contrario $m + n = 33.$ Con $mn \ge 0$ ambos son no negativos, dando $(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0),$ que son $34$ pares. En conjunto hay $35$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing $z = -33,$ the equation becomes $m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0,$ which factors as $\begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}$

The second factor equals $\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big],$ which is $0$ only at $(m, n) = (-33, -33);$ this satisfies $mn \ge 0.$

Otherwise $m + n = 33.$ With $mn \ge 0$ both are nonnegative, giving $(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0),$ which is $34$ pairs. Together there are $35$ solutions.

Thus, the correct answer is D.