Soluciones del 1999 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

$\begin{aligned} &1 - 2 + 3 - 4 + \cdots - 98 \\ &\quad {}+ 99 = \, ? \end{aligned}$

$-50$

$-49$

$0$

$49$

$50$

Conceptos:sumatoria emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 800

Solución:

Al agrupar los términos consecutivos se obtiene $\begin{aligned} &(1-2) + (3-4) + \cdots \\ &\quad {}+ (97-98) + 99. \end{aligned}$ Hay $49$ parejas, cada una igual a $-1,$ así que la suma es $-49 + 99 = 50.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Pairing consecutive terms gives $\begin{aligned} &(1-2) + (3-4) + \cdots \\ &\quad {}+ (97-98) + 99. \end{aligned}$ There are $49$ pairs, each equal to $-1,$ so the sum is $-49 + 99 = 50.$

Thus, the correct answer is E.

2.

¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?

Which one of the following statements is false?

Todos los triángulos equiláteros son congruentes entre sí.

All equilateral triangles are congruent to each other.

Todos los triángulos equiláteros son convexos.

All equilateral triangles are convex.

Todos los triángulos equiláteros son equiángulos.

All equilateral triangles are equiangular.

Todos los triángulos equiláteros son polígonos regulares.

All equilateral triangles are regular polygons.

Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí.

All equilateral triangles are similar to each other.

Conceptos:triángulo equilátero congruencia (geometría)semejanza

Nivel de dificultad: 880

Solución:

Los triángulos equiláteros con longitudes de lado $1$ y $2$ tienen la misma forma pero distinto tamaño, por lo que son semejantes pero no congruentes. Todo triángulo equilátero es convexo, equiángulo (todos sus ángulos miden $60^\circ$ ) y un polígono regular, así que el único enunciado falso es que todos son congruentes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Equilateral triangles with side lengths $1$ and $2$ have the same shape but different sizes, so they are similar but not congruent. Every equilateral triangle is convex, equiangular (all angles $60^\circ$ ), and a regular polygon, so the only false statement is that they are all congruent.

Thus, the correct answer is A.

3.

El número que está justo a la mitad entre $\tfrac18$ y $\tfrac{1}{10}$ es

The number halfway between $\tfrac18$ and $\tfrac{1}{10}$ is

$\dfrac{1}{80}$

$\dfrac{1}{40}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{9}{80}$

Conceptos:fracción media

Nivel de dificultad: 880

Solución:

El punto medio es el promedio $\dfrac12\left(\dfrac18 + \dfrac{1}{10}\right) = \dfrac12 \cdot \dfrac{18}{80} = \dfrac{9}{80}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The halfway point is the average $\dfrac12\left(\dfrac18 + \dfrac{1}{10}\right) = \dfrac12 \cdot \dfrac{18}{80} = \dfrac{9}{80}.$

Thus, the correct answer is E.

4.

Halla la suma de todos los números primos entre $1$ y $100$ que son simultáneamente $1$ mayor que un múltiplo de $4$ y $1$ menor que un múltiplo de $5.$

Find the sum of all prime numbers between $1$ and $100$ that are simultaneously $1$ greater than a multiple of $4$ and $1$ less than a multiple of $5.$

$118$

$137$

$158$

$187$

$245$

Conceptos:aritmética modular primo Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Un número que es $1$ menor que un múltiplo de $5$ termina en $4$ o $9,$ y uno que es $1$ mayor que un múltiplo de $4$ es impar. Juntas, estas condiciones dan números $\equiv 9 \pmod{20},$ a saber $9, 29, 49, 69, 89.$

Entre estos, solo $29$ y $89$ son primos, y su suma es $29 + 89 = 118.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A number that is $1$ less than a multiple of $5$ ends in $4$ or $9,$ and one that is $1$ greater than a multiple of $4$ is odd. Together these give numbers $\equiv 9 \pmod{20},$ namely $9, 29, 49, 69, 89.$

Among these, only $29$ and $89$ are prime, and their sum is $29 + 89 = 118.$

Thus, the correct answer is A.

5.

El precio marcado de un libro era $30\%$ menor que el precio de venta sugerido. Alice compró el libro por la mitad del precio marcado en una venta del Quincuagésimo Aniversario. ¿Qué porcentaje del precio de venta sugerido pagó Alice?

The marked price of a book was $30\%$ less than the suggested retail price. Alice purchased the book for half the marked price at a Fiftieth Anniversary sale. What percent of the suggested retail price did Alice pay?

$25\%$

$30\%$

$35\%$

$60\%$

$65\%$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Si el precio de venta sugerido es $P,$ entonces el precio marcado es $0.7P.$ Alice paga la mitad de esto, $0.35P,$ que es el $35\%$ del precio de venta sugerido.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the suggested retail price is $P,$ then the marked price is $0.7P.$ Alice pays half of this, $0.35P,$ which is $35\%$ of the suggested retail price.

Thus, the correct answer is C.

6.

¿Cuál es la suma de las cifras de la forma decimal del producto $2^{1999} \cdot 5^{2001}$ ?

What is the sum of the digits of the decimal form of the product $2^{1999} \cdot 5^{2001}?$

$2$

$4$

$5$

$7$

$10$

Conceptos:exponente dígitos

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Escribe $\begin{aligned} 2^{1999} \cdot 5^{2001} &= 2^{1999} \cdot 5^{1999} \cdot 5^2 \\ &= 25 \cdot 10^{1999}, \end{aligned}$ que es $25$ seguido de $1999$ ceros. La suma de las cifras es $2 + 5 = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $\begin{aligned} 2^{1999} \cdot 5^{2001} &= 2^{1999} \cdot 5^{1999} \cdot 5^2 \\ &= 25 \cdot 10^{1999}, \end{aligned}$ which is $25$ followed by $1999$ zeros. The sum of the digits is $2 + 5 = 7.$

Thus, the correct answer is D.

7.

¿Cuál es el mayor número de ángulos agudos que puede tener un hexágono convexo?

What is the largest number of acute angles that a convex hexagon can have?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:suma de ángulos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Cada ángulo interior agudo corresponde a un ángulo exterior mayor que $90^\circ.$ Como los ángulos exteriores de un polígono convexo suman $360^\circ,$ a lo sumo tres de ellos pueden superar $90^\circ.$ Por lo tanto hay a lo sumo tres ángulos agudos, y existe un hexágono que alcanza tres ángulos agudos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each acute interior angle corresponds to an exterior angle greater than $90^\circ.$ Since the exterior angles of a convex polygon sum to $360^\circ,$ at most three of them can exceed $90^\circ.$ Hence there are at most three acute angles, and a hexagon achieving three acute angles exists.

Thus, the correct answer is B.

8.

Al final de $1994$ Walter tenía la mitad de la edad de su abuela. La suma de los años en que nacieron es $3838.$ ¿Cuántos años tendrá Walter al final de $1999$ ?

At the end of $1994$ Walter was half as old as his grandmother. The sum of the years in which they were born is $3838.$ How old will Walter be at the end of $1999?$

$48$

$49$

$53$

$55$

$101$

Conceptos:edades ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Sea $w$ la edad de Walter al final de $1994,$ de modo que su abuela tiene $2w.$ Sus años de nacimiento son $1994 - w$ y $1994 - 2w,$ y $\begin{aligned} &(1994 - w) \\ &\quad {}+ (1994 - 2w) = 3838. \end{aligned}$ Esto da $3988 - 3w = 3838,$ así que $w = 50.$

Al final de $1999,$ Walter tendrá $50 + 5 = 55.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let Walter be $w$ years old at the end of $1994,$ so his grandmother is $2w.$ Their birth years are $1994 - w$ and $1994 - 2w,$ and $\begin{aligned} &(1994 - w) \\ &\quad {}+ (1994 - 2w) = 3838. \end{aligned}$ This gives $3988 - 3w = 3838,$ so $w = 50.$

At the end of $1999,$ Walter will be $50 + 5 = 55.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Antes de que Ashley comenzara un viaje de tres horas en auto, el cuentakilómetros de su auto marcaba $29792,$ un palíndromo, es decir, un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. En su destino, el cuentakilómetros marcaba otro palíndromo. Si Ashley nunca superó el límite de velocidad de $75$ millas por hora, ¿cuál de las siguientes fue su mayor velocidad promedio posible?

Before Ashley started a three-hour drive, her car's odometer reading was $29792,$ a palindrome. (A palindrome is a number that reads the same way from left to right as it does from right to left.) At her destination, the odometer reading was another palindrome. If Ashley never exceeded the speed limit of $75$ miles per hour, which of the following was her greatest possible average speed?

$33\tfrac13$

$53\tfrac13$

$66\tfrac23$

$70\tfrac13$

$74\tfrac13$

Conceptos:palíndromo distancia, velocidad y tiempo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1390

Solución:

Los palíndromos después de $29792$ son $29892, 29992, 30003,$ y $30103.$ En tres horas Ashley puede recorrer a lo sumo $3 \cdot 75 = 225$ millas.

Llegar a $30103$ requeriría $30103 - 29792 = 311$ millas, lo cual es demasiado lejos. Llegar a $30003$ requiere $30003 - 29792 = 211$ millas, dando una velocidad promedio de $\dfrac{211}{3} = 70\tfrac13$ millas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The palindromes after $29792$ are $29892, 29992, 30003,$ and $30103.$ In three hours Ashley can drive at most $3 \cdot 75 = 225$ miles.

Reaching $30103$ would require $30103 - 29792 = 311$ miles, which is too far. Reaching $30003$ requires $30003 - 29792 = 211$ miles, giving average speed $\dfrac{211}{3} = 70\tfrac13$ miles per hour.

Thus, the correct answer is D.

10.

Un sobre sellado contiene una tarjeta con una sola cifra escrita. Tres de los siguientes enunciados son verdaderos y el otro es falso.

I. La cifra es $1.$

II. La cifra no es $2.$

III. La cifra es $3.$

IV. La cifra no es $4.$

¿Cuál de los siguientes debe ser necesariamente correcto?

A sealed envelope contains a card with a single digit on it. Three of the following statements are true, and the other is false.

I. The digit is $1.$

II. The digit is not $2.$

III. The digit is $3.$

IV. The digit is not $4.$

Which one of the following must necessarily be correct?

I es verdadero.

I is true.

I es falso.

I is false.

II es verdadero.

II is true.

III es verdadero.

III is true.

IV es falso.

IV is false.

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Los enunciados I y III no pueden ser ambos verdaderos, así que el único enunciado falso es uno de ellos. Por lo tanto los enunciados II y IV son ambos verdaderos, lo que hace que "II es verdadero" sea necesariamente correcto.

La cifra es entonces $1$ o $3.$ Si fuera $1,$ entonces (B) y (D) son falsos; si fuera $3,$ entonces (A) es falso; y (E) siempre es incorrecto. Solo (C) está garantizado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Statements I and III cannot both be true, so the single false statement is one of them. Therefore statements II and IV are both true, which makes "II is true" necessarily correct.

The digit is thus $1$ or $3.$ If it were $1,$ then (B) and (D) are false; if it were $3,$ then (A) is false; and (E) is always incorrect. Only (C) is guaranteed.

Thus, the correct answer is C.

11.

Los casilleros de los estudiantes de Olympic High están numerados consecutivamente empezando por el casillero número $1.$ Las cifras de plástico usadas para numerar los casilleros cuestan $2$ centavos cada una. Así, cuesta $2$ centavos rotular el casillero número $9$ y $4$ centavos rotular el casillero número $10.$ Si cuesta $\$137.94$ rotular todos los casilleros, ¿cuántos casilleros hay en la escuela?

The student lockers at Olympic High are numbered consecutively beginning with locker number $1.$ The plastic digits used to number the lockers cost $2$ cents apiece. Thus, it costs $2$ cents to label locker number $9$ and $4$ cents to label locker number $10.$ If it costs $\$137.94$ to label all the lockers, how many lockers are there at the school?

$2001$

$2010$

$2100$

$2726$

$6897$

Conceptos:dígitos conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1450

Solución:

Rotular cuesta $\$137.94 / \$0.02 = 6897$ cifras. Los casilleros $1$ - $9$ usan $9$ cifras, los casilleros $10$ - $99$ usan $2 \cdot 90 = 180$ cifras, y los casilleros $100$ - $999$ usan $3 \cdot 900 = 2700$ cifras.

Las cifras restantes son $6897 - 2700 - 180 - 9 = 4008,$ que rotulan $4008 / 4 = 1002$ casilleros de cuatro cifras. En total hay $999 + 1002 = 2001$ casilleros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Labeling costs $\$137.94 / \$0.02 = 6897$ digits. Lockers $1$ - $9$ use $9$ digits, lockers $10$ - $99$ use $2 \cdot 90 = 180$ digits, and lockers $100$ - $999$ use $3 \cdot 900 = 2700$ digits.

The remaining digits number $6897 - 2700 - 180 - 9 = 4008,$ which label $4008 / 4 = 1002$ four-digit lockers. In all there are $999 + 1002 = 2001$ lockers.

Thus, the correct answer is A.

12.

¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección de las gráficas de dos funciones polinómicas de cuarto grado diferentes $y = p(x)$ y $y = q(x),$ cada una con coeficiente principal $1$ ?

What is the maximum number of points of intersection of the graphs of two different fourth degree polynomial functions $y = p(x)$ and $y = q(x),$ each with leading coefficient $1?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$8$

Conceptos:polinomio conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Las coordenadas $x$ de los puntos de intersección son las raíces de $p(x) - q(x).$ Como ambos coeficientes principales son $1,$ los términos $x^4$ se cancelan, así que $p(x) - q(x)$ tiene grado a lo sumo $3$ y por lo tanto a lo sumo $3$ raíces. Se pueden lograr tres intersecciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The $x$ -coordinates of the intersection points are the roots of $p(x) - q(x).$ Because both leading coefficients are $1,$ the $x^4$ terms cancel, so $p(x) - q(x)$ has degree at most $3$ and therefore at most $3$ roots. Three intersections are achievable.

Thus, the correct answer is C.

13.

Define una sucesión de números reales $a_1, a_2, a_3, \ldots$ mediante $a_1 = 1$ y $a_{n+1}^3 = 99 a_n^3$ para todo $n \ge 1.$ Entonces $a_{100}$ es igual a

Define a sequence of real numbers $a_1, a_2, a_3, \ldots$ by $a_1 = 1$ and $a_{n+1}^3 = 99 a_n^3$ for all $n \ge 1.$ Then $a_{100}$ equals

$33^{33}$

$33^{99}$

$99^{33}$

$99^{99}$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:sucesión geométrica exponente

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

Tomando raíces cúbicas, $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n,$ así que la sucesión es geométrica con primer término $1$ y razón $\sqrt[3]{99}.$ Entonces $a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Taking cube roots, $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n,$ so the sequence is geometric with first term $1$ and ratio $\sqrt[3]{99}.$ Then $a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.$

Thus, the correct answer is C.

14.

Cuatro chicas, Mary, Alina, Tina y Hanna, cantaron canciones en un concierto como tríos, con una chica descansando cada vez. Hanna cantó $7$ canciones, más que cualquier otra chica, y Mary cantó $4$ canciones, menos que cualquier otra chica. ¿Cuántas canciones cantaron estos tríos?

Four girls — Mary, Alina, Tina, and Hanna — sang songs in a concert as trios, with one girl sitting out each time. Hanna sang $7$ songs, which was more than any other girl, and Mary sang $4$ songs, which was fewer than any other girl. How many songs did these trios sing?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:divisibilidad doble conteo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1610

Solución:

Si se cantan $N$ canciones, el número total de apariciones de chicas es $3N.$ Alina y Tina cantaron cada una estrictamente entre $4$ y $7,$ así que cada una cantó $5$ o $6.$

Entonces $3N = 7 + 4 + (\text{Alina}) + (\text{Tina}),$ que es $21, 22,$ o $23.$ Solo $21$ es múltiplo de $3,$ así que $N = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If $N$ songs are sung, the total number of girl-appearances is $3N.$ Alina and Tina each sang strictly between $4$ and $7,$ so each sang $5$ or $6.$

Then $3N = 7 + 4 + (\text{Alina}) + (\text{Tina}),$ which is $21, 22,$ or $23.$ Only $21$ is a multiple of $3,$ so $N = 7.$

Thus, the correct answer is A.

15.

Sea $x$ un número real tal que $\sec x - \tan x = 2.$ ¿Cuánto vale $\sec x + \tan x$ ?

Let $x$ be a real number such that $\sec x - \tan x = 2.$ What is $\sec x + \tan x$ ?

$0.1$

$0.2$

$0.3$

$0.4$

$0.5$

Conceptos:identidad trigonométrica diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1550

Solución:

Como $\sec^2 x - \tan^2 x = 1,$ tenemos $\begin{aligned} &(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) \\ &\quad = 1. \end{aligned}$ Con $\sec x - \tan x = 2,$ se sigue que $\sec x + \tan x = \tfrac12 = 0.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $\sec^2 x - \tan^2 x = 1,$ we have $\begin{aligned} &(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) \\ &\quad = 1. \end{aligned}$ With $\sec x - \tan x = 2,$ it follows that $\sec x + \tan x = \tfrac12 = 0.5.$

Thus, the correct answer is E.

16.

¿Cuál es el radio de un círculo inscrito en un rombo con diagonales de longitud $10$ y $24$ ?

What is the radius of a circle inscribed in a rhombus with diagonals of length $10$ and $24?$

$4$

$\dfrac{58}{13}$

$\dfrac{60}{13}$

$5$

$6$

Conceptos:rombo circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras área del triángulo

Nivel de dificultad: 1610

Solución:

Las semidiagonales son $5$ y $12,$ así que cada lado del rombo es $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13.$ Uno de los cuatro triángulos rectángulos formados por las diagonales tiene catetos $5$ y $12$ y área $30.$

La altura desde el centro hasta el lado de longitud $13$ es $\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13},$ que es el radio del círculo inscrito.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The half-diagonals are $5$ and $12,$ so each side of the rhombus is $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13.$ One of the four right triangles formed by the diagonals has legs $5$ and $12$ and area $30.$

The altitude from the center to the side of length $13$ is $\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13},$ which is the inscribed circle's radius.

Thus, the correct answer is C.

17.

Sea $P(x)$ un polinomio tal que cuando $P(x)$ se divide entre $x - 19,$ el residuo es $99,$ y cuando $P(x)$ se divide entre $x - 99,$ el residuo es $19.$ ¿Cuál es el residuo cuando $P(x)$ se divide entre $(x - 19)(x - 99)$ ?

Let $P(x)$ be a polynomial such that when $P(x)$ is divided by $x - 19,$ the remainder is $99,$ and when $P(x)$ is divided by $x - 99,$ the remainder is $19.$ What is the remainder when $P(x)$ is divided by $(x - 19)(x - 99)?$

$-x + 80$

$x + 80$

$-x + 118$

$x + 118$

$0$

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1680

Solución:

Por el Teorema del Residuo, $P(19) = 99$ y $P(99) = 19.$ Escribe $\begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b. \end{aligned}$ Entonces $19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19.$

Al restar se obtiene $80a = -80,$ así que $a = -1$ y $b = 118.$ El residuo es $-x + 118.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By the Remainder Theorem, $P(19) = 99$ and $P(99) = 19.$ Write $\begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b. \end{aligned}$ Then $19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19.$

Subtracting gives $80a = -80,$ so $a = -1$ and $b = 118.$ The remainder is $-x + 118.$

Thus, the correct answer is C.

18.

¿Cuántos ceros tiene $f(x) = \cos(\log x)$ en el intervalo $0 \lt x \lt 1$ ?

How many zeros does $f(x) = \cos(\log x)$ have on the interval $0 \lt x \lt 1?$

$0$

$1$

$2$

$10$

infinitos

infinitely many

Conceptos:trigonometría logaritmo función

Nivel de dificultad: 1770

Solución:

Cuando $x$ recorre $(0, 1),$ $\log x$ recorre todos los números reales negativos. La función coseno es cero en $\tfrac{\pi}{2} - n\pi$ para todo entero positivo $n,$ todos ellos negativos, así que $f$ tiene infinitos ceros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

As $x$ ranges over $(0, 1),$ $\log x$ ranges over all negative real numbers. The cosine function is zero at $\tfrac{\pi}{2} - n\pi$ for every positive integer $n,$ all of which are negative, so $f$ has infinitely many zeros.

Thus, the correct answer is E.

19.

Considera todos los triángulos $ABC$ que satisfacen las siguientes condiciones: $AB = AC,$ $D$ es un punto sobre $\overline{AC}$ para el cual $\overline{BD} \perp \overline{AC},$ $AD$ y $CD$ son enteros, y $BD^2 = 57.$ Entre todos esos triángulos, el menor valor posible de $AC$ es

Consider all triangles $ABC$ satisfying the following conditions: $AB = AC,$ $D$ is a point on $\overline{AC}$ for which $\overline{BD} \perp \overline{AC},$ $AD$ and $CD$ are integers, and $BD^2 = 57.$ Among all such triangles, the smallest possible value of $AC$ is

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Conceptos:triángulo isósceles Teorema de Pitágoras Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1810

Solución:

Sea $AD = n$ y $CD = m.$ Como $\triangle ADB$ es rectángulo en $D,$ $AB^2 = n^2 + 57.$ Además $AB = AC = m + n,$ así que $(m + n)^2 = n^2 + 57,$ lo que se simplifica a $m(m + 2n) = 57.$

Las soluciones enteras positivas son $m = 1, n = 28$ (que dan $AC = 29$ ) y $m = 3, n = 8$ (que dan $AC = 11$ ). El menor valor posible de $AC$ es $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $AD = n$ and $CD = m.$ Since $\triangle ADB$ is right-angled at $D,$ $AB^2 = n^2 + 57.$ Also $AB = AC = m + n,$ so $(m + n)^2 = n^2 + 57,$ which simplifies to $m(m + 2n) = 57.$

The positive integer solutions are $m = 1, n = 28$ (giving $AC = 29$ ) and $m = 3, n = 8$ (giving $AC = 11$ ). The smallest possible value of $AC$ is $11.$

Thus, the correct answer is C.

20.

La sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ satisface $a_1 = 19,$ $a_9 = 99,$ y, para todo $n \ge 3,$ $a_n$ es la media aritmética de los primeros $n - 1$ términos. Halla $a_2.$

The sequence $a_1, a_2, a_3, \ldots$ satisfies $a_1 = 19,$ $a_9 = 99,$ and, for all $n \ge 3,$ $a_n$ is the arithmetic mean of the first $n - 1$ terms. Find $a_2.$

$29$

$59$

$79$

$99$

$179$

Conceptos:recursión media invariante

Nivel de dificultad: 1740

Solución:

Para $n \ge 3,$ $(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}.$ Entonces $a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n,$ así que la sucesión es constante a partir de $a_3$ en adelante. Por lo tanto $a_3 = a_9 = 99.$

Como $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99,$ obtenemos $a_2 = 179.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $n \ge 3,$ $(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}.$ Then $a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n,$ so the sequence is constant from $a_3$ onward. Hence $a_3 = a_9 = 99.$

Since $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99,$ we get $a_2 = 179.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Se circunscribe un círculo a un triángulo con lados $20, 21,$ y $29,$ dividiendo así el interior del círculo en cuatro regiones. Sean $A,$ $B,$ y $C$ las áreas de las regiones no triangulares, siendo $C$ la mayor. Entonces

A circle is circumscribed about a triangle with sides $20, 21,$ and $29,$ thus dividing the interior of the circle into four regions. Let $A,$ $B,$ and $C$ be the areas of the non-triangular regions, with $C$ being the largest. Then

$A + B = C$

$A + B + 210 = C$

$A^2 + B^2 = C^2$

$20A + 21B = 29C$

$\dfrac{1}{A^2} + \dfrac{1}{B^2} = \dfrac{1}{C^2}$

Conceptos:triángulo rectángulo área del círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1810

Solución:

Como $20^2 + 21^2 = 841 = 29^2,$ el triángulo es rectángulo, y su hipotenusa de longitud $29$ es un diámetro del círculo. Así, la mayor región $C$ es el semicírculo de un lado de ese diámetro.

El otro semicírculo consiste en el triángulo junto con las regiones $A$ y $B.$ Como los dos semicírculos son congruentes y el triángulo tiene área $\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210,$ obtenemos $A + B + 210 = C.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $20^2 + 21^2 = 841 = 29^2,$ the triangle is right-angled, and its hypotenuse of length $29$ is a diameter of the circle. Thus the largest region $C$ is the semicircle on one side of that diameter.

The other semicircle consists of the triangle together with regions $A$ and $B.$ Since the two semicircles are congruent and the triangle has area $\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210,$ we get $A + B + 210 = C.$

Thus, the correct answer is B.

22.

Las gráficas de $y = -|x - a| + b$ y $y = |x - c| + d$ se intersecan en los puntos $(2, 5)$ y $(8, 3).$ Halla $a + c.$

The graphs of $y = -|x - a| + b$ and $y = |x - c| + d$ intersect at points $(2, 5)$ and $(8, 3).$ Find $a + c.$

$7$

$8$

$10$

$13$

$18$

Conceptos:valor absoluto geometría analítica punto medio

Nivel de dificultad: 1740

Solución:

La primera gráfica es un ángulo recto invertido con vértice $(a, b),$ y la segunda es un ángulo recto hacia arriba con vértice $(c, d).$ Como cada una consta de dos rectas de pendiente $\pm 1,$ los cuatro puntos $(a, b), (2, 5), (c, d), (8, 3)$ son, en orden, los vértices de un rectángulo.

Las diagonales de un rectángulo comparten punto medio, así que $\dfrac{a + c}{2} = \dfrac{2 + 8}{2} = 5,$ dando $a + c = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The first graph is an inverted right angle with vertex $(a, b),$ and the second is an upright right angle with vertex $(c, d).$ Because each consists of two lines of slope $\pm 1,$ the four points $(a, b), (2, 5), (c, d), (8, 3)$ are the vertices of a rectangle in order.

The diagonals of a rectangle share a midpoint, so $\dfrac{a + c}{2} = \dfrac{2 + 8}{2} = 5,$ giving $a + c = 10.$

Thus, the correct answer is C.

23.

El hexágono convexo equiángulo $ABCDEF$ tiene $AB = 1,$ $BC = 4,$ $CD = 2,$ y $DE = 4.$ El área del hexágono es

The equiangular convex hexagon $ABCDEF$ has $AB = 1,$ $BC = 4,$ $CD = 2,$ and $DE = 4.$ The area of the hexagon is

$\dfrac{15}{2}\sqrt{3}$

$9\sqrt{3}$

$16$

$\dfrac{39}{4}\sqrt{3}$

$\dfrac{43}{4}\sqrt{3}$

Conceptos:polígono equiángulo triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1980

Solución:

Cada ángulo interior mide $120^\circ,$ así que al extender los lados $FA$ y $BC,$ $BC$ y $DE,$ y $DE$ y $FA$ se recortan tres triángulos equiláteros en las esquinas y se forma un triángulo equilátero grande.

Los triángulos de las esquinas construidos sobre $AB, CD,$ y $EF$ son equiláteros, y se encuentra que el triángulo grande tiene lado $1 + 4 + 2 = 7,$ mientras que los triángulos eliminados tienen lados $1, 2,$ y $1.$ El área es $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each interior angle is $120^\circ,$ so extending sides $FA$ and $BC,$ $BC$ and $DE,$ and $DE$ and $FA$ cuts off three equilateral corner triangles and forms a large equilateral triangle.

The corner triangles built on $AB, CD,$ and $EF$ are equilateral, and one finds the large triangle has side $1 + 4 + 2 = 7,$ while the removed triangles have sides $1, 2,$ and $1.$ The area is $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

24.

Se dan seis puntos sobre un círculo. Se seleccionan al azar cuatro de las cuerdas que unen pares de los seis puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro cuerdas formen un cuadrilátero convexo?

Six points on a circle are given. Four of the chords joining pairs of the six points are selected at random. What is the probability that the four chords form a convex quadrilateral?

$\dfrac{1}{15}$

$\dfrac{1}{91}$

$\dfrac{1}{273}$

$\dfrac{1}{455}$

$\dfrac{1}{1365}$

Conceptos:probabilidad básica combinaciones

Nivel de dificultad: 1880

Solución:

Hay $\binom{6}{2} = 15$ cuerdas, así que $\binom{15}{4} = 1365$ formas de seleccionar cuatro de ellas. Un cuadrilátero convexo surge exactamente cuando las cuatro cuerdas son los lados de un cuadrilátero sobre cuatro de los seis puntos, y cada elección de $4$ puntos da exactamente uno de tales cuadriláteros.

Por lo tanto hay $\binom{6}{4} = 15$ resultados favorables, y la probabilidad es $\dfrac{15}{1365} = \dfrac{1}{91}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $\binom{6}{2} = 15$ chords, so $\binom{15}{4} = 1365$ ways to select four of them. A convex quadrilateral arises exactly when the four chords are the sides of a quadrilateral on four of the six points, and each choice of $4$ points gives exactly one such quadrilateral.

Hence there are $\binom{6}{4} = 15$ favorable outcomes, and the probability is $\dfrac{15}{1365} = \dfrac{1}{91}.$

Thus, the correct answer is B.

25.

Existen enteros únicos $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ tales que

$\begin{aligned} &\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} \\ &\quad {}+ \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}, \end{aligned}$

donde $0 \le a_i \lt i$ para $i = 2, 3, \ldots, 7.$ Halla $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7.$

There are unique integers $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ such that

$\begin{aligned} &\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} \\ &\quad {}+ \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}, \end{aligned}$

where $0 \le a_i \lt i$ for $i = 2, 3, \ldots, 7.$ Find $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7.$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:base numérica factorial aritmética modular

Nivel de dificultad: 2030

Solución:

Multiplicando por $7! = 5040$ se obtiene $\begin{aligned} &3600 = 2520a_2 + 840a_3 \\ &\quad {}+ 210a_4 + 42a_5 \\ &\quad {}+ 7a_6 + a_7. \end{aligned}$ Reduciendo módulo $7,$ $a_7 = 2.$

Luego $\dfrac{3600 - 2}{7} = 514$ $= 360a_2 + 120a_3$ $+ 30a_4 + 6a_5$ $+ a_6.$ Reduciendo módulo $6$ se obtiene $a_6 = 4,$ y continuando de esta manera se llega a $a_5 = 0, a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = 1.$

La suma es $1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiplying by $7! = 5040$ gives $\begin{aligned} &3600 = 2520a_2 + 840a_3 \\ &\quad {}+ 210a_4 + 42a_5 \\ &\quad {}+ 7a_6 + a_7. \end{aligned}$ Reducing modulo $7,$ $a_7 = 2.$

Then $\dfrac{3600 - 2}{7} = 514$ $= 360a_2 + 120a_3$ $+ 30a_4 + 6a_5$ $+ a_6.$ Reducing modulo $6$ gives $a_6 = 4,$ and continuing this way yields $a_5 = 0, a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = 1.$

The sum is $1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9.$

Thus, the correct answer is B.

26.

Tres polígonos regulares planos que no se solapan, de los cuales al menos dos son congruentes, tienen todos lados de longitud $1.$ Los polígonos se encuentran en un punto $A$ de tal manera que la suma de los tres ángulos interiores en $A$ es $360^\circ.$ Así, los tres polígonos forman un nuevo polígono con $A$ como punto interior. ¿Cuál es el mayor perímetro posible que puede tener este polígono?

Three non-overlapping regular plane polygons, at least two of which are congruent, all have sides of length $1.$ The polygons meet at a point $A$ in such a way that the sum of the three interior angles at $A$ is $360^\circ.$ Thus the three polygons form a new polygon with $A$ as an interior point. What is the largest possible perimeter that this polygon can have?

$12$

$14$

$18$

$21$

$24$

Conceptos:polígono regular Ecuación diofántica perímetro

Nivel de dificultad: 2090

Solución:

Sea que dos $a$ -ágonos congruentes y un $b$ -ágono se encuentran en $A.$ Sus ángulos interiores satisfacen $\begin{aligned} &2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right) \\ &\quad {}+ 180\left(1 - \tfrac2b\right) = 360, \end{aligned}$ lo que se reduce a $(a - 4)(b - 2) = 8.$

Las soluciones $(a, b)$ son $(5, 10), (6, 6), (8, 4),$ y $(12, 3).$ El perímetro del nuevo polígono es $2a + b - 6,$ dando $14, 12, 14,$ y $21.$ El mayor es $21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let two congruent $a$ -gons and one $b$ -gon meet at $A.$ Their interior angles satisfy $\begin{aligned} &2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right) \\ &\quad {}+ 180\left(1 - \tfrac2b\right) = 360, \end{aligned}$ which reduces to $(a - 4)(b - 2) = 8.$

The solutions $(a, b)$ are $(5, 10), (6, 6), (8, 4),$ and $(12, 3).$ The new polygon's perimeter is $2a + b - 6,$ giving $14, 12, 14,$ and $21.$ The largest is $21.$

Thus, the correct answer is D.

27.

En el triángulo $ABC,$ $3\sin A + 4\cos B = 6$ y $4\sin B + 3\cos A = 1.$ Entonces $\angle C$ en grados es

In triangle $ABC,$ $3\sin A + 4\cos B = 6$ and $4\sin B + 3\cos A = 1.$ Then $\angle C$ in degrees is

$30$

$60$

$90$

$120$

$150$

Conceptos:identidad trigonométrica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2120

Solución:

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando se obtiene $\begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37, \end{aligned}$ así que $24\sin(A + B) = 12$ y $\sin(A + B) = \tfrac12.$

Entonces $\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12,$ así que $\angle C = 30^\circ$ o $150^\circ.$ Si $\angle C = 150^\circ,$ entonces $A \lt 30^\circ,$ haciendo que $3\sin A + 4\cos B \lt 6,$ una contradicción. Por lo tanto $\angle C = 30^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Squaring both equations and adding gives $\begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37, \end{aligned}$ so $24\sin(A + B) = 12$ and $\sin(A + B) = \tfrac12.$

Then $\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12,$ so $\angle C = 30^\circ$ or $150^\circ.$ If $\angle C = 150^\circ,$ then $A \lt 30^\circ,$ making $3\sin A + 4\cos B \lt 6,$ a contradiction. Hence $\angle C = 30^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

28.

Sea $x_1, x_2, \ldots, x_n$ una sucesión de enteros tal que

(i) para $i = 1, 2, 3, \ldots, n$ , $-1 \le x_i \le 2$ ;

(ii) $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19;$ y

(iii) $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99.$

Sean $m$ y $M$ los valores mínimo y máximo posibles de $x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3$ , respectivamente. ¿Cuánto vale $\dfrac{M}{m}$ ?

Let $x_1, x_2, \ldots, x_n$ be a sequence of integers such that

(i) for $i = 1, 2, 3, \ldots, n$ , $-1 \le x_i \le 2$ ;

(ii) $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19;$ and

(iii) $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99.$

Let $m$ and $M$ be the minimal and maximal possible values of $x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3$ , respectively. What is $\dfrac{M}{m}$ ?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:sistema de ecuaciones optimización

Nivel de dificultad: 2240

Solución:

Sean $a, b, c$ el número de $-1$ , $1$ y $2$ . Entonces $-a + b + 2c = 19$ y $a + b + 4c = 99,$ dando $a = 40 - c$ y $b = 59 - 3c$ con $0 \le c \le 19.$

La suma de cubos es $-a + b + 8c = 19 + 6c.$ El mínimo está en $c = 0$ (valor $19$ ) y el máximo en $c = 19$ (valor $133$ ), así que $\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $a, b, c$ be the numbers of $-1$ s, $1$ s, and $2$ s. Then $-a + b + 2c = 19$ and $a + b + 4c = 99,$ giving $a = 40 - c$ and $b = 59 - 3c$ with $0 \le c \le 19.$

The sum of cubes is $-a + b + 8c = 19 + 6c.$ The minimum is at $c = 0$ (value $19$ ) and the maximum at $c = 19$ (value $133$ ), so $\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7.$

Thus, the correct answer is E.

29.

Un tetraedro con cuatro caras triangulares equiláteras tiene una esfera inscrita en su interior y una esfera circunscrita a su alrededor. Para cada una de las cuatro caras, hay una esfera tangente externamente a la cara en su centro y a la esfera circunscrita. Se selecciona al azar un punto $P$ dentro de la esfera circunscrita. La probabilidad de que $P$ esté dentro de una de las cinco esferas pequeñas es la más cercana a

A tetrahedron with four equilateral triangular faces has a sphere inscribed within it and a sphere circumscribed about it. For each of the four faces, there is a sphere tangent externally to the face at its center and to the circumscribed sphere. A point $P$ is selected at random inside the circumscribed sphere. The probability that $P$ lies inside one of the five small spheres is closest to

$0$

$0.1$

$0.2$

$0.3$

$0.4$

Conceptos:Geometría 3D esfera probabilidad geométrica volumen

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Sea $O$ el centro común de las esferas inscrita y circunscrita. Dividir el tetraedro en cuatro piezas congruentes desde $O$ muestra que el circunradio es $3$ veces el inradio, así que la esfera circunscrita tiene $27$ veces el volumen de la esfera inscrita, $V.$

Cada esfera tangente externamente cabe entre una cara y la esfera circunscrita y es congruente con la esfera inscrita, así que las cinco esferas pequeñas tienen volumen total $5V.$ La probabilidad es $\dfrac{5V}{27V} = \dfrac{5}{27} \approx 0.185,$ la más cercana a $0.2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the common center of the inscribed and circumscribed spheres. Splitting the tetrahedron into four congruent pieces from $O$ shows the circumradius is $3$ times the inradius, so the circumscribed sphere has $27$ times the inscribed sphere's volume $V.$

Each externally tangent sphere fits between a face and the circumscribed sphere and is congruent to the inscribed sphere, so the five small spheres have total volume $5V.$ The probability is $\dfrac{5V}{27V} = \dfrac{5}{27} \approx 0.185,$ closest to $0.2.$

Thus, the correct answer is C.

30.

El número de pares ordenados de enteros $(m, n)$ para los cuales $mn \ge 0$ y

$m^3 + n^3 + 99mn = 33^3$

es igual a

The number of ordered pairs of integers $(m, n)$ for which $mn \ge 0$ and

$m^3 + n^3 + 99mn = 33^3$

is equal to

$2$

$3$

$33$

$35$

$99$

Conceptos:factorización Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2460

Solución:

Escribiendo $z = -33,$ la ecuación se convierte en $m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0,$ que se factoriza como $\begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}$

El segundo factor es igual a $\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big],$ que es $0$ solo en $(m, n) = (-33, -33);$ esto satisface $mn \ge 0.$

En caso contrario $m + n = 33.$ Con $mn \ge 0$ ambos son no negativos, dando $(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0),$ que son $34$ pares. En conjunto hay $35$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing $z = -33,$ the equation becomes $m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0,$ which factors as $\begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}$

The second factor equals $\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big],$ which is $0$ only at $(m, n) = (-33, -33);$ this satisfies $mn \ge 0.$

Otherwise $m + n = 33.$ With $mn \ge 0$ both are nonnegative, giving $(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0),$ which is $34$ pairs. Together there are $35$ solutions.

Thus, the correct answer is D.