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1999 AMC 12 Problema 30

Intenta el Problema 30 del 1999 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1999 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

30.

El número de pares ordenados de enteros (m,n)(m, n) para los cuales mn≥0mn \ge 0 y

m3+n3+99mn=333m^3 + n^3 + 99mn = 33^3

es igual a

The number of ordered pairs of integers (m,n)(m, n) for which mn≥0mn \ge 0 and

m3+n3+99mn=333m^3 + n^3 + 99mn = 33^3

is equal to

22

33

3333

3535

9999

Respuesta: D
Conceptos:factorizaciónEcuación diofántica
Nivel de dificultad: 2460
Pista pequeña:

Como 99=3⋅33,99 = 3 \cdot 33, la ecuación es m3+n3+(−33)3m^3 + n^3 + (-33)^3 −3mn(−33)=0- 3mn(-33) = 0.

Since 99=3⋅33,99 = 3 \cdot 33, the equation is m3+n3+(−33)3m^3 + n^3 + (-33)^3 −3mn(−33)=0- 3mn(-33) = 0

Pista grande:

Usa x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3 −3xyz=(x+y+z)- 3xyz = (x + y + z) ⋅(x2+y2+z2−xy−yz−zx)\cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx).

Use x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3 −3xyz=(x+y+z)- 3xyz = (x + y + z) ⋅(x2+y2+z2−xy−yz−zx)\cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)

Solución:

Escribiendo z=−33,z = -33, la ecuación se convierte en m3+n3+z3−3mnz=0,m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0, que se factoriza como (m+n−33)⋅(m2+n2+332−mn+33m+33n)=0. \begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}

El segundo factor es igual a 12[(m−n)2+(m+33)2+(n+33)2],\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big], que es 00 solo en (m,n)=(−33,−33);(m, n) = (-33, -33); esto satisface mn≥0.mn \ge 0.

En caso contrario m+n=33.m + n = 33. Con mn≥0mn \ge 0 ambos son no negativos, dando (0,33),(1,32),…,(33,0),(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0), que son 3434 pares. En conjunto hay 3535 soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing z=−33,z = -33, the equation becomes m3+n3+z3−3mnz=0,m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0, which factors as (m+n−33)⋅(m2+n2+332−mn+33m+33n)=0. \begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}

The second factor equals 12[(m−n)2+(m+33)2+(n+33)2],\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big], which is 00 only at (m,n)=(−33,−33);(m, n) = (-33, -33); this satisfies mn≥0.mn \ge 0.

Otherwise m+n=33.m + n = 33. With mn≥0mn \ge 0 both are nonnegative, giving (0,33),(1,32),…,(33,0),(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0), which is 3434 pairs. Together there are 3535 solutions.

Thus, the correct answer is D.

Problema 29#29
Examen completo

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