Question

El número de pares ordenados de enteros $(m, n)$ para los cuales $mn \ge 0$ y

$m^3 + n^3 + 99mn = 33^3$

es igual a

The number of ordered pairs of integers $(m, n)$ for which $mn \ge 0$ and

$m^3 + n^3 + 99mn = 33^3$

is equal to

$2$

$3$

$33$

$35$

$99$

Solución:

Escribiendo $z = -33,$ la ecuación se convierte en $m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0,$ que se factoriza como $\begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}$

El segundo factor es igual a $\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big],$ que es $0$ solo en $(m, n) = (-33, -33);$ esto satisface $mn \ge 0.$

En caso contrario $m + n = 33.$ Con $mn \ge 0$ ambos son no negativos, dando $(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0),$ que son $34$ pares. En conjunto hay $35$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing $z = -33,$ the equation becomes $m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0,$ which factors as $\begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}$

The second factor equals $\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big],$ which is $0$ only at $(m, n) = (-33, -33);$ this satisfies $mn \ge 0.$

Otherwise $m + n = 33.$ With $mn \ge 0$ both are nonnegative, giving $(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0),$ which is $34$ pairs. Together there are $35$ solutions.

Thus, the correct answer is D.

1999 AMC 12 Problema 30

Solución: