Question

Sea $\lfloor x\rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x.$ Entonces el número de soluciones reales de $4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0$ es

Let $\lfloor x\rfloor$ be the greatest integer less than or equal to $x.$ Then the number of real solutions to $4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: E

Conceptos:análisis por casos funciones piso y techo desigualdad cuadrática

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Haz $n=\lfloor x\rfloor$ y resuelve la ecuación para $x^2$

Set $n=\lfloor x\rfloor$ and solve the equation for $x^2$

Pista grande:

Impón $n\le x\lt n+1$ para determinar qué valores enteros de $n$ funcionan

Enforce $n\le x\lt n+1$ to determine which integer values of $n$ work

Solución:

Sea $n=\lfloor x\rfloor.$ Una solución debe ser positiva y satisfacer $\begin{aligned} x&=\sqrt{10n-\frac{51}{4}},\\ n&\le x\lt n+1. \end{aligned}$ La desigualdad inferior equivale a $4n^2-40n+51\le0,$ así que $n=2,3,\ldots,8.$ La desigualdad superior equivale a $4n^2-32n+55\gt0.$ Entre $2,\ldots,8,$ esto se cumple exactamente para $n=2,6,7,8.$ Cada intervalo aporta una raíz, así que hay cuatro soluciones reales.

La respuesta correcta es E.

Let $n=\lfloor x\rfloor.$ A solution must be positive and satisfy $\begin{aligned} x&=\sqrt{10n-\frac{51}{4}},\\ n&\le x\lt n+1. \end{aligned}$ The lower inequality is equivalent to $4n^2-40n+51\le0,$ so $n=2,3,\ldots,8.$ The upper inequality is equivalent to $4n^2-32n+55\gt0.$ Among $2,\ldots,8,$ this holds exactly for $n=2,6,7,8.$ Each interval contributes one root, so there are four real solutions.

Therefore the correct answer is E.

1985 AMC 12 Problema 30

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años