Question

En un mismo plano se dibujan los polígonos convexos $P_1$ y $P_2,$ con $n_1$ y $n_2$ lados respectivamente, donde $n_1\leq n_2.$ Si $P_1$ y $P_2$ no tienen ningún segmento de recta en común, entonces el número máximo de puntos de intersección entre $P_1$ y $P_2$ es:

Convex polygons $P_1$ and $P_2$ are drawn in the same plane with $n_1$ and $n_2$ sides, respectively, $n_1\leq n_2.$ If $P_1$ and $P_2$ do not have any line segment in common, then the maximum number of intersections of $P_1$ and $P_2$ is:

$2n_1$

$2n_2$

$n_1n_2$

$n_1+n_2$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:conteo de intersecciones argumento extremal

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Un segmento puede entrar y salir de un polígono convexo a lo sumo una vez

A line segment can enter and leave a convex polygon at most once

Pista grande:

Aplica esa cota a cada lado del polígono que tiene menos lados

Apply that bound to each side of the polygon with fewer sides

Solución:

Cada lado de $P_1$ está contenido en una recta, y su intersección con la región convexa $P_2$ es un solo segmento o es vacía. Por lo tanto, ese lado cruza la frontera de $P_2$ a lo sumo dos veces. En los $n_1$ lados hay como máximo $2n_1,$ y un $n_1$ -gono convexo suficientemente delgado que cruce un $n_2$ -gono convexo alcanza esta cota.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each side of $P_1$ lies on a line, and its intersection with the convex region $P_2$ is a single segment or empty. Thus that side crosses the boundary of $P_2$ at most twice. Across $n_1$ sides there are at most $2n_1,$ and a suitable thin convex $n_1$ -gon crossing a convex $n_2$ -gon attains this bound.

Therefore, the correct answer is A.

1968 AMC 12 Problema 30

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años