Question

Al lanzar $n$ dados estándar de $6$ caras, la probabilidad de obtener una suma de $1994$ es mayor que cero e igual a la probabilidad de obtener una suma de $S.$ El menor valor posible de $S$ es

When $n$ standard $6$ -sided dice are rolled, the probability of obtaining a sum of $1994$ is greater than zero and is the same as the probability of obtaining a sum of $S.$ The smallest possible value of $S$ is

$333$

$335$

$337$

$339$

$341$

Respuesta: C

Conceptos:dice sums simetría extremal values

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Una suma de $1994$ solo es posible si $6n\ge1994$

A sum of $1994$ is possible only when $6n\ge1994$

Pista grande:

Reemplazar el valor $d$ de cada dado por $7-d$ empareja las sumas $T$ y $7n-T$

Replacing every die value $d$ by $7-d$ pairs sums $T$ and $7n-T$

Solución:

El menor número factible de dados es $n=\left\lceil\frac{1994}{6}\right\rceil=333.$ Reemplazar cada resultado $d$ por $7-d$ es una biyección entre los resultados con suma $T$ y los resultados con suma $7n-T.$ Así, para $n=333,$ la suma emparejada con $1994$ es $S=7(333)-1994=337.$ Los números de resultados para las sumas aumentan estrictamente desde la suma mínima hasta la media, por lo que para cualquier $n$ factible ninguna suma menor que $337$ puede tener el mismo número de resultados que $1994.$ Por tanto, el menor valor es $337,$ y la respuesta correcta es C.

The smallest feasible number of dice is $n=\left\lceil\frac{1994}{6}\right\rceil=333.$ Replacing every die result $d$ by $7-d$ is a bijection between outcomes of sum $T$ and outcomes of sum $7n-T.$ Thus for $n=333,$ the sum paired with $1994$ is $S=7(333)-1994=337.$ Dice-sum counts increase strictly from the minimum sum up to the mean, so for any feasible $n$ no sum below $337$ can match the count at $1994.$ Thus the smallest value is $337,$ and the correct answer is C.

1994 AMC 12 Problema 30

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años