Question

Los puntos $A,$ $B$ y $C$ de un círculo de radio $r$ están situados de modo que $AB=AC,$ $AB\gt r,$ y la longitud del arco menor $\overset{\frown}{BC}$ es $r.$ Si los ángulos se miden en radianes, entonces $\frac{AB}{BC}=$

Points $A,$ $B$ and $C$ on a circle of radius $r$ are situated so that $AB=AC,$ $AB\gt r,$ and the length of minor arc $\overset{\frown}{BC}$ is $r.$ If angles are measured in radians, then $\frac{AB}{BC}=$

$\frac12\csc\frac14$

$2\cos\frac12$

$4\sin\frac12$

$\csc\frac12$

$2\sec\frac12$

Respuesta: A

Conceptos:arc length chord length trigonometric identities

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

El arco menor $\overset{\frown}{BC}$ subtiende un ángulo central de $1$ radián

The minor arc $\overset{\frown}{BC}$ subtends a central angle of $1$ radian

Pista grande:

Usa la fórmula de la cuerda $2r\sin(\frac{\theta}{2})$ tanto para $BC$ como para $AB$

Use the chord formula $2r\sin(\frac{\theta}{2})$ for both $BC$ and $AB$

Solución:

El ángulo central que subtiende el arco menor $\overset{\frown}{BC}$ es $\frac{r}{r}=1,$ así que $BC=2r\sin\frac12.$ Como $AB=AC$ y $AB\gt r,$ el punto $A$ es el punto medio del arco mayor $BC.$ El ángulo central menor de $A$ a $B$ es $\pi-\frac12,$ por lo que $AB=2r$ $\sin\left(\frac{\pi-\frac{1}{2}}{2}\right)=2r\cos\frac14.$ Por tanto, $\frac{AB}{BC}=\frac{\cos(\frac{1}{4})}{\sin(\frac{1}{2})}$ $=\frac1{2\sin(\frac{1}{4})}=\frac12\csc\frac14.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The central angle subtending minor arc $\overset{\frown}{BC}$ is $\frac{r}{r}=1,$ so $BC=2r\sin\frac12.$ Since $AB=AC$ and $AB\gt r,$ point $A$ is the midpoint of the major arc $BC.$ The minor central angle from $A$ to $B$ is $\pi-\frac12,$ so $AB=2r$ $\sin\left(\frac{\pi-\frac{1}{2}}{2}\right)=2r\cos\frac14.$ Therefore $\frac{AB}{BC}=\frac{\cos(\frac{1}{4})}{\sin(\frac{1}{2})}$ $=\frac1{2\sin(\frac{1}{4})}=\frac12\csc\frac14.$ Thus the correct answer is A.

1994 AMC 12 Problema 29

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años