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1952 AMC 12 Problema 29

Intenta el Problema 29 del 1952 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1952 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

29.

En un círculo de radio 55 unidades, CDCD y ABAB son diámetros perpendiculares. Una cuerda CHCH que corta a ABAB en KK mide 88 unidades. El diámetro ABAB queda dividido en dos segmentos cuyas longitudes son:

In a circle of radius 55 units, CDCD and ABAB are perpendicular diameters. A chord CHCH cutting ABAB at KK is 88 units long. The diameter ABAB is divided into two segments whose dimensions are:

1.25,1.25, 8.758.75

2.75,2.75, 7.257.25

2,2, 88

4,4, 66

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: A
Conceptos:círculocuerdageometría analítica
Nivel de dificultad: 1760
Pista pequeña:

Coloca el centro en el origen, toma C=(0,5)C=(0,5) y representa con coordenadas el otro extremo HH de la cuerda

Put the center at the origin, take C=(0,5)C=(0,5), and represent the other endpoint HH of the chord by coordinates

Pista grande:

Usa CH=8CH=8 y OH=5OH=5, y luego halla dónde la recta CHCH cruza el diámetro horizontal

Use CH=8CH=8 and OH=5OH=5, then find where line CHCH crosses the horizontal diameter

Solución:

Colocamos el círculo en el origen con C=(0,5)C=(0,5) y sea H=(x,y).H=(x,y). Las ecuaciones x2+y2=25,x2+(y−5)2=64 \begin{aligned} x^2+y^2&=25,\\ x^2+(y-5)^2&=64 \end{aligned} dan y=−75y=-\frac{7}{5} y x=±245.x=\pm\frac{24}{5}. Tomar x=245x=\frac{24}{5} no cambia las longitudes de los segmentos.

La recta de C=(0,5)C=(0,5) a H=(245,−75)H=(\frac{24}{5},-\frac{7}{5}) cruza y=0y=0 en x=154.x=\frac{15}{4}. Por lo tanto, sus distancias a los extremos (−5,0)(-5,0) y (5,0)(5,0) del diámetro ABAB son 5+154=354=8.75,5−154=54=1.25. \begin{aligned} 5+\frac{15}{4}&=\frac{35}{4}=8.75,\\ 5-\frac{15}{4}&=\frac54=1.25. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Put the circle at the origin with C=(0,5)C=(0,5) and let H=(x,y).H=(x,y). The equations x2+y2=25,x2+(y−5)2=64 \begin{aligned} x^2+y^2&=25,\\ x^2+(y-5)^2&=64 \end{aligned} give y=−75y=-\frac{7}{5} and x=±245.x=\pm\frac{24}{5}. Taking x=245x=\frac{24}{5} does not change the segment lengths.

The line from C=(0,5)C=(0,5) to H=(245,−75)H=(\frac{24}{5},-\frac{7}{5}) crosses y=0y=0 at x=154.x=\frac{15}{4}. Its distances to the endpoints (−5,0)(-5,0) and (5,0)(5,0) of diameter ABAB are therefore 5+154=354=8.75,5−154=54=1.25. \begin{aligned} 5+\frac{15}{4}&=\frac{35}{4}=8.75,\\ 5-\frac{15}{4}&=\frac54=1.25. \end{aligned}

Thus, the correct answer is A.

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