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1955 AMC 12 Problema 29

Intenta el Problema 29 del 1955 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1955 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

29.

En la figura, PA‾\overline{PA} es tangente al semicírculo SAR;SAR; PB‾\overline{PB} es tangente al semicírculo RBT;RBT; SRTSRT es una línea recta y los arcos se indican en la figura. La medida del ángulo APBAPB es:

In the figure PA‾\overline{PA} is tangent to semicircle SAR;SAR; PB‾\overline{PB} is tangent to semicircle RBT;RBT; SRTSRT is a straight line; the arcs are indicated in the figure. Angle APBAPB is measured by:

12(a−b)\dfrac12(a-b)

12(a+b)\dfrac12(a+b)

(c−a)−(d−b)(c-a)-(d-b)

a−ba-b

a+ba+b

Respuesta: E
Conceptos:tangent-tangent anglecircle arcsangle measure
Nivel de dificultad: 2310
Pista pequeña:

Traza PR‾\overline{PR}, que es tangente a ambos semicírculos en RR

Draw PR‾\overline{PR}, which is tangent to both semicircles at RR

Pista grande:

Usa el teorema del ángulo entre dos tangentes en cada círculo, y después a+c=b+d=180∘a+c=b+d=180^\circ

Use the tangent-tangent angle theorem on each circle, then use a+c=b+d=180∘a+c=b+d=180^\circ

Solución:

La recta PRPR es tangente a ambos semicírculos en su extremo común R.R. Para el círculo mayor, el teorema del ángulo entre dos tangentes da ∠APR=180∘−a=c. \angle APR=180^\circ-a=c. Para el círculo menor, el mismo teorema da ∠RPB=180∘−b=d. \angle RPB=180^\circ-b=d. Por tanto, el ángulo reflejo de PA‾\overline{PA} a PB‾\overline{PB} que pasa por PR‾\overline{PR} mide c+d.c+d. Así, el otro ángulo entre las tangentes es 360∘−(c+d)=(180∘−c)+(180∘−d)=a+b, \begin{aligned} 360^\circ-(c+d) &=(180^\circ-c)\\ &\quad{}+(180^\circ-d)\\ &=a+b, \end{aligned} porque cada semicírculo superior mide 180∘.180^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The line PRPR is tangent to both semicircles at their common endpoint R.R. For the larger circle, the tangent-tangent angle theorem gives ∠APR=180∘−a=c. \angle APR=180^\circ-a=c. For the smaller circle, the same theorem gives ∠RPB=180∘−b=d. \angle RPB=180^\circ-b=d. Thus the reflex angle from PA‾\overline{PA} to PB‾\overline{PB} through PR‾\overline{PR} has measure c+d.c+d. Hence the other angle between the tangents is 360∘−(c+d)=(180∘−c)+(180∘−d)=a+b, \begin{aligned} 360^\circ-(c+d) &=(180^\circ-c)\\ &\quad{}+(180^\circ-d)\\ &=a+b, \end{aligned} because each upper semicircle has measure 180∘.180^\circ.

Thus, the correct answer is E.

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