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1981 AMC 12 Problema 29

Intenta el Problema 29 del 1981 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1981 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

29.

Si a>1,a\gt1, entonces la suma de las soluciones reales de a−a+x=x \sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x es igual a

If a>1,a\gt1, then the sum of the real solutions of a−a+x=x \sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x is equal to

a−1\sqrt a-1

a−12\frac{\sqrt a-1}{2}

a−1\sqrt{a-1}

a−12\frac{\sqrt{a-1}}2

4a−3−12\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}

Respuesta: E
Conceptos:radicalcuadráticaanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2040
Pista pequeña:

La raíz cuadrada principal obliga a que x≥0x\ge0

The principal square root forces x≥0x\ge0

Pista grande:

Después de elevar una vez al cuadrado, factoriza una diferencia que contiene a+x−x\sqrt{a+x}-x

After one squaring, factor a difference involving a+x−x\sqrt{a+x}-x

Solución:

Como x≥0,x\ge0, al elevar una vez al cuadrado obtenemos a−a+x=x2.a-\sqrt{a+x}=x^2. Sea y=a+x.y=\sqrt{a+x}. Entonces y=a−x2y=a-x^2 y a=y2−x,a=y^2-x, por lo que 0=(y+x)(y−x−1). 0=(y+x)(y-x-1). Como y+x>0,y+x\gt0, tenemos y=x+1,y=x+1, es decir, a+x=x+1.\sqrt{a+x}=x+1. Por tanto, a+x=x2+2x+1a+x=x^2+2x+1 y x2+x+1−a=0. x^2+x+1-a=0. La única raíz no negativa es x=4a−3−12,x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}, y satisface la ecuación original. Por lo tanto, también es la suma de todas las soluciones reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since x≥0,x\ge0, squaring once gives a−a+x=x2.a-\sqrt{a+x}=x^2. Let y=a+x.y=\sqrt{a+x}. Then y=a−x2y=a-x^2 and a=y2−x,a=y^2-x, so 0=(y+x)(y−x−1). 0=(y+x)(y-x-1). Since y+x>0,y+x\gt0, we have y=x+1,y=x+1, or a+x=x+1.\sqrt{a+x}=x+1. Therefore a+x=x2+2x+1a+x=x^2+2x+1 and x2+x+1−a=0. x^2+x+1-a=0. The only nonnegative root is x=4a−3−12,x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}, and it satisfies the original equation. It is therefore also the sum of all real solutions.

Therefore, the correct answer is E.

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