Question

¿Para cuántos conjuntos de tres enteros positivos $\{a,b,c\}$ se cumple que $a\cdot b\cdot c=2310$ ?

For how many three-element sets of positive integers $\{a,b,c\}$ is it true that $a\cdot b\cdot c=2310?$

$32$

$36$

$40$

$43$

$45$

Respuesta: C

Conceptos:factorización en primos set partitions

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Factoriza $2310$ en primos distintos y asigna cada primo a uno de los factores

Factor $2310$ into distinct primes and assign each prime to one of the factors

Pista grande:

Cuenta por separado los casos en que un factor es $1$ y aquellos en que los tres factores son mayores que $1$

Count separately the cases in which one factor is $1$ and in which all three factors exceed $1$

Solución:

Como $2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11,$ cada primo pertenece exactamente a uno de los tres factores. Si todos los factores son mayores que $1,$ sus grupos no ordenados de primos forman una partición de cinco objetos en tres bloques no vacíos, contada por $S(5,3)=\frac{3^5-3\cdot2^5+3}{6}=25.$ Si un factor es $1,$ los primos se dividen en dos bloques no vacíos, lo que da $S(5,2)=2^4-1=15.$ Los factores son distintos porque sus conjuntos disjuntos de primos son diferentes. Por tanto, el total es $25+15=40,$ y la respuesta correcta es C.

Since $2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11,$ each prime belongs to exactly one of the three factors. If all factors exceed $1,$ their unordered prime groups form a partition of five objects into three nonempty blocks, counted by $S(5,3)=\frac{3^5-3\cdot2^5+3}{6}=25.$ If one factor is $1,$ the primes are partitioned into two nonempty blocks, giving $S(5,2)=2^4-1=15.$ The factors are distinct because their disjoint prime sets differ. Thus the total is $25+15=40,$ and the correct answer is C.

1995 AMC 12 Problema 29

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años