Question

Si $f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ para $-1\lt x\lt1,$ entonces $f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)$ , expresado en función de $f(x)$ , es:

If $f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ for $-1\lt x\lt1,$ then $f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)$ in terms of $f(x)$ is:

$-f(x)$

$2f(x)$

$3f(x)$

$[f(x)]^2$

$[f(x)]^3-f(x)$

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo función factorización sustitución

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sustituye la expresión racional en $\frac{1+u}{1-u}$

Substitute the rational expression into $\frac{1+u}{1-u}$

Pista grande:

Su numerador y su denominador se factorizan como $(1+x)^3$ y $(1-x)^3$

Its numerator and denominator factor as $(1+x)^3$ and $(1-x)^3$

Solución:

Sea $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}.$ Entonces $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}$ Por consiguiente, $f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}.$ Then $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}$ Consequently $f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x).$

Therefore, the correct answer is C.

1972 AMC 12 Problema 29

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años