Question

Dada la progresión $\begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}, \end{gathered}$ el menor entero positivo $n$ tal que el producto de los primeros $n$ términos excede $100{,}000$ es:

Given the progression $\begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}, \end{gathered}$ the least positive integer $n$ such that the product of the first $n$ terms exceeds $100{,}000$ is:

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica exponente número triangular desigualdad

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Suma los exponentes al multiplicar los términos

Add the exponents when multiplying the terms

Pista grande:

Exige $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$ , teniendo en cuenta que la igualdad no basta

Require $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$ , noting that equality is not enough

Solución:

El producto es $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ Excede $100{,}000=10^5$ exactamente cuando $n(n+1)\gt110.$ Para $n=10$ hay igualdad, mientras que $n=11$ sí funciona.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The product is $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ It exceeds $100{,}000=10^5$ exactly when $n(n+1)\gt110.$ For $n=10$ there is equality, while $n=11$ works.

Therefore, the correct answer is E.

1971 AMC 12 Problema 29

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años