Question

Dada la transformación fraccionaria lineal $f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1},$ define $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$ para $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Suponiendo que $f_{35}(x)=f_5(x),$ se deduce que $f_{28}(x)$ es igual a:

Given the linear fractional transformation $f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1},$ define $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$ for $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Assuming $f_{35}(x)=f_5(x),$ it follows that $f_{28}(x)$ is equal to:

$x$

$\frac{1}{x}$

$\frac{x-1}{x}$

$\frac{1}{1-x}$

Ninguna de estas

None of these

Respuesta: D

Conceptos:función recursión transformación

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Cancela cinco iteraciones componiendo con la transformación inversa

Cancel five iterates by composing with the inverse transformation

Pista grande:

Si $g=f_1^{-1}$ , entonces $f_{28}=g^2$ una vez que $f_{30}$ es la identidad

If $g=f_1^{-1}$ , then $f_{28}=g^2$ once $f_{30}$ is the identity

Solución:

La transformación es invertible. A partir de $f_{35}=f_5,$ al componer con $f_5^{-1}$ se ve que $f_{30}$ es la identidad. Al despejar $x$ en $y=\frac{2x-1}{x+1}$ , se obtiene $g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}.$ Como las iteraciones tienen período $30,$ $f_{28}=f_{-2}=g^2.$ La composición directa da $g(g(x))=\frac{1}{1-x}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The transformation is invertible. From $f_{35}=f_5,$ composing with $f_5^{-1}$ shows that $f_{30}$ is the identity. Solving $y=\frac{2x-1}{x+1}$ for $x$ gives $g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}.$ Since iterates have period $30,$ $f_{28}=f_{-2}=g^2.$ Direct composition gives $g(g(x))=\frac{1}{1-x}.$

Therefore, the correct answer is D.

1971 AMC 12 Problema 30

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años