Question

En un torneo de tenis participan $n$ mujeres y $2n$ hombres, y cada jugador disputa exactamente un partido contra cada uno de los demás. Si no hay empates y la razón entre el número de partidos ganados por mujeres y el número de partidos ganados por hombres es $\frac{7}{5},$ entonces $n$ es igual a

In a tennis tournament, $n$ women and $2n$ men play, and each player plays exactly one match with every other player. If there are no ties and the ratio of the number of matches won by women to the number of matches won by men is $\frac{7}{5},$ then $n$ equals

$2$

$4$

$6$

$7$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: E

Conceptos:conteo básico divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Sea $k$ el número de partidos mixtos ganados por mujeres y cuenta todas las victorias de las mujeres

Let $k$ be the number of mixed matches won by women and count all wins by women

Pista grande:

Usa $0\le k\le2n^2$ junto con la fracción requerida $\frac{7}{12}$ de todas las victorias

Use $0\le k\le2n^2$ together with the required $\frac{7}{12}$ share of all match wins

Solución:

Hay $\frac{3n(3n-1)}{2}$ partidos, por lo que las mujeres deben ganar $\frac{7n(3n-1)}{8}$ partidos. Si las mujeres ganan $k$ de los $2n^2$ partidos mixtos, entonces $\frac{n(n-1)}2+k=\frac{7n(3n-1)}8,$ lo que da $k=\frac{n(17n-3)}{8}.$ La cota $k\le2n^2$ obliga a que $n\le3.$ Para $n=1,$ $2,$ esta fórmula no da un entero, mientras que $n=3$ da $k=18,$ lo cual es posible. Por lo tanto, $n=3,$ que no aparece entre las opciones numéricas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

There are $\frac{3n(3n-1)}{2}$ matches, so women must win $\frac{7n(3n-1)}{8}$ matches. If women win $k$ of the $2n^2$ mixed matches, then $\frac{n(n-1)}2+k=\frac{7n(3n-1)}8,$ giving $k=\frac{n(17n-3)}{8}.$ The bound $k\le2n^2$ forces $n\le3.$ For $n=1,$ $2,$ this formula is not an integer, while $n=3$ gives $k=18,$ which is possible. Thus $n=3,$ which is not among the listed numerical choices.

Therefore, the correct answer is E.

1978 AMC 12 Problema 30

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años