Question

Un comerciante compró $n$ radios por $d$ dólares, siendo $d$ un entero positivo. Cedió dos radios a un bazar comunitario por la mitad de su costo. Vendió los demás con una ganancia de $\$8$ por cada radio. Si la ganancia total fue de $\$72,$ entonces el menor valor posible de $n$ según la información dada es:

A dealer bought $n$ radios for $d$ dollars, $d,$ a positive integer. He contributed two radios to a community bazaar at half their cost. The rest he sold at a profit of $\$8$ on each radio sold. If the overall profit was $\$72,$ then the least possible value of $n$ for the given information is:

$18$

$16$

$15$

$12$

$11$

Respuesta: D

Conceptos:dinero ecuación lineal divisibilidad

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Cada radio cuesta $\frac{d}{n}$ dólares

Each radio costs $\frac{d}{n}$ dollars

Pista grande:

Escribe el ingreso total de $n-2$ ventas con ganancia y dos ventas a mitad de costo

Write the total intake from $n-2$ profitable sales and two half-cost sales

Solución:

Las $n-2$ ventas regulares producen $(n-2)(\frac{d}{n}+8),$ mientras que los dos radios del bazar producen juntos $\frac{d}{n}$ . Como el ingreso total es $d+72,$ $\begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72. \end{aligned}$ Esto se reduce a $d=8n(n-11).$ La positividad exige $n\gt11,$ y $n=12$ da el entero positivo $d=96.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The $n-2$ regular sales bring $(n-2)(\frac{d}{n}+8),$ while the two bazaar radios bring $\frac{d}{n}$ together. Since the total intake is $d+72,$ $\begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72. \end{aligned}$ This reduces to $d=8n(n-11).$ Positivity requires $n\gt11,$ and $n=12$ gives the positive integer $d=96.$

Therefore, the correct answer is D.

1967 AMC 12 Problema 30

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años