1967 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

El número de tres cifras $2a3$ se suma al número $326$ para obtener el número de tres cifras $5b9.$ Si $5b9$ es divisible entre $9,$ entonces $a+b$ es igual a:

The three-digit number $2a3$ is added to the number $326$ to give the three-digit number $5b9.$ If $5b9$ is divisible by $9,$ then $a+b$ equals:

$2$

$4$

$6$

$8$

$9$

Respuesta: C

Conceptos:valor posicional divisibilidad

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Usa la suma de cifras de $5b9$

Use the digit sum of $5b9$

Pista grande:

Después de hallar $b,$ compara las cifras de las decenas en la suma

After finding $b,$ compare the tens digits in the addition

Solución:

La divisibilidad entre $9$ exige que $5+b+9$ sea múltiplo de $9.$ Como $b$ es una cifra, esto da $b=4.$ La suma es entonces $2a3+326=549,$ por lo que $a=2.$ Así, $a+b=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Divisibility by $9$ requires $5+b+9$ to be a multiple of $9.$ Since $b$ is a digit, this gives $b=4.$ The addition is then $2a3+326=549,$ so $a=2.$ Hence $a+b=6.$

Therefore, the correct answer is C.

2.

Una expresión equivalente a

$\begin{aligned} &\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \left(\frac{y^2+1}{y}\right)\\ &\quad+ \left(\frac{x^2-1}{y}\right) \left(\frac{y^2-1}{x}\right),\\ &\qquad xy\ne0, \end{aligned}$

es:

An equivalent of the expression

$\begin{aligned} &\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \left(\frac{y^2+1}{y}\right)\\ &\quad+ \left(\frac{x^2-1}{y}\right) \left(\frac{y^2-1}{x}\right),\\ &\qquad xy\ne0, \end{aligned}$

is:

$1$

$2xy$

$2x^2y^2+2$

$2xy+\dfrac{2}{xy}$

$\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x}$

Respuesta: D

Conceptos:manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Desarrolla cada producto en cuatro términos

Expand each product into four terms

Pista grande:

Busca la cancelación de los términos $\frac{x}{y}$ y $\frac{y}{x}$

Look for cancellation of the $\frac{x}{y}$ and $\frac{y}{x}$ terms

Solución:

El primer producto es $xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac1{xy},$ mientras que el segundo es $xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac1{xy}.$ Al sumar se obtiene $2xy+\frac{2}{xy}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first product is $xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac1{xy},$ while the second is $xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac1{xy}.$ Adding gives $2xy+\frac{2}{xy}.$

Therefore, the correct answer is D.

3.

El lado de un triángulo equilátero mide $s.$ Se inscribe un círculo en el triángulo y un cuadrado en el círculo. El área del cuadrado es:

The side of an equilateral triangle is $s.$ A circle is inscribed in the triangle and a square is inscribed in the circle. The area of the square is:

$\dfrac{s^2}{24}$

$\dfrac{s^2}{6}$

$\dfrac{s^2\sqrt2}{6}$

$\dfrac{s^2\sqrt3}{6}$

$\dfrac{s^2}{3}$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo equilátero circunferencia inscrita, incentro e inradio cuadrado (geometría)área

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

El inradio de un triángulo equilátero de lado $s$ es $\frac{s\sqrt3}{6}$

The inradius of an equilateral triangle of side $s$ is $\frac{s\sqrt3}{6}$

Pista grande:

La diagonal del cuadrado es el diámetro del círculo

The square’s diagonal is the circle’s diameter

Solución:

El inradio es $r=\frac{s\sqrt3}{6}.$ El cuadrado inscrito tiene diagonal $2r,$ por lo que su área es la mitad del cuadrado de esa diagonal: $\begin{aligned} \frac{(2r)^2}{2} &=2r^2\\ &=2\left(\frac{s\sqrt3}{6}\right)^2\\ &=\frac{s^2}{6}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The inradius is $r=\frac{s\sqrt3}{6}.$ The inscribed square has diagonal $2r,$ so its area is half the square of that diagonal: $\begin{aligned} \frac{(2r)^2}{2} &=2r^2\\ &=2\left(\frac{s\sqrt3}{6}\right)^2\\ &=\frac{s^2}{6}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

4.

Dado que $\dfrac{\log a}{p}=\dfrac{\log b}{q}=\dfrac{\log c}{r}=\log x,$ todos los logaritmos tienen la misma base y $x\ne1.$ Si $\dfrac{b^2}{ac}=x^y,$ entonces $y$ es:

Given $\dfrac{\log a}{p}=\dfrac{\log b}{q}=\dfrac{\log c}{r}=\log x,$ all logarithms to the same base and $x\ne1.$ If $\dfrac{b^2}{ac}=x^y,$ then $y$ is:

$\dfrac{q^2}{p+r}$

$\dfrac{p+r}{2q}$

$2q-p-r$

$2q-pr$

$q^2-pr$

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo exponente sustitución

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Reescribe las igualdades logarítmicas como $a=x^p,$ $b=x^q,$ y $c=x^r$

Rewrite the logarithmic equalities as $a=x^p,$ $b=x^q,$ and $c=x^r$

Pista grande:

Sustituye esas potencias en $\frac{b^2}{ac}$

Substitute those powers into $\frac{b^2}{ac}$

Solución:

Las igualdades dadas implican $a=x^p,$ $b=x^q,$ y $c=x^r.$ Por lo tanto, $\frac{b^2}{ac} =x^{2q-p-r}.$ Como esto es $x^y$ y $x\ne1,$ tenemos $y=2q-p-r.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The given equalities imply $a=x^p,$ $b=x^q,$ and $c=x^r.$ Therefore $\frac{b^2}{ac} =x^{2q-p-r}.$ Since this is $x^y$ and $x\ne1,$ we have $y=2q-p-r.$

Therefore, the correct answer is C.

5.

Un triángulo está circunscrito a un círculo de radio $r$ pulgadas. Si el perímetro del triángulo es $P$ pulgadas y el área es $K$ pulgadas cuadradas, entonces $\frac{P}{K}$ es:

A triangle is circumscribed about a circle of radius $r$ inches. If the perimeter of the triangle is $P$ inches and the area is $K$ square inches, then $\frac{P}{K}$ is:

independiente del valor de $r$

independent of the value of $r$

$\dfrac{\sqrt2}{r}$

$\dfrac{2}{\sqrt r}$

$\dfrac2r$

$\dfrac r2$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio área del triángulo perímetro

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Divide el triángulo en tres triángulos menores de altura $r$

Split the triangle into three smaller triangles with altitude $r$

Pista grande:

Expresa $K$ usando el semiperímetro $\frac{P}{2}$

Express $K$ using the semiperimeter $\frac{P}{2}$

Solución:

Los tres radios trazados a los puntos de tangencia dividen el triángulo en triángulos menores cuya área total es $K=\frac12r(a+b+c)=\frac{Pr}{2}.$ Por consiguiente, $\frac{P}{K}=\frac{2}{r}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The three radii to the points of tangency split the triangle into smaller triangles whose total area is $K=\frac12r(a+b+c)=\frac{Pr}{2}.$ Hence $\frac{P}{K}=\frac{2}{r}.$

Therefore, the correct answer is D.

6.

Si $f(x)=4^x,$ entonces $f(x+1)-f(x)$ es igual a:

If $f(x)=4^x,$ then $f(x+1)-f(x)$ equals:

$4$

$f(x)$

$2f(x)$

$3f(x)$

$4f(x)$

Respuesta: D

Conceptos:función exponente

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Escribe $4^{x+1}$ como $4\cdot4^x$

Write $4^{x+1}$ as $4\cdot4^x$

Pista grande:

Saca $4^x$ como factor común de la diferencia

Factor $4^x$ from the difference

Solución:

Tenemos $f(x+1)=4^{x+1}=4f(x).$ Por lo tanto, $f(x+1)-f(x)=3f(x).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $f(x+1)=4^{x+1}=4f(x).$ Therefore $f(x+1)-f(x)=3f(x).$

Thus, the correct answer is D.

7.

Si $\dfrac ab\lt-\dfrac cd,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ $d$ son números reales y $bd\ne0,$ entonces:

If $\dfrac ab\lt-\dfrac cd,$ where $a,$ $b,$ $c,$ $d$ are real numbers and $bd\ne0,$ then:

$a$ debe ser negativo

$a$ must be negative

$a$ debe ser positivo

$a$ must be positive

$a$ no puede ser cero

$a$ must not be zero

$a$ puede ser negativo o cero, pero no positivo

$a$ can be negative or zero, but not positive

$a$ puede ser positivo, negativo o cero

$a$ can be positive, negative, or zero

Respuesta: E

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Los signos de $b,c,d$ no están restringidos, salvo que $b,d\ne0$

The signs of $b,c,d$ are unrestricted except that $b,d\ne0$

Pista grande:

Prueba $b=d=1$ y elige $c$ para que el lado derecho sea positivo

Try $b=d=1$ and choose $c$ so that the right side is positive

Solución:

Tomamos $b=d=1$ y $c=-2.$ La desigualdad se convierte en $a\lt2,$ que satisfacen valores positivos, cero y negativos de $a.$ Así, ninguno de los tres signos posibles es obligatorio.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Take $b=d=1$ and $c=-2.$ The inequality becomes $a\lt2,$ which is satisfied by positive, zero, and negative values of $a.$ Thus none of the three possible signs is forced.

Therefore, the correct answer is E.

8.

A $m$ onzas de una solución ácida al $m\%$ se añaden $x$ onzas de agua para obtener una solución al $(m-10)\%$ . Si $m\gt25,$ entonces $x$ es:

To $m$ ounces of an $m\%$ solution of acid, $x$ ounces of water are added to yield an $(m-10)\%$ solution. If $m\gt25,$ then $x$ is:

$\dfrac{10m}{m-10}$

$\dfrac{5m}{m-10}$

$\dfrac{m}{m-10}$

$\dfrac{5m}{m-20}$

no queda determinado por la información dada

not determined by the given information

Respuesta: A

Conceptos:mezcla porcentaje ecuación racional

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

La cantidad de ácido permanece en $\frac{m^2}{100}$ onzas

The amount of acid remains $\frac{m^2}{100}$ ounces

Pista grande:

Iguala eso a $\frac{m-10}{100}$ multiplicado por el volumen final $m+x$

Set that equal to $\frac{m-10}{100}$ times the final volume $m+x$

Solución:

La conservación del ácido da $\frac{m^2}{100} =\frac{m-10}{100}(m+x).$ Por tanto, $m^2=(m-10)(m+x),$ así que $10m=(m-10)x$ y $x=\frac{10m}{m-10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Conservation of acid gives $\frac{m^2}{100} =\frac{m-10}{100}(m+x).$ Hence $m^2=(m-10)(m+x),$ so $10m=(m-10)x$ and $x=\frac{10m}{m-10}.$

Therefore, the correct answer is A.

9.

Sea $K,$ en unidades cuadradas, el área de un trapecio tal que la base menor, la altura y la base mayor, en ese orden, forman una progresión aritmética. Entonces:

Let $K,$ in square units, be the area of a trapezoid such that the shorter base, the altitude, and the longer base, in that order, are in arithmetic progression. Then:

$K$ debe ser un entero

$K$ must be an integer

$K$ debe ser una fracción racional

$K$ must be a rational fraction

$K$ debe ser un número irracional

$K$ must be an irrational number

$K$ debe ser un entero o una fracción racional

$K$ must be an integer or a rational fraction

por separado, ni $(A)$ , ni $(B)$ , ni $(C)$ , ni $(D)$ es cierta

taken alone neither $(A)$ nor $(B)$ nor $(C)$ nor $(D)$ is true

Respuesta: E

Conceptos:trapecio sucesión aritmética área

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Escribe las tres longitudes como $a-d,$ $a,$ y $a+d$

Write the three lengths as $a-d,$ $a,$ and $a+d$

Pista grande:

El área resultante es $a^2,$ pero el problema no restringe qué clase de número es $a$

The resulting area is $a^2,$ but the problem does not restrict the kind of number $a$ is

Solución:

Sean la base menor, la altura y la base mayor $a-d,$ $a,$ y $a+d.$ Entonces $\begin{aligned} K&=\frac12a\bigl((a-d)+(a+d)\bigr)\\ &=a^2. \end{aligned}$ Según $a,$ esto puede ser un entero, un racional no entero o un irracional. Ninguna de las opciones (A) a (D) tiene que cumplirse.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the shorter base, altitude, and longer base be $a-d,$ $a,$ and $a+d.$ Then $\begin{aligned} K&=\frac12a\bigl((a-d)+(a+d)\bigr)\\ &=a^2. \end{aligned}$ Depending on $a,$ this can be an integer, a nonintegral rational number, or an irrational number. No one of choices (A) through (D) must hold.

Therefore, the correct answer is E.

10.

Si

$\begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}$

es una identidad para valores racionales positivos de $x,$ entonces el valor de $a-b$ es:

If

$\begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}$

is an identity for positive rational values of $x,$ then the value of $a-b$ is:

$\dfrac43$

$\dfrac53$

$2$

$\dfrac{11}{4}$

$3$

Respuesta: A

Conceptos:ecuación racional sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Multiplica por $(10^x-1)(10^x+2)$

Multiply by $(10^x-1)(10^x+2)$

Pista grande:

Compara el coeficiente de $10^x$ y el término constante

Compare the coefficient of $10^x$ and the constant term

Solución:

Al eliminar denominadores se obtiene $\begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3. \end{aligned}$ Por lo tanto, $a+b=2$ y $2a-b=3.$ Al resolver se obtiene $a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3},$ de modo que $a-b=\frac{4}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Clearing denominators gives $\begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3. \end{aligned}$ Therefore $a+b=2$ and $2a-b=3.$ Solving gives $a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3},$ so $a-b=\frac{4}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

11.

Si el perímetro del rectángulo $ABCD$ es $20$ pulgadas, el menor valor de la diagonal $AC,$ en pulgadas, es:

If the perimeter of rectangle $ABCD$ is $20$ inches, the least value of diagonal $AC,$ in inches, is:

$0$

$\sqrt{50}$

$10$

$\sqrt{200}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:rectángulo Teorema de Pitágoras optimización

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Si los lados adyacentes son $x$ y $10-x,$ eleva la diagonal al cuadrado

If adjacent sides are $x$ and $10-x,$ square the diagonal

Pista grande:

Completa el cuadrado en $x^2+(10-x)^2$

Complete the square in $x^2+(10-x)^2$

Solución:

Sean los lados adyacentes $x$ y $10-x.$ Entonces $\begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50. \end{aligned}$ Esto se minimiza cuando $x=5,$ y da $AC=\sqrt{50}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let adjacent sides be $x$ and $10-x.$ Then $\begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50. \end{aligned}$ This is minimized at $x=5,$ giving $AC=\sqrt{50}.$

Therefore, the correct answer is B.

12.

Si el área (convexa) limitada por el eje $x$ y las rectas $y=mx+4,$ $x=1,$ y $x=4$ es $7,$ entonces $m$ es igual a:

If the (convex) area bounded by the $x$ -axis and the lines $y=mx+4,$ $x=1,$ and $x=4$ is $7,$ then $m$ equals:

$-\dfrac12$

$-\dfrac23$

$-\dfrac32$

$-2$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica trapecio ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Los lados verticales paralelos miden $m+4$ y $4m+4$

The parallel vertical sides have lengths $m+4$ and $4m+4$

Pista grande:

Su separación es $3$ , así que usa la fórmula del área de un trapecio

Their separation is $3$ , so use the trapezoid-area formula

Solución:

La región limitada es un trapecio con lados paralelos $m+4$ y $4m+4,$ separados por $3.$ Así, $\frac32\bigl((m+4)+(4m+4)\bigr)=7.$ Por lo tanto, $15m+24=14,$ de modo que $m=-\frac{2}{3}.$ Las alturas de los extremos son positivas, como exige la región convexa indicada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The bounded region is a trapezoid with parallel sides $m+4$ and $4m+4,$ separated by $3.$ Thus $\frac32\bigl((m+4)+(4m+4)\bigr)=7.$ Hence $15m+24=14,$ so $m=-\frac{2}{3}.$ The endpoint heights are positive, as required for the stated convex region.

Therefore, the correct answer is B.

13.

Se quiere construir un triángulo $ABC$ dados el lado $a$ (opuesto al ángulo $A$ ), el ángulo $B,$ y $h_c,$ la altura desde $C.$ Si $N$ es el número de soluciones no congruentes, entonces $N$

A triangle $ABC$ is to be constructed given side $a$ (opposite angle $A$ ), angle $B,$ and $h_c,$ the altitude from $C.$ If $N$ is the number of noncongruent solutions, then $N$

es $1$

is $1$

es $2$

is $2$

debe ser cero

must be zero

debe ser infinito

must be infinite

debe ser cero o infinito

must be zero or infinite

Respuesta: E

Conceptos:altura trigonometría deducción lógica

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Fija $BC=a$ y traza desde $B$ el rayo que forma el ángulo dado

Fix $BC=a$ and draw the ray from $B$ making the given angle

Pista grande:

La distancia de $C$ a ese rayo es fija, sin importar dónde esté $A$ sobre él

The distance from $C$ to that ray is fixed, regardless of where $A$ lies on it

Solución:

Fijamos $BC=a$ y trazamos desde $B$ el rayo que forma el ángulo prescrito $B.$ Su distancia a $C$ es fija. Si esa distancia no es $h_c,$ no hay solución. Si es $h_c,$ entonces $A$ puede elegirse en infinitas posiciones del rayo, lo que produce infinitos triángulos no congruentes. Así, $N$ debe ser cero o infinito.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Fix $BC=a$ and draw the ray from $B$ that makes the prescribed angle $B.$ Its distance from $C$ is fixed. If that distance is not $h_c,$ there is no solution. If it is $h_c,$ then $A$ may be chosen at infinitely many positions on the ray, producing infinitely many noncongruent triangles. Thus $N$ must be zero or infinite.

Therefore, the correct answer is E.

14.

Sea $f(t)=\dfrac{t}{1-t},$ $t\ne1.$ Si $y=f(x),$ entonces $x$ puede expresarse como:

Let $f(t)=\dfrac{t}{1-t},$ $t\ne1.$ If $y=f(x),$ then $x$ can be expressed as:

$f\left(\dfrac1y\right)$

$-f(y)$

$-f(-y)$

$f(-y)$

$f(y)$

Respuesta: C

Conceptos:función ecuación racional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Despeja $x$ de $y=\frac{x}{1-x}$

Solve $y=\frac{x}{1-x}$ for $x$

Pista grande:

Compara $\frac{y}{1+y}$ con $f(-y)$

Compare $\frac{y}{1+y}$ with $f(-y)$

Solución:

De $y=\frac{x}{1-x}$ obtenemos $y-yx=x,$ así que $x=\frac{y}{1+y}.$ Como $f(-y)=-\frac{y}{1+y},$ esto es $-f(-y).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From $y=\frac{x}{1-x}$ we obtain $y-yx=x,$ so $x=\frac{y}{1+y}.$ Since $f(-y)=-\frac{y}{1+y},$ this is $-f(-y).$

Therefore, the correct answer is C.

15.

La diferencia entre las áreas de dos triángulos semejantes es $18$ pies cuadrados, y la razón del área mayor a la menor es el cuadrado de un entero. El área del triángulo menor, en pies cuadrados, es un entero, y uno de sus lados mide $3$ pies. El lado correspondiente del triángulo mayor, en pies, mide:

The difference in the areas of two similar triangles is $18$ square feet, and the ratio of the larger area to the smaller is the square of an integer. The area of the smaller triangle, in square feet, is an integer, and one of its sides is $3$ feet. The corresponding side of the larger triangle, in feet, is:

$12$

$9$

$6\sqrt2$

$6$

$3\sqrt2$

Respuesta: D

Conceptos:semejanza razón de áreas divisibilidad

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Sea $k$ el factor entero de escala de los lados

Let the integer side-scale factor be $k$

Pista grande:

Si el área menor es $T,$ entonces $T(k^2-1)=18$

If the smaller area is $T,$ then $T(k^2-1)=18$

Solución:

Sea el factor de escala de los lados el entero $k\gt1$ y el área menor el entero $T.$ Entonces $T(k^2-1)=18.$ Así, $k^2-1$ es un divisor positivo de $18.$ El único cuadrado $k^2$ resultante es $4,$ por lo que $k=2.$ El lado correspondiente mide $3k=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the side-scale factor be the integer $k\gt1$ and the smaller area be the integer $T.$ Then $T(k^2-1)=18.$ Thus $k^2-1$ is a positive divisor of $18.$ The only resulting square $k^2$ is $4,$ so $k=2.$ The corresponding side is $3k=6.$

Therefore, the correct answer is D.

16.

Sea el producto $(12)(15)(16),$ con cada factor escrito en base $b,$ igual a $3146$ en base $b.$ Sea $s=12+15+16,$ con cada sumando expresado en base $b.$ Entonces $s,$ en base $b,$ es:

Let the product $(12)(15)(16),$ each factor written in base $b,$ equal $3146$ in base $b.$ Let $s=12+15+16,$ each term expressed in base $b.$ Then $s,$ in base $b,$ is:

$43$

$44$

$45$

$46$

$47$

Respuesta: B

Conceptos:base numérica polinomio valor posicional

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Convierte los tres factores y $3146_b$ en polinomios en $b$

Translate the three factors and $3146_b$ into polynomials in $b$

Pista grande:

La cúbica resultante tiene la base válida $b=9$

The resulting cubic has the valid base $b=9$

Solución:

La ecuación del producto es $\begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6. \end{aligned}$ Se simplifica a $\begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0. \end{aligned}$ Así, la base válida es $b=9.$ La suma requerida es $3b+13=4b+4,$ que es $44_b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The product equation is $\begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6. \end{aligned}$ It simplifies to $\begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0. \end{aligned}$ Thus the valid base is $b=9.$ The required sum is $3b+13=4b+4,$ which is $44_b.$

Therefore, the correct answer is B.

17.

Si $r_1$ y $r_2$ son las raíces reales distintas de $x^2+px+8=0,$ entonces necesariamente:

If $r_1$ and $r_2$ are the distinct real roots of $x^2+px+8=0,$ then it must follow that:

$\lvert r_1+r_2\rvert\gt4\sqrt2$

$\lvert r_1\rvert\gt3$ o $\lvert r_2\rvert\gt3$

$\lvert r_1\rvert\gt3$ or $\lvert r_2\rvert\gt3$

$\lvert r_1\rvert\gt2$ y $\lvert r_2\rvert\gt2$

$\lvert r_1\rvert\gt2$ and $\lvert r_2\rvert\gt2$

$r_1\lt0$ y $r_2\lt0$

$r_1\lt0$ and $r_2\lt0$

$\lvert r_1+r_2\rvert\lt4\sqrt2$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta desigualdad

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Dos raíces reales distintas exigen que el discriminante sea positivo

Distinct real roots require the discriminant to be positive

Pista grande:

Usa $r_1+r_2=-p$

Use $r_1+r_2=-p$

Solución:

La condición del discriminante es $p^2-32\gt0,$ por lo que $\lvert p\rvert\gt4\sqrt2.$ Por las fórmulas de Vieta, $r_1+r_2=-p,$ y por tanto $\lvert r_1+r_2\rvert=\lvert p\rvert\gt4\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The discriminant condition is $p^2-32\gt0,$ so $\lvert p\rvert\gt4\sqrt2.$ By Vieta’s formulas, $r_1+r_2=-p,$ and therefore $\lvert r_1+r_2\rvert=\lvert p\rvert\gt4\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is A.

18.

Si $x^2-5x+6\lt0$ y $P=x^2+5x+6,$ entonces

If $x^2-5x+6\lt0$ and $P=x^2+5x+6,$ then

$P$ puede tomar cualquier valor real

$P$ can take any real value

$20\lt P\lt30$

$0\lt P\lt20$

$P\lt0$

$P\gt30$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática desigualdad rango

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Factoriza $x^2-5x+6$ para ubicar $x$

Factor $x^2-5x+6$ to locate $x$

Pista grande:

Revisa cómo varía $x^2+5x+6$ en ese intervalo

Check how $x^2+5x+6$ varies on that interval

Solución:

La desigualdad $(x-2)(x-3)\lt0$ da $2\lt x\lt3.$ En este intervalo, $P=x^2+5x+6$ es creciente, con valores extremos $P(2)=20$ y $P(3)=30.$ Los extremos están excluidos, por lo que $20\lt P\lt30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The inequality $(x-2)(x-3)\lt0$ gives $2\lt x\lt3.$ On this interval $P=x^2+5x+6$ is increasing, with endpoint values $P(2)=20$ and $P(3)=30.$ The endpoints are excluded, so $20\lt P\lt30.$

Therefore, the correct answer is B.

19.

El área de un rectángulo no cambia cuando se alarga $2\dfrac12$ pulgadas y se estrecha $\dfrac23$ de pulgada, ni cuando se acorta $2\dfrac12$ pulgadas y se ensancha $\dfrac43$ de pulgada. Su área, en pulgadas cuadradas, es:

The area of a rectangle remains unchanged when it is made $2\dfrac12$ inches longer and $\dfrac23$ inch narrower, or when it is made $2\dfrac12$ inches shorter and $\dfrac43$ inch wider. Its area, in square inches, is:

$30$

$\dfrac{80}{3}$

$24$

$\dfrac{45}{2}$

$20$

Respuesta: E

Conceptos:rectángulo sistema de ecuaciones área

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Sean $l$ y $w$ el largo y el ancho originales

Let the original length and width be $l$ and $w$

Pista grande:

Desarrolla ambas ecuaciones de áreas iguales; los términos $lw$ se cancelan

Expand both equal-area equations; the $lw$ terms cancel

Solución:

Las dos condiciones son $\begin{aligned} lw&=\left(l+\frac52\right)\left(w-\frac23\right),\\ lw&=\left(l-\frac52\right)\left(w+\frac43\right). \end{aligned}$ Al desarrollar, dan $-4l+15w=10$ y $8l-15w=20.$ Por tanto, $l=\frac{15}{2},$ $w=\frac{8}{3},$ y $lw=20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two conditions are $\begin{aligned} lw&=\left(l+\frac52\right)\left(w-\frac23\right),\\ lw&=\left(l-\frac52\right)\left(w+\frac43\right). \end{aligned}$ After expanding, these give $-4l+15w=10$ and $8l-15w=20.$ Hence $l=\frac{15}{2},$ $w=\frac{8}{3},$ and $lw=20.$

Therefore, the correct answer is E.

20.

Se inscribe un círculo en un cuadrado de lado $m,$ luego un cuadrado en ese círculo, después un círculo en este último cuadrado, y así sucesivamente. Si $S_n$ es la suma de las áreas de los primeros $n$ círculos así inscritos, entonces, cuando $n$ crece sin límite, $S_n$ se aproxima a:

A circle is inscribed in a square of side $m,$ then a square is inscribed in that circle, then a circle is inscribed in the latter square, and so on. If $S_n$ is the sum of the areas of the first $n$ circles so inscribed, then, as $n$ grows beyond all bounds, $S_n$ approaches:

$\dfrac{\pi m^2}{2}$

$\dfrac{3\pi m^2}{8}$

$\dfrac{\pi m^2}{3}$

$\dfrac{\pi m^2}{4}$

$\dfrac{\pi m^2}{8}$

Respuesta: A

Conceptos:área del círculo sucesión geométrica sumatoria

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

El primer círculo tiene área $\frac{\pi m^2}{4}$

The first circle has area $\frac{\pi m^2}{4}$

Pista grande:

Cada círculo sucesivo tiene la mitad del área del círculo anterior

Each successive circle has half the preceding circle’s area

Solución:

El primer círculo tiene área $\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}.$ Cada cuadrado inscrito reduce el cuadrado del radio del círculo siguiente, y por tanto su área, por un factor de $\frac{1}{2}.$ Así, la suma límite es $\begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first circle has area $\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}.$ Each inscribed square reduces the next circle’s squared radius, and hence its area, by a factor of $\frac{1}{2}.$ Thus the limiting sum is $\begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

21.

En el triángulo rectángulo $ABC$ , la hipotenusa $AB=5$ y el cateto $AC=3.$ La bisectriz del ángulo $A$ corta al lado opuesto en $A_1.$ Se construye entonces un segundo triángulo rectángulo $PQR$ , con hipotenusa $PQ=A_1B$ y cateto $PR=A_1C.$ Si la bisectriz del ángulo $P$ corta al lado opuesto en $P_1,$ la longitud de $PP_1$ es:

In right triangle $ABC$ the hypotenuse $AB=5$ and leg $AC=3.$ The bisector of angle $A$ meets the opposite side in $A_1.$ A second right triangle $PQR$ is then constructed with hypotenuse $PQ=A_1B$ and leg $PR=A_1C.$ If the bisector of angle $P$ meets the opposite side in $P_1,$ the length of $PP_1$ is:

$\dfrac{3\sqrt6}{4}$

$\dfrac{3\sqrt5}{4}$

$\dfrac{3\sqrt3}{4}$

$\dfrac{3\sqrt2}{2}$

$\dfrac{15\sqrt2}{16}$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo teorema de la bisectriz semejanza

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Usa el teorema de la bisectriz en el triángulo $3$ - $4$ - $5$

Use the angle-bisector theorem in the $3$ - $4$ - $5$ triangle

Pista grande:

El segundo triángulo es una copia del primero a media escala

The second triangle is a half-scale copy of the first

Solución:

Como $BC=4,$ el teorema de la bisectriz da $A_1B:A_1C=5:3.$ Así, $A_1B=\frac{5}{2}$ y $A_1C=\frac{3}{2},$ por lo que el triángulo $PQR$ es una copia a media escala de $ABC.$

Para la bisectriz desde $A$ en el triángulo original, $\begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4}, \end{aligned}$ por lo que $AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}.$ Así, $PP_1$ es la mitad, es decir, $\frac{3\sqrt5}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $BC=4,$ the angle-bisector theorem gives $A_1B:A_1C=5:3.$ Hence $A_1B=\frac{5}{2}$ and $A_1C=\frac{3}{2},$ so triangle $PQR$ is a half-scale copy of $ABC.$

For the angle bisector from $A$ in the original triangle, $\begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4}, \end{aligned}$ so $AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}.$ Therefore $PP_1$ is half of this, or $\frac{3\sqrt5}{4}.$

Thus, the correct answer is B.

22.

Para números naturales, cuando $P$ se divide entre $D,$ el cociente es $Q$ y el residuo es $R.$ Cuando $Q$ se divide entre $D',$ el cociente es $Q'$ y el residuo es $R'.$ Entonces, cuando $P$ se divide entre $DD',$ el residuo es:

For natural numbers, when $P$ is divided by $D,$ the quotient is $Q$ and the remainder is $R.$ When $Q$ is divided by $D',$ the quotient is $Q'$ and the remainder is $R'.$ Then, when $P$ is divided by $DD',$ the remainder is:

$R+R'D$

$R'+RD$

$RR'$

$R$

$R'$

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad aritmética modular sustitución

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Escribe $P=QD+R$ y $Q=Q'D'+R'$

Write $P=QD+R$ and $Q=Q'D'+R'$

Pista grande:

Sustituye la segunda ecuación en la primera y aísla el múltiplo de $DD'$

Substitute the second equation into the first and isolate the multiple of $DD'$

Solución:

La sustitución da $\begin{aligned} P&=(Q'D'+R')D+R\\ &=Q'(DD')+(R'D+R). \end{aligned}$ Las cotas de los residuos implican $R'D+R\lt DD',$ por lo que este es efectivamente el residuo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Substitution gives $\begin{aligned} P&=(Q'D'+R')D+R\\ &=Q'(DD')+(R'D+R). \end{aligned}$ The remainder bounds imply $R'D+R\lt DD',$ so this is indeed the remainder.

Therefore, the correct answer is A.

23.

Si $x$ es real y positivo y crece sin límite, entonces $\log_3(6x-5)-\log_3(2x+1)$ se aproxima a:

If $x$ is real and positive and grows beyond all bounds, then $\log_3(6x-5)-\log_3(2x+1)$ approaches:

$0$

$1$

$3$

$4$

ningún número finito

no finite number

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Combina los logaritmos en uno solo

Combine the logarithms into one logarithm

Pista grande:

Halla el límite de $\frac{6x-5}{2x+1}$

Find the limit of $\frac{6x-5}{2x+1}$

Solución:

La diferencia es $\log_3\left(\frac{6x-5}{2x+1}\right).$ La fracción se aproxima a $3,$ por lo que la expresión se aproxima a $\log_3 3=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The difference is $\log_3\left(\frac{6x-5}{2x+1}\right).$ The fraction approaches $3,$ so the expression approaches $\log_3 3=1.$

Therefore, the correct answer is B.

24.

El número de pares solución en enteros positivos de la ecuación $3x+5y=501$ es:

The number of solution-pairs in positive integers of the equation $3x+5y=501$ is:

$33$

$34$

$35$

$100$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Reduce la ecuación módulo $5$ para hallar la forma de $x$

Reduce the equation modulo $5$ to find the form of $x$

Pista grande:

Cuenta los valores positivos $x=2+5k$ que dejan $y\gt0$

Count the positive values $x=2+5k$ that leave $y\gt0$

Solución:

Módulo $5,$ la ecuación da $3x\equiv1,$ por lo que $x\equiv2\pmod5.$ Escribimos $x=2+5k.$ Entonces $y=\frac{501-3x}{5}=99-3k.$ La positividad exige $k=0,1,\ldots,32,$ lo que da $33$ pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Modulo $5,$ the equation gives $3x\equiv1,$ so $x\equiv2\pmod5.$ Write $x=2+5k.$ Then $y=\frac{501-3x}{5}=99-3k.$ Positivity requires $k=0,1,\ldots,32,$ giving $33$ pairs.

Therefore, the correct answer is A.

25.

Para todo número impar $p\gt1$ se cumple:

For every odd number $p\gt1$ we have:

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ es divisible entre $p-2$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ is divisible by $p-2$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ es divisible entre $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ is divisible by $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}$ es divisible entre $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}$ is divisible by $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ es divisible entre $p+1$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ is divisible by $p+1$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ es divisible entre $p-1$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ is divisible by $p-1$

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad aritmética modular exponente

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Trabaja módulo $p-2$ para la opción (A)

Work modulo $p-2$ for choice (A)

Pista grande:

Como $p-1\equiv1\pmod{p-2},$ toda potencia positiva tiene el mismo residuo

Since $p-1\equiv1\pmod{p-2},$ every positive power has the same residue

Solución:

Como $p\gt1$ es impar, $n=\frac{p-1}{2}$ es un entero positivo. Módulo $p-2,$ tenemos $p-1\equiv1.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2}. \end{aligned}$ Así, la opción (A) siempre se cumple.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $p\gt1$ is odd, $n=\frac{p-1}{2}$ is a positive integer. Modulo $p-2,$ we have $p-1\equiv1.$ Therefore $\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2}. \end{aligned}$ Thus choice (A) always holds.

Therefore, the correct answer is A.

26.

Si se usa solo la información tabulada $10^3=1000,$ $10^4=10{,}000,$ $2^{10}=1024,$ $2^{11}=2048,$ $2^{12}=4096,$ $2^{13}=8192,$ entonces la afirmación más precisa que puede hacerse sobre $\log_{10}2$ es que está entre:

If one uses only the tabular information $10^3=1000,$ $10^4=10{,}000,$ $2^{10}=1024,$ $2^{11}=2048,$ $2^{12}=4096,$ $2^{13}=8192,$ then the strongest statement one can make for $\log_{10}2$ is that it lies between:

$\dfrac3{10}$ y $\dfrac4{11}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{11}$

$\dfrac3{10}$ y $\dfrac4{12}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{12}$

$\dfrac3{10}$ y $\dfrac4{13}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{13}$

$\dfrac3{10}$ y $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{11}$ y $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{11}$ and $\dfrac{40}{132}$

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Compara $10^3$ con $2^{10}$ para obtener una cota inferior

Compare $10^3$ with $2^{10}$ for a lower bound

Pista grande:

Compara $2^{13}$ con $10^4$ para obtener una cota superior

Compare $2^{13}$ with $10^4$ for an upper bound

Solución:

De $10^3\lt2^{10}$ obtenemos $3\lt10\log_{10}2,$ por lo que $\log_{10}2\gt\frac{3}{10}.$ De $2^{13}\lt10^4$ obtenemos $13\log_{10}2\lt4,$ por lo que $\log_{10}2\lt\frac{4}{13}.$ Este es el intervalo más estrecho de la lista que justifica la tabla.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From $10^3\lt2^{10}$ we get $3\lt10\log_{10}2,$ so $\log_{10}2\gt\frac{3}{10}.$ From $2^{13}\lt10^4$ we get $13\log_{10}2\lt4,$ so $\log_{10}2\lt\frac{4}{13}.$ This is the narrowest listed interval justified by the table.

Therefore, the correct answer is C.

27.

Dos velas de la misma longitud están hechas de materiales distintos, de modo que una se consume por completo a ritmo uniforme en $3$ horas y la otra en $4$ horas. ¿A qué hora de la tarde deben encenderse para que, a las $4$ P.M., el resto de una tenga el doble de longitud que el de la otra?

Two candles of the same length are made of different materials so that one burns out completely at a uniform rate in $3$ hours and the other in $4$ hours. At what time P.M. should the candles be lighted so that, at $4$ P.M., one stub is twice the length of the other?

$1{:}24$

$1{:}28$

$1{:}36$

$1{:}40$

$1{:}48$

Respuesta: C

Conceptos:tasa ecuación lineal fecha y hora

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Sea $t$ el número de horas que arden las velas antes de las $4$ P.M.

Let $t$ be the number of hours the candles burn before $4$ P.M.

Pista grande:

Las fracciones restantes son $1-\frac{t}{3}$ y $1-\frac{t}{4}$

Their remaining fractions are $1-\frac{t}{3}$ and $1-\frac{t}{4}$

Solución:

Después de $t$ horas, las velas más rápida y más lenta conservan las fracciones $1-\frac{t}{3}$ y $1-\frac{t}{4}$ . El resto de la más lenta debe ser el doble del de la más rápida: $1-\frac t4=2\left(1-\frac t3\right).$ Así, $t=\frac{12}{5}=2$ horas $24$ minutos. Al contar hacia atrás desde las $4$ P.M. se obtiene $1{:}36$ P.M.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

After $t$ hours, the faster and slower candles have fractions $1-\frac{t}{3}$ and $1-\frac{t}{4}$ remaining. The slower stub must be twice the faster: $1-\frac t4=2\left(1-\frac t3\right).$ Thus $t=\frac{12}{5}=2$ hours $24$ minutes. Counting back from $4$ P.M. gives $1{:}36$ P.M.

Therefore, the correct answer is C.

28.

Dadas las dos hipótesis: I Algunos Mems no son Ens y II Ningún En es Vee. Si «algunos» significa «al menos uno», podemos concluir que:

Given the two hypotheses: I Some Mems are not Ens and II No Ens are Vees. If “some” means “at least one,” we can conclude that:

Algunos Mems no son Vees

Some Mems are not Vees

Algunos Vees no son Mems

Some Vees are not Mems

Ningún Mem es Vee

No Mem is a Vee

Algunos Mems son Vees

Some Mems are Vees

Ninguna de $(A)$ , $(B)$ , $(C)$ ni $(D)$ se deduce de las afirmaciones dadas

Neither $(A)$ nor $(B)$ nor $(C)$ nor $(D)$ is deducible from the given statements

Respuesta: E

Conceptos:deducción lógica Diagrama de Venn contraejemplo

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Traduce las tres clases de objetos a conjuntos $M,N,V$

Translate the three kinds of objects into sets $M,N,V$

Pista grande:

Prueba tanto $M=V$ como $M\cap V=\varnothing$ manteniendo verdaderas las dos hipótesis

Test both $M=V$ and $M\cap V=\varnothing$ while keeping the two hypotheses true

Solución:

Las hipótesis solo dicen que algún elemento de $M$ está fuera de $N,$ y que $N\cap V=\varnothing.$ Un modelo con $M=V$ hace falsas (A), (B) y (C) mientras satisface las hipótesis. Un modelo con $M\cap V=\varnothing$ hace falsa (D). Por tanto, ninguna de las opciones (A) a (D) es forzosa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The hypotheses say only that some element of $M$ lies outside $N,$ and that $N\cap V=\varnothing.$ A model with $M=V$ makes (A), (B), and (C) false while satisfying the hypotheses. A model with $M\cap V=\varnothing$ makes (D) false. Hence none of choices (A) through (D) is forced.

Therefore, the correct answer is E.

29.

$AB$ es un diámetro de un círculo. Se trazan las tangentes $AD$ y $BC$ de modo que $AC$ y $BD$ se corten en un punto del círculo. Si $AD=a$ y $BC=b,$ $a\ne b,$ el diámetro del círculo es:

$AB$ is a diameter of a circle. Tangents $AD$ and $BC$ are drawn so that $AC$ and $BD$ intersect in a point on the circle. If $AD=a$ and $BC=b,$ $a\ne b,$ the diameter of the circle is:

$\lvert a-b\rvert$

$\dfrac12(a+b)$

$\sqrt{ab}$

$\dfrac{ab}{a+b}$

$\dfrac12\cdot\dfrac{ab}{a+b}$

Respuesta: C

Conceptos:círculo recta tangente semejanza ángulo inscrito

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Sea $P$ el punto de intersección sobre el círculo; entonces $\angle APB=90^\circ$

Let the intersection point on the circle be $P$ ; then $\angle APB=90^\circ$

Pista grande:

Usa las tangentes paralelas para comparar los triángulos rectángulos $ADB$ y $BCA$

Use the parallel tangents to compare right triangles $ADB$ and $BCA$

Solución:

Sea $d=AB$ el diámetro. Como la intersección de $AC$ y $BD$ está sobre el círculo, esas dos rectas son perpendiculares por el teorema de Tales. Además, las tangentes $AD$ y $BC$ son paralelas. Los triángulos rectángulos resultantes $ADB$ y $BCA$ son semejantes, por lo que $\frac da=\frac bd.$ De aquí, $d^2=ab$ y $d=\sqrt{ab}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $d=AB$ be the diameter. Since the intersection of $AC$ and $BD$ lies on the circle, those two lines are perpendicular by Thales’ theorem. Also the tangents $AD$ and $BC$ are parallel. The resulting right triangles $ADB$ and $BCA$ are similar, so $\frac da=\frac bd.$ Hence $d^2=ab$ and $d=\sqrt{ab}.$

Therefore, the correct answer is C.

30.

Un comerciante compró $n$ radios por $d$ dólares, siendo $d$ un entero positivo. Cedió dos radios a un bazar comunitario por la mitad de su costo. Vendió los demás con una ganancia de $\$8$ por cada radio. Si la ganancia total fue de $\$72,$ entonces el menor valor posible de $n$ según la información dada es:

A dealer bought $n$ radios for $d$ dollars, $d,$ a positive integer. He contributed two radios to a community bazaar at half their cost. The rest he sold at a profit of $\$8$ on each radio sold. If the overall profit was $\$72,$ then the least possible value of $n$ for the given information is:

$18$

$16$

$15$

$12$

$11$

Respuesta: D

Conceptos:dinero ecuación lineal divisibilidad

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Cada radio cuesta $\frac{d}{n}$ dólares

Each radio costs $\frac{d}{n}$ dollars

Pista grande:

Escribe el ingreso total de $n-2$ ventas con ganancia y dos ventas a mitad de costo

Write the total intake from $n-2$ profitable sales and two half-cost sales

Solución:

Las $n-2$ ventas regulares producen $(n-2)(\frac{d}{n}+8),$ mientras que los dos radios del bazar producen juntos $\frac{d}{n}$ . Como el ingreso total es $d+72,$ $\begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72. \end{aligned}$ Esto se reduce a $d=8n(n-11).$ La positividad exige $n\gt11,$ y $n=12$ da el entero positivo $d=96.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The $n-2$ regular sales bring $(n-2)(\frac{d}{n}+8),$ while the two bazaar radios bring $\frac{d}{n}$ together. Since the total intake is $d+72,$ $\begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72. \end{aligned}$ This reduces to $d=8n(n-11).$ Positivity requires $n\gt11,$ and $n=12$ gives the positive integer $d=96.$

Therefore, the correct answer is D.

31.

Sea $D=a^2+b^2+c^2,$ donde $a,$ $b$ son enteros consecutivos y $c=ab.$ Entonces $\sqrt D$ es:

Let $D=a^2+b^2+c^2,$ where $a,$ $b$ are consecutive integers and $c=ab.$ Then $\sqrt D$ is:

siempre un entero par

always an even integer

a veces un entero impar y a veces no

sometimes an odd integer, sometimes not

siempre un entero impar

always an odd integer

a veces racional y a veces no

sometimes rational, sometimes not

siempre irracional

always irrational

Respuesta: C

Conceptos:manipulación algebraica paridad cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Toma $b=a+1$ y desarrolla $D$

Set $b=a+1$ and expand $D$

Pista grande:

Intenta reconocer $D$ como el cuadrado de $a^2+a+1$

Try to recognize $D$ as the square of $a^2+a+1$

Solución:

Con $b=a+1$ y $c=a(a+1),$ $\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2. \end{aligned}$ Así, $\sqrt D=a^2+a+1.$ Como $a(a+1)$ es par, este entero siempre es impar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

With $b=a+1$ and $c=a(a+1),$ $\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2. \end{aligned}$ Thus $\sqrt D=a^2+a+1.$ Since $a(a+1)$ is even, this integer is always odd.

Therefore, the correct answer is C.

32.

En el cuadrilátero $ABCD$ , cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $O,$ se tiene $BO=4,$ $OD=6,$ $AO=8,$ $OC=3,$ y $AB=6.$ La longitud de $AD$ es:

In quadrilateral $ABCD$ with diagonals $AC$ and $BD$ intersecting at $O,$ $BO=4,$ $OD=6,$ $AO=8,$ $OC=3,$ and $AB=6.$ The length of $AD$ is:

$9$

$10$

$6\sqrt3$

$8\sqrt2$

$\sqrt{166}$

Respuesta: E

Conceptos:ley de los cosenos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Usa el triángulo $AOB$ para hallar $\cos\angle AOB$

Use triangle $AOB$ to find $\cos\angle AOB$

Pista grande:

Los ángulos $AOB$ y $AOD$ son suplementarios

Angles $AOB$ and $AOD$ are supplementary

Solución:

En el triángulo $AOB,$ $\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}.$ Al aplicar la ley de los cosenos en el triángulo $AOD$ , se obtiene $\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned}$ Así que $AD=\sqrt{166}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In triangle $AOB,$ $\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned}$ Therefore $\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}.$ Applying the law of cosines in triangle $AOD$ gives $\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned}$ Hence $AD=\sqrt{166}.$

Therefore, the correct answer is E.

33.

En este diagrama se construyen semicírculos sobre los diámetros $AB,$ $AC,$ y $CB,$ de modo que sean mutuamente tangentes. Si $CD\perp AB,$ entonces la razón entre el área sombreada y el área de un círculo de radio $CD$ es:

In this diagram semi-circles are constructed on diameters $AB,$ $AC,$ and $CB,$ so that they are mutually tangent. If $CD\perp AB,$ then the ratio of the shaded area to the area of a circle with $CD$ as radius is:

$1:2$

$1:3$

$\sqrt3:7$

$1:4$

$\sqrt2:6$

Respuesta: D

Conceptos:área del círculo triángulo rectángulo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Resta del área del semicírculo grande las áreas de los dos pequeños

Subtract the two small semicircle areas from the large one

Pista grande:

En el triángulo rectángulo $ADB,$ el teorema de la altura da $CD^2=AC\cdot CB$

In right triangle $ADB,$ the altitude theorem gives $CD^2=AC\cdot CB$

Solución:

Sean $AC=u$ y $CB=v.$ El área sombreada es la del semicírculo grande menos las de los dos pequeños: $\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}.$ Como $D$ está en el semicírculo de diámetro $AB,$ el triángulo $ADB$ es rectángulo y su altura satisface $CD^2=uv.$ Por lo tanto, un círculo de radio $CD$ tiene área $\pi uv.$ La razón pedida es $1:4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $AC=u$ and $CB=v.$ The shaded area is the large semicircle minus the two smaller ones: $\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}.$ Since $D$ lies on the semicircle with diameter $AB,$ triangle $ADB$ is right, and its altitude satisfies $CD^2=uv.$ A circle of radius $CD$ therefore has area $\pi uv.$ The required ratio is $1:4.$

Therefore, the correct answer is D.

34.

En los lados $AB,$ $BC,$ y $CA$ del triángulo $ABC$ se toman respectivamente los puntos $D,$ $E,$ y $F$ , de modo que $AD:DB=1:n,$ $BE:CE=1:n,$ y $CF:FA=1:n.$ La razón entre el área del triángulo $DEF$ y la del triángulo $ABC$ es:

Points $D,$ $E,$ $F$ are taken respectively on sides $AB,$ $BC,$ and $CA$ of triangle $ABC$ so that $AD:DB=1:n,$ $BE:CE=1:n,$ and $CF:FA=1:n.$ The ratio of the area of triangle $DEF$ to that of triangle $ABC$ is:

$\dfrac{n^2-n+1}{(n+1)^2}$

$\dfrac1{(n+1)^2}$

$\dfrac{2n^3}{(n+1)^2}$

$\dfrac{n^3}{(n+1)^2}$

$\dfrac{n(n-1)}{n+1}$

Respuesta: A

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas razón y proporción

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Resta del triángulo $ABC$ los tres triángulos de las esquinas

Subtract the three corner triangles from triangle $ABC$

Pista grande:

Cada triángulo de una esquina tiene razón de áreas $\frac{n}{(n+1)^2}$

Each corner triangle has area ratio $\frac{n}{(n+1)^2}$

Solución:

En cada vértice, las fracciones de los dos lados adyacentes que usa el triángulo de la esquina son $\frac{1}{n+1}$ y $\frac{n}{n+1}.$ Así, el área de cada uno de esos triángulos es $\frac{n}{(n+1)^2}$ veces $[ABC].$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

At each vertex, the two adjacent side fractions used by the corner triangle are $\frac{1}{n+1}$ and $\frac{n}{n+1}.$ Thus each corner triangle has area $\frac{n}{(n+1)^2}$ times $[ABC].$ Therefore $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

35.

Las raíces de $64x^3-144x^2+92x-15=0$ están en progresión aritmética. La diferencia entre la mayor y la menor es:

The roots of $64x^3-144x^2+92x-15=0$ are in arithmetic progression. The difference between the largest and smallest roots is:

$2$

$1$

$\dfrac12$

$\dfrac38$

$\dfrac14$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio sucesión aritmética Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Escribe las raíces como $t-d,$ $t,$ y $t+d$

Write the roots as $t-d,$ $t,$ and $t+d$

Pista grande:

Usa su suma para hallar $t,$ y luego su producto para hallar $d^2$

Use their sum to find $t,$ then use their product to find $d^2$

Solución:

Sean las raíces $t-d,$ $t,$ y $t+d.$ Su suma es $3t=\frac{144}{64}=\frac{9}{4},$ por lo que $t=\frac{3}{4}.$ Su producto es $t(t^2-d^2)=\frac{15}{64}.$ Al sustituir $t=\frac{3}{4}$ , se obtiene $d^2=\frac{1}{4},$ así que la diferencia entre las raíces extremas es $2\lvert d\rvert=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the roots be $t-d,$ $t,$ and $t+d.$ Their sum is $3t=\frac{144}{64}=\frac{9}{4},$ so $t=\frac{3}{4}.$ Their product is $t(t^2-d^2)=\frac{15}{64}.$ Substituting $t=\frac{3}{4}$ gives $d^2=\frac{1}{4},$ so the difference between the extreme roots is $2\lvert d\rvert=1.$

Therefore, the correct answer is B.

36.

Se da una progresión geométrica de cinco términos, cada uno un entero positivo menor que $100.$ La suma de los cinco es $211.$ Si $S$ es la suma de los términos de la progresión que son cuadrados de enteros, entonces $S$ es:

Given a geometric progression of five terms, each a positive integer less than $100.$ The sum of the five terms is $211.$ If $S$ is the sum of those terms in the progression which are squares of integers, then $S$ is:

$0$

$91$

$133$

$195$

$211$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica divisibilidad cuadrado perfecto análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Escribe la razón común racional en su forma irreducible $\frac{c}{d}$

Write the rational common ratio in lowest terms as $\frac{c}{d}$

Pista grande:

La integridad obliga a que el término medio sea múltiplo de $c^2d^2$ ; usa que $211$ es primo

Integrality forces the middle term to be a multiple of $c^2d^2$ ; use that $211$ is prime

Solución:

Sea $\frac{c}{d}$ la razón común en su forma irreducible y sea $a$ el término medio. Como los cinco términos son enteros, $a$ es divisible por $c^2d^2,$ así que escribimos $a=kc^2d^2.$ Entonces la suma $211$ es divisible por $k.$ Por ello, $k$ es $1$ o $211.$ Pero el término medio $a$ es menor que $100,$ así que $k=1.$

Por lo tanto, $\begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211. \end{aligned}$ La cota da $c,d\lt4.$ Si alguno es $1,$ las sumas posibles son $5,$ $31,$ o $121,$ no $211.$ La coprimalidad deja entonces que $c$ y $d$ sean $2$ y $3$ , en cualquier orden. La progresión es $16,$ $24,$ $36,$ $54,$ $81.$ Sus términos cuadrados suman $16+36+81=133.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the common ratio be $\frac{c}{d}$ in lowest terms and the middle term be $a.$ Since all five terms are integers, $a$ is divisible by $c^2d^2,$ so write $a=kc^2d^2.$ The sum $211$ is then divisible by $k.$ Thus $k$ is $1$ or $211.$ But the middle term $a$ is less than $100,$ so $k=1.$

Thus $\begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211. \end{aligned}$ The bound gives $c,d\lt4.$ If either is $1,$ the possible sums are $5,$ $31,$ or $121,$ not $211.$ Coprimality therefore leaves $c$ and $d$ equal to $2$ and $3$ in either order. The progression is $16,$ $24,$ $36,$ $54,$ $81.$ Its square terms sum to $16+36+81=133.$

Therefore, the correct answer is C.

37.

Desde los vértices del triángulo $ABC$ se trazan los segmentos $AD=10,$ $BE=6,$ $CF=24$ , cada uno perpendicular a una recta $RS$ que no corta al triángulo. Los puntos $D,$ $E,$ $F$ son las intersecciones de $RS$ con esas perpendiculares. Si $x$ es la longitud del segmento perpendicular $GH$ , trazado hasta $RS$ desde el punto $G$ de intersección de las medianas del triángulo, entonces $x$ es:

Segments $AD=10,$ $BE=6,$ $CF=24$ are drawn from the vertices of triangle $ABC,$ each perpendicular to a straight line $RS,$ not intersecting the triangle. Points $D,$ $E,$ $F$ are the intersection points of $RS$ with the perpendiculars. If $x$ is the length of the perpendicular segment $GH$ drawn to $RS$ from the intersection point $G$ of the medians of the triangle, then $x$ is:

$\dfrac{40}{3}$

$16$

$\dfrac{56}{3}$

$\dfrac{80}{3}$

indeterminado

undetermined

Respuesta: A

Conceptos:baricentro vector media

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

La distancia con signo de un punto a una recta fija es una función afín

Signed distance from a point to a fixed line is an affine function

Pista grande:

El centroide es el promedio de los tres vértices

The centroid is the average of the three vertices

Solución:

Como $RS$ no corta al triángulo, las tres distancias perpendiculares tienen el mismo signo. La distancia con signo a una recta fija es afín, y el centroide es el promedio de los vértices. Por lo tanto, su distancia es el promedio $x=\frac{10+6+24}{3}=\frac{40}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $RS$ does not intersect the triangle, the three perpendicular distances have the same sign. Signed distance to a fixed line is affine, and the centroid is the average of the vertices. Therefore its distance is the average $x=\frac{10+6+24}{3}=\frac{40}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

38.

Se da un conjunto $S$ formado por dos tipos de elementos no definidos, “pib” y “maa”, y los cuatro postulados:

$\mathrm{P}_1:$ Todo pib es una colección de maas.

$\mathrm{P}_2:$ Dos pibs distintos cualesquiera tienen uno y solo un maa en común.

$\mathrm{P}_3:$ Todo maa pertenece a dos y solo dos pibs.

$\mathrm{P}_4:$ Hay exactamente cuatro pibs.

Considera los tres teoremas:

$\mathrm{T}_1:$ Hay exactamente seis maas.

$\mathrm{T}_2:$ Hay exactamente tres maas en cada pib.

$\mathrm{T}_3:$ Para cada maa hay exactamente otro maa que no comparte ningún pib con él.

Los teoremas que se deducen de los postulados son:

Given a set $S$ consisting of two undefined elements “pib” and “maa,” and the four postulates:

$\mathrm{P}_1:$ Every pib is a collection of maas.

$\mathrm{P}_2:$ Any two distinct pibs have one and only one maa in common.

$\mathrm{P}_3:$ Every maa belongs to two and only two pibs.

$\mathrm{P}_4:$ There are exactly four pibs.

Consider the three theorems:

$\mathrm{T}_1:$ There are exactly six maas.

$\mathrm{T}_2:$ There are exactly three maas in each pib.

$\mathrm{T}_3:$ For each maa there is exactly one other maa not in the same pib with it.

The theorems which are deducible from the postulates are:

solo $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_3$ only

solo $\mathrm{T}_2$ y $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_2$ and $\mathrm{T}_3$ only

solo $\mathrm{T}_1$ y $\mathrm{T}_2$

$\mathrm{T}_1$ and $\mathrm{T}_2$ only

solo $\mathrm{T}_1$ y $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_1$ and $\mathrm{T}_3$ only

todos

all

Respuesta: E

Conceptos:conteo básico teoría de grafos deducción lógica

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Etiqueta los cuatro pibs como $1,$ $2,$ $3,$ y $4$

Label the four pibs $1,$ $2,$ $3,$ and $4$

Pista grande:

Cada maa corresponde a un par no ordenado de pibs

Each maa corresponds to an unordered pair of pibs

Solución:

Etiqueta los cuatro pibs como $1,$ $2,$ $3,$ y $4.$ Por $\mathrm P_2$ y $\mathrm P_3,$ cada maa es precisamente el maa común a un par no ordenado de pibs. Por ello hay $\binom42=6$ maas, lo que demuestra $\mathrm T_1.$

Un pib fijo $i$ contiene los tres maas $ij$ con $j\ne i,$ lo que demuestra $\mathrm T_2.$ Para el maa $ij,$ el único maa que no comparte ninguno de esos pibs es el que pertenece al par complementario de pibs, lo que demuestra $\mathrm T_3.$ Se deducen los tres.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Label the four pibs $1,$ $2,$ $3,$ and $4.$ By $\mathrm P_2$ and $\mathrm P_3,$ every maa is exactly the common maa of one unordered pair of pibs. Thus there are $\binom42=6$ maas, proving $\mathrm T_1.$

A fixed pib $i$ contains the three maas $ij$ with $j\ne i,$ proving $\mathrm T_2.$ For maa $ij,$ the unique maa sharing neither pib is the one belonging to the complementary pair of pibs, proving $\mathrm T_3.$ All three follow.

Therefore, the correct answer is E.

39.

Se dan los conjuntos de enteros consecutivos $\{1\},$ $\{2,3\},$ $\{4,5,6\},$ $\{7,8,9,10\},$ $\ldots,$ donde cada conjunto contiene un elemento más que el anterior y el primer elemento de cada conjunto es uno mayor que el último del conjunto precedente. Sea $S_n$ la suma de los elementos del $n$ -ésimo conjunto. Entonces $S_{21}$ es igual a:

Given the sets of consecutive integers $\{1\},$ $\{2,3\},$ $\{4,5,6\},$ $\{7,8,9,10\},$ $\ldots,$ where each set contains one more element than the preceding one, and where the first element of each succeeding set is one more than the last element of the preceding set. Let $S_n$ be the sum of the elements in the $n$ th set. Then $S_{21}$ equals:

$1113$

$4641$

$5082$

$53361$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética número triangular sumatoria

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

El último número del $n$ -ésimo conjunto es $\frac{n(n+1)}{2}$

The last number in the $n$ th set is $\frac{n(n+1)}{2}$

Pista grande:

Suma los $n$ enteros consecutivos que terminan en ese número

Sum the $n$ consecutive integers ending at that number

Solución:

El $n$ -ésimo conjunto termina en $\frac{n(n+1)}{2}$ y contiene $n$ enteros consecutivos. Su suma es $\begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2. \end{aligned}$ Por lo tanto, $S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The $n$ th set ends at $\frac{n(n+1)}{2}$ and contains $n$ consecutive integers. Its sum is $\begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2. \end{aligned}$ Thus $S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641.$

Therefore, the correct answer is B.

40.

Dentro del triángulo equilátero $ABC$ hay un punto $P$ tal que $PA=8,$ $PB=6,$ y $PC=10.$ Al entero más cercano, el área del triángulo $ABC$ es:

Located inside equilateral triangle $ABC$ is a point $P$ such that $PA=8,$ $PB=6,$ and $PC=10.$ To the nearest integer the area of triangle $ABC$ is:

$159$

$131$

$95$

$79$

$50$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo equilátero transformación Terna pitagórica ley de los cosenos área

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Gira $P$ $60^\circ$ alrededor de $A$ , en el sentido que lleva $C$ a $B$

Rotate $P$ by $60^\circ$ about $A$ so that $C$ maps to $B$

Pista grande:

El triángulo $6$ - $8$ - $10$ resultante determina $\angle APB$

The resulting $6$ - $8$ - $10$ triangle determines $\angle APB$

Solución:

Gira $P$ $60^\circ$ alrededor de $A$ hasta $P'.$ Como esta rotación lleva $C$ a $B,$ se tiene $P'B=PC=10,$ $PP'=PA=8,$ y $PB=6.$ Así, el triángulo $PP'B$ es rectángulo. Además, el triángulo $APP'$ es equilátero, por lo que $\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$

Si el triángulo equilátero tiene lado $s,$ la ley de los cosenos en el triángulo $APB$ da $\begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3. \end{aligned}$ Su área es $\frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3,$ cuyo entero más cercano es $79.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Rotate $P$ by $60^\circ$ about $A$ to $P'.$ Since this rotation sends $C$ to $B,$ we have $P'B=PC=10,$ $PP'=PA=8,$ and $PB=6.$ Thus triangle $PP'B$ is right. Also triangle $APP'$ is equilateral, so $\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$

If the equilateral triangle has side $s,$ the law of cosines in triangle $APB$ gives $\begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3. \end{aligned}$ Its area is $\frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3,$ whose nearest integer is $79.$

Therefore, the correct answer is D.

Problemas del 1967 AMC 12

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Pista grande: