Question

Si se usa solo la información tabulada $10^3=1000,$ $10^4=10{,}000,$ $2^{10}=1024,$ $2^{11}=2048,$ $2^{12}=4096,$ $2^{13}=8192,$ entonces la afirmación más precisa que puede hacerse sobre $\log_{10}2$ es que está entre:

If one uses only the tabular information $10^3=1000,$ $10^4=10{,}000,$ $2^{10}=1024,$ $2^{11}=2048,$ $2^{12}=4096,$ $2^{13}=8192,$ then the strongest statement one can make for $\log_{10}2$ is that it lies between:

$\dfrac3{10}$ y $\dfrac4{11}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{11}$

$\dfrac3{10}$ y $\dfrac4{12}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{12}$

$\dfrac3{10}$ y $\dfrac4{13}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{13}$

$\dfrac3{10}$ y $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{11}$ y $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{11}$ and $\dfrac{40}{132}$

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Compara $10^3$ con $2^{10}$ para obtener una cota inferior

Compare $10^3$ with $2^{10}$ for a lower bound

Pista grande:

Compara $2^{13}$ con $10^4$ para obtener una cota superior

Compare $2^{13}$ with $10^4$ for an upper bound

Solución:

De $10^3\lt2^{10}$ obtenemos $3\lt10\log_{10}2,$ por lo que $\log_{10}2\gt\frac{3}{10}.$ De $2^{13}\lt10^4$ obtenemos $13\log_{10}2\lt4,$ por lo que $\log_{10}2\lt\frac{4}{13}.$ Este es el intervalo más estrecho de la lista que justifica la tabla.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From $10^3\lt2^{10}$ we get $3\lt10\log_{10}2,$ so $\log_{10}2\gt\frac{3}{10}.$ From $2^{13}\lt10^4$ we get $13\log_{10}2\lt4,$ so $\log_{10}2\lt\frac{4}{13}.$ This is the narrowest listed interval justified by the table.

Therefore, the correct answer is C.

1967 AMC 12 Problema 26

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años