Question

Un entero positivo de $n$ cifras es bonito si sus $n$ cifras son una permutación del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ y sus primeras $k$ cifras forman un entero divisible entre $k,$ para $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ Por ejemplo, $321$ es un entero bonito de $3$ cifras porque $1$ divide a $3,$ $2$ divide a $32,$ y $3$ divide a $321.$ ¿Cuántos enteros bonitos de $6$ cifras hay?

An $n$ -digit positive integer is cute if its $n$ digits are an arrangement of the set $\{1,2,\ldots,n\}$ and its first $k$ digits form an integer that is divisible by $k,$ for $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ For example, $321$ is a cute $3$ -digit integer because $1$ divides $3,$ $2$ divides $32,$ and $3$ divides $321.$ How many cute $6$ -digit integers are there?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad permutaciones case analysis

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

La segunda cifra debe ser par, la suma de las tres primeras debe ser divisible entre $3,$ y el prefijo de cuatro cifras debe ser divisible entre $4$

The second digit must be even, the third-prefix digit sum must be divisible by $3,$ and the fourth prefix must be divisible by $4$

Pista grande:

La quinta cifra debe ser $5,$ y el número completo debe ser par y divisible entre $3$

The fifth digit must be $5,$ and the full number must be even and divisible by $3$

Solución:

La divisibilidad entre $5$ obliga a que la quinta cifra sea $5.$ La divisibilidad entre $2$ y $6$ obliga a que la segunda y la sexta cifra sean pares. Aplica ahora sucesivamente las pruebas de divisibilidad: la suma de las primeras tres cifras debe ser divisible entre $3,$ y el número de dos cifras formado por la tercera y la cuarta debe ser divisible entre $4.$ Al revisar las opciones restantes de $\{1,2,3,4,6\}$ , quedan $123654$ y $321654.$ Cada número satisface directamente las seis condiciones de divisibilidad de prefijos, así que hay $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Divisibility by $5$ forces the fifth digit to be $5.$ Divisibility by $2$ and $6$ forces the second and sixth digits to be even. Now apply the divisibility tests successively: the first three digits must have sum divisible by $3,$ and the two-digit number formed by the third and fourth digits must be divisible by $4.$ Checking the remaining choices from $\{1,2,3,4,6\}$ leaves $123654$ and $321654.$ Each number directly satisfies all six prefix divisibility conditions, so there are $2.$

Thus the correct answer is C.

1991 AMC 12 Problema 26

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años