Question

La función $f$ satisface la ecuación funcional $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1$ para todo par $x,$ $y$ de números reales. Si $f(1)=1,$ entonces el número de enteros $n\ne1$ para los cuales $f(n)=n$ es

The function $f$ satisfies the functional equation $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1$ for every pair $x,$ $y$ of real numbers. If $f(1)=1,$ then the number of integers $n\ne1$ for which $f(n)=n$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

infinitos

infinite

Respuesta: B

Conceptos:ecuación funcional recursión cuadrática

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Iguala una variable a $1$ para obtener una recurrencia para entradas enteras consecutivas

Set one variable equal to $1$ to get a recurrence for consecutive integer inputs

Pista grande:

Halla $f(0)$ , resuelve la recurrencia para todos los enteros y luego impón $f(n)=n$

Find $f(0)$ , solve the recurrence for all integers, and then impose $f(n)=n$

Solución:

Al tomar $x=1$ , se obtiene $f(y+1)-f(y)=y+2.$ Al tomar $x=y=0$ , se obtiene $f(0)=-1.$ Al extender la recurrencia en ambas direcciones se obtiene, para todo entero $n,$ $f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}.$ Así, $f(n)=n$ equivale a $\begin{aligned} n^2+n-2&=(n+2)(n-1)\\ &=0. \end{aligned}$ Las soluciones enteras son $n=-2$ y $n=1,$ y, después de excluir $1$ , queda exactamente una.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Setting $x=1$ gives $f(y+1)-f(y)=y+2.$ Setting $x=y=0$ gives $f(0)=-1.$ Extending the recurrence in both directions yields, for every integer $n,$ $f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}.$ Thus $f(n)=n$ is equivalent to $\begin{aligned} n^2+n-2&=(n+2)(n-1)\\ &=0. \end{aligned}$ The integer solutions are $n=-2$ and $n=1,$ and after excluding $1$ exactly one remains.

Therefore, the correct answer is B.

1979 AMC 12 Problema 26

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años