Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

1990 AMC 12 Problema 26

Intenta el Problema 26 del 1990 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1990 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

26.

Diez personas forman un círculo. Cada una elige un número y se lo dice a sus dos vecinos inmediatos del círculo. Después, cada persona calcula y anuncia el promedio de los números de sus dos vecinos. La figura muestra el promedio anunciado por cada persona (no el número original que eligió). El número elegido por la persona que anunció el promedio 66 fue

Ten people form a circle. Each picks a number and tells it to the two neighbors adjacent to him in the circle. Then each person computes and announces the average of the numbers of his two neighbors. The figure shows the average announced by each person (not the original number the person picked). The number picked by the person who announced the average 66 was

11

55

66

1010

no se puede determinar de manera única con la información dada

not uniquely determined from the given information

Respuesta: A
Conceptos:recurrencelinear systemcyclic arrangement
Nivel de dificultad: 2500
Pista pequeña:

Si xix_i es un número elegido y aia_i el promedio mostrado, entonces xi−1+xi+1=2aix_{i-1}+x_{i+1}=2a_i

If xix_i is a picked number and aia_i the displayed average, then xi−1+xi+1=2aix_{i-1}+x_{i+1}=2a_i

Pista grande:

Comienza con dos números elegidos adyacentes desconocidos y continúa alrededor del círculo

Start with two unknown adjacent picked numbers and propagate around the circle

Solución:

Numera los promedios mostrados a0,a1,…,a9a_0,a_1,\ldots,a_9 en sentido horario como 1,2,…,10,1,2,\ldots,10, y sea xix_i el número elegido correspondiente. Escribe x0=t, x1=u.x_0=t,\ x_1=u. A partir de xi−1+xi+1=2ai,x_{i-1}+x_{i+1}=2a_i, los valores sucesivos son x2=4−t,x3=6−u,x4=4+t,x5=4+u,x6=8−t,x7=10−u,x8=8+t,x9=8+u. \begin{aligned} x_2&=4-t, &x_3&=6-u,\\ x_4&=4+t, &x_5&=4+u,\\ x_6&=8-t, &x_7&=10-u,\\ x_8&=8+t, &x_9&=8+u. \end{aligned} Las dos ecuaciones de cierre dan t=6t=6 y u=−3.u=-3. Por tanto, x5=4+u=1.x_5=4+u=1.

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Index the displayed averages a0,a1,…,a9a_0,a_1,\ldots,a_9 clockwise as 1,2,…,10,1,2,\ldots,10, and let xix_i be the corresponding picked numbers. Write x0=t, x1=u.x_0=t,\ x_1=u. From xi−1+xi+1=2ai,x_{i-1}+x_{i+1}=2a_i, successive values are x2=4−t,x3=6−u,x4=4+t,x5=4+u,x6=8−t,x7=10−u,x8=8+t,x9=8+u. \begin{aligned} x_2&=4-t, &x_3&=6-u,\\ x_4&=4+t, &x_5&=4+u,\\ x_6&=8-t, &x_7&=10-u,\\ x_8&=8+t, &x_9&=8+u. \end{aligned} The two closing equations give t=6t=6 and u=−3.u=-3. Hence x5=4+u=1.x_5=4+u=1.

Thus the correct answer is A.

← Problema 25#25
Examen completo
Problema 27#27 →

El Problema 26 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12