Question

Se forma un octaedro regular uniendo los centros de las caras adyacentes de un cubo. La razón entre el volumen del octaedro y el volumen del cubo es

A regular octahedron is formed by joining the centers of adjoining faces of a cube. The ratio of the volume of the octahedron to the volume of the cube is

$\frac{\sqrt3}{12}$

$\frac{\sqrt6}{16}$

$\frac16$

$\frac{\sqrt2}{8}$

$\frac14$

Respuesta: C

Conceptos:geometría del cubo poliedro volumen

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Escala el cubo para que tenga arista $2$ y sitúa su centro en el origen

Scale the cube to side length $2$ and place its center at the origin

Pista grande:

El octaedro tiene vértices $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)$

The octahedron has vertices $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)$

Solución:

Toma un cubo de arista $2,$ cuyo volumen es $8.$ Los centros de las caras son $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1).$ En cada octante, el octaedro recorta un tetraedro con tres aristas unitarias perpendiculares y volumen $\frac{1}{6}.$ Así, su volumen es $8(\frac{1}{6})=\frac{4}{3},$ y la razón es $\frac{\frac{4}{3}}{8}=\frac{1}{6}.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Take a cube of side $2,$ so its volume is $8.$ The face centers are $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1).$ In each octant, the octahedron cuts out a tetrahedron with three perpendicular unit edges and volume $\frac{1}{6}.$ Thus its volume is $8(\frac{1}{6})=\frac{4}{3},$ and the ratio is $\frac{\frac{4}{3}}{8}=\frac{1}{6}.$

Thus the correct answer is C.

1989 AMC 12 Problema 26

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años