Soluciones del 1989 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

$(-1)^{5^2}+1^{2^5}=$

$-7$

$-2$

$0$

$1$

$57$

Conceptos:orden de las operaciones exponente

Nivel de dificultad: 1010

Pista pequeña:

Evalúa los exponentes de arriba hacia abajo

Evaluate the exponents from the top down

Pista grande:

La paridad del exponente de $-1$ determina su signo

The parity of the exponent on $-1$ determines its sign

Solución:

Como $5^2=25$ es impar, $(-1)^{5^2}=-1.$ Además, $1^{2^5}=1,$ así que la suma es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $5^2=25$ is odd, $(-1)^{5^2}=-1.$ Also $1^{2^5}=1,$ so the sum is $0.$

Thus the correct answer is C.

2.

$\sqrt{\frac19+\frac1{16}}=$

$\frac15$

$\frac14$

$\frac27$

$\frac5{12}$

$\frac7{12}$

Conceptos:fracción radical

Nivel de dificultad: 970

Pista pequeña:

Suma las fracciones antes de sacar la raíz

Add the fractions before taking the square root

Pista grande:

Usa $144$ como denominador común

Use $144$ as a common denominator

Solución:

Tenemos $\frac19+\frac1{16}=\frac{16+9}{144}=\frac{25}{144}.$ Su raíz cuadrada positiva es $\frac5{12}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\frac19+\frac1{16}=\frac{16+9}{144}=\frac{25}{144}.$ Its positive square root is $\frac5{12}.$

Thus the correct answer is D.

3.

Un cuadrado se corta en tres rectángulos mediante dos rectas paralelas a un lado, como se muestra. Si el perímetro de cada rectángulo es $24,$ el área del cuadrado original es

A square is cut into three rectangles along two lines parallel to a side, as shown. If the perimeter of each of the three rectangles is $24,$ then the area of the original square is

$24$

$36$

$64$

$81$

$96$

Conceptos:perímetro cuadrado (geometría)rectángulo

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Los perímetros iguales obligan a que los anchos de los tres rectángulos sean iguales

Equal perimeters force the three rectangle widths to be equal

Pista grande:

Expresa el perímetro de un rectángulo con el lado del cuadrado

Express one rectangle’s perimeter using the square’s side length

Solución:

Sea $s$ el lado del cuadrado. Cada rectángulo tiene longitud $s$ y el mismo perímetro, así que sus anchos son iguales a $\frac{s}{3}.$ Entonces $2\left(s+\frac{s}{3}\right)=24,$ por lo que $s=9$ y el área es $81.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the square have side $s.$ Since every rectangle has length $s$ and the same perimeter, their three widths are equal and are each $\frac{s}{3}.$ Thus $2\left(s+\frac{s}{3}\right)=24,$ so $s=9$ and the square’s area is $81.$

Thus the correct answer is D.

4.

En la figura, $ABCD$ es un trapecio isósceles con $AD=BC=5,$ $AB=4,$ y $DC=10.$ El punto $C$ está en $\overline{DF}$ , y $B$ es el punto medio de la hipotenusa $\overline{DE}$ del triángulo rectángulo $DEF.$ Entonces $CF=$

In the figure, $ABCD$ is an isosceles trapezoid with side lengths $AD=BC=5,$ $AB=4,$ and $DC=10.$ The point $C$ is on $\overline{DF}$ and $B$ is the midpoint of hypotenuse $\overline{DE}$ in the right triangle $DEF.$ Then $CF=$

$3.25$

$3.5$

$3.75$

$4.0$

$4.25$

Conceptos:trapecio punto medio semejanza

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Traza perpendiculares desde $A$ y $B$ hasta $\overline{DF}$

Drop perpendiculars from $A$ and $B$ to $\overline{DF}$

Pista grande:

El segmento por el punto medio $B$ , paralelo a $EF$ , llega al punto medio de $DF$

The segment through midpoint $B$ parallel to $EF$ reaches the midpoint of $DF$

Solución:

Traza $AG$ y $BH$ perpendiculares a $DF.$ En el trapecio, $GH=AB=4$ y $DG=HC=\frac{DC-AB}{2}=3.$ Como $B$ es punto medio de $DE$ y $BH\parallel EF,$ el teorema del punto medio hace que $H$ sea punto medio de $DF.$ Así, $DH=DG+GH=7,$ $DF=14$ y $CF=14-10=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Drop perpendiculars $AG$ and $BH$ to $DF.$ In the isosceles trapezoid, $GH=AB=4$ and $DG=HC=\frac{DC-AB}{2}=3.$ Since $B$ is the midpoint of $DE$ and $BH\parallel EF,$ the midpoint theorem makes $H$ the midpoint of $DF.$ Hence $DH=DG+GH=7,$ so $DF=14$ and $CF=14-10=4.$

Thus the correct answer is D.

5.

Se usan palillos iguales para construir la cuadrícula mostrada. Si mide $20$ palillos de alto y $10$ de ancho, el número de palillos usados es

Toothpicks of equal length are used to build a rectangular grid as shown. If the grid is $20$ toothpicks high and $10$ toothpicks wide, then the number of toothpicks used is

$30$

$200$

$410$

$420$

$430$

Conceptos:conteo de figuras en diagramas rectángulo enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Cuenta por separado los palillos horizontales y verticales

Count horizontal and vertical toothpicks separately

Pista grande:

Una cuadrícula de $10$ palillos de ancho tiene $11$ líneas verticales

A grid $10$ toothpicks wide has $11$ vertical grid lines

Solución:

Hay $11$ líneas verticales con $20$ palillos cada una y $21$ líneas horizontales con $10$ cada una. El total es $11\cdot20+21\cdot10=430.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

There are $11$ vertical grid lines with $20$ toothpicks each, and $21$ horizontal grid lines with $10$ toothpicks each. The total is $11\cdot20+21\cdot10=430.$

Thus the correct answer is E.

6.

Si $a,$ $b\gt0$ y el triángulo del primer cuadrante limitado por los ejes y la gráfica de $ax+by=6$ tiene área $6,$ entonces $ab=$

If $a,$ $b\gt0$ and the triangle in the first quadrant bounded by the coordinate axes and the graph of $ax+by=6$ has area $6,$ then $ab=$

$3$

$6$

$12$

$108$

$432$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Halla las intersecciones de la recta con los ejes

Find the intercepts of the line on the two axes

Pista grande:

Usa las intersecciones como base y altura

Use those intercepts as the base and height of the triangle

Solución:

Las intersecciones son $\frac{6}{a}$ y $\frac{6}{b}.$ Así, el área es $\frac12\cdot\frac6a\cdot\frac6b=\frac{18}{ab}=6,$ de donde $ab=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The intercepts are $\frac{6}{a}$ and $\frac{6}{b}.$ Therefore the triangle’s area is $\frac12\cdot\frac6a\cdot\frac6b=\frac{18}{ab}=6,$ which gives $ab=3.$

Thus the correct answer is A.

7.

En $\triangle ABC,$ $\angle A=100^\circ,$ $\angle B=50^\circ,$ $\angle C=30^\circ,$ $AH$ es una altura y $BM$ una mediana. Entonces $\angle MHC=$

In $\triangle ABC,$ $\angle A=100^\circ,$ $\angle B=50^\circ,$ $\angle C=30^\circ,$ $AH$ is an altitude, and $BM$ is a median. Then $\angle MHC=$

$15^\circ$

$22.5^\circ$

$30^\circ$

$40^\circ$

$45^\circ$

Conceptos:mediana (geometría)altura persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Compara los cambios horizontal y vertical de $H$ al punto medio $M$

Compare the horizontal and vertical changes from $H$ to midpoint $M$

Pista grande:

Ambos son la mitad de los catetos correspondientes del triángulo rectángulo $AHC$

Both changes are half the corresponding legs of right triangle $AHC$

Solución:

Como $M$ es punto medio de $AC,$ los cambios de $H$ a $M$ son, en sentido horizontal, $\frac{HC}{2},$ y, en sentido vertical, $\frac{AH}{2}.$ Por tanto, $\begin{aligned} \tan\angle MHC &=\frac{\frac{AH}{2}}{\frac{HC}{2}}\\ &=\frac{AH}{HC}\\ &=\tan\angle ACH. \end{aligned}$ Así, $\angle MHC=\angle C=30^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $M$ is the midpoint of $AC,$ the horizontal change from $H$ to $M$ is $\frac{HC}{2},$ while the vertical change is $\frac{AH}{2}.$ Thus $\begin{aligned} \tan\angle MHC &=\frac{\frac{AH}{2}}{\frac{HC}{2}}\\ &=\frac{AH}{HC}\\ &=\tan\angle ACH. \end{aligned}$ Hence $\angle MHC=\angle C=30^\circ.$

Thus the correct answer is C.

8.

¿Para cuántos enteros $n$ entre $1$ y $100$ se factoriza $x^2+x-n$ como producto de dos factores lineales con coeficientes enteros?

For how many integers $n$ between $1$ and $100$ does $x^2+x-n$ factor into the product of two linear factors with integer coefficients?

$0$

$1$

$2$

$9$

$10$

Conceptos:factorización conteo de enteros en un rango cuadrática

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Escribe los factores como $(x-r)(x+s)$ con enteros positivos $r,s$

Write the factors as $(x-r)(x+s)$ with positive integers $r,s$

Pista grande:

El coeficiente de $x$ obliga a que los parámetros difieran en $1$

The coefficient of $x$ forces the two integer parameters to differ by $1$

Solución:

La factorización debe ser $(x-k)(x+k+1)$ para algún entero positivo $k.$ Al desarrollar se obtiene $x^2+x-k(k+1),$ así que $n=k(k+1).$ Los valores $k=1,2,\ldots,9$ dan $n\le100,$ mientras que $10\cdot11\gt100.$ Hay $9$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

An integer factorization must have the form $(x-k)(x+k+1)$ for some positive integer $k.$ Expanding gives $x^2+x-k(k+1),$ so $n=k(k+1).$ The values $k=1,2,\ldots,9$ give $n\le100,$ while $10\cdot11\gt100.$ There are $9$ values.

Thus the correct answer is D.

9.

El señor y la señora Zeta quieren ponerle nombre a su bebé de modo que su monograma (las iniciales del nombre, el segundo nombre y el apellido) quede en orden alfabético y sin letras repetidas. ¿Cuántos monogramas de este tipo son posibles?

Mr. and Mrs. Zeta want to name their baby Zeta so that its monogram (first, middle, and last initials) will be in alphabetical order with no letters repeated. How many such monograms are possible?

$276$

$300$

$552$

$600$

$15600$

Conceptos:combinaciones arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

La inicial del apellido ya es $Z$

The last initial is already fixed as $Z$

Pista grande:

Elegir las otras dos letras distintas determina su orden

Choosing the other two distinct letters determines their alphabetical order

Solución:

Las dos primeras iniciales son dos letras distintas elegidas de $A$ a $Y.$ Elegidas las letras, el orden queda fijado. Por tanto, el número de monogramas es $\binom{25}{2}=300.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first two initials must be two distinct letters chosen from $A$ through $Y.$ Once chosen, their order is forced. Therefore the number of monograms is $\binom{25}{2}=300.$

Thus the correct answer is B.

10.

Considera la sucesión definida por $u_1=a$ (cualquier número positivo) y $u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1},$ $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ ¿Para cuál valor de $n$ debe cumplirse $u_n=a$ ?

Consider the sequence defined recursively by $u_1=a$ (any positive number), and $u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1},$ $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ For which of the following values of $n$ must $u_n=a?$

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones ecuación racional

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Calcula simbólicamente $u_2,u_3,$ y $u_4$

Compute $u_2,u_3,$ and $u_4$ symbolically

Pista grande:

Busca el período de $x\mapsto-\frac{1}{x+1}$

Look for the period of the transformation $x\mapsto-\frac{1}{x+1}$

Solución:

La sustitución directa da $\begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a. \end{aligned}$ La sucesión se repite cada $3$ términos, así que $u_n=a$ cuando $n\equiv1\pmod3.$ Entre las opciones, solo $16$ tiene esa forma.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Direct substitution gives $\begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a. \end{aligned}$ The sequence therefore repeats every $3$ terms, so $u_n=a$ whenever $n\equiv1\pmod3.$ Among the choices, only $16$ has that form.

Thus the correct answer is C.

11.

Sean $a,$ $b,$ $c$ y $d$ enteros con $a\lt2b,$ $b\lt3c,$ y $c\lt4d.$ Si $d\lt100,$ el mayor valor posible de $a$ es

Let $a,$ $b,$ $c$ and $d$ be integers with $a\lt2b,$ $b\lt3c,$ and $c\lt4d.$ If $d\lt100,$ the largest possible value for $a$ is

$2367$

$2375$

$2391$

$2399$

$2400$

Conceptos:desigualdad argumento extremal conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Maximiza los enteros desde $d$ hacia $a$

Maximize the integers from $d$ backward to $a$

Pista grande:

Cada desigualdad estricta reduce en $1$ el mayor entero permitido

Each strict inequality lowers the greatest allowable integer by $1$

Solución:

Los mayores valores posibles son $d=99,\ c=395,\ b=1184,$ y finalmente $a=2367.$ Todos satisfacen las desigualdades, así que el máximo se alcanza.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The largest possible values are $d=99,\ c=395,\ b=1184,$ and finally $a=2367.$ Each value satisfies its strict inequality, so this maximum is attainable.

Thus the correct answer is A.

12.

En cierta carretera este-oeste, el tránsito va a $60$ millas por hora en ambas direcciones. Un conductor hacia el este pasa $20$ vehículos hacia el oeste en cinco minutos. Si están igualmente espaciados, ¿qué opción se aproxima al número de vehículos hacia el oeste en un tramo de $100$ millas?

The traffic on a certain east-west highway moves at a constant speed of $60$ miles per hour in both directions. An eastbound driver passes $20$ westbound vehicles in a five-minute interval. Assume vehicles in the westbound lane are equally spaced. Which of the following is closest to the number of westbound vehicles present in a $100$ -mile section of highway?

$100$

$120$

$200$

$240$

$400$

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

La rapidez relativa es la suma de las velocidades

The cars approach one another at the sum of their speeds

Pista grande:

Usa la distancia recorrida a rapidez relativa para hallar el espaciamiento

Use the distance covered at relative speed to find the spacing between westbound vehicles

Solución:

La rapidez relativa es $120$ millas por hora, así que en cinco minutos se recorren $10$ millas relativas. Pasar $20$ vehículos implica espaciamiento $\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ milla. Un tramo de $100$ millas contiene aproximadamente $\frac{100}{\frac{1}{2}}=200$ vehículos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The relative speed is $120$ miles per hour, so in five minutes the driver covers $10$ relative miles. Passing $20$ equally spaced vehicles in that distance means the spacing is about $\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ mile. Thus a $100$ -mile section contains about $\frac{100}{\frac{1}{2}}=200$ vehicles.

Thus the correct answer is C.

13.

Dos franjas de ancho $1$ se superponen formando un ángulo $\alpha$ . El área de la región sombreada es

Two strips of width $1$ overlap at an angle of $\alpha$ as shown. The area of the overlap (shown shaded) is

$\sin\alpha$

$\frac1{\sin\alpha}$

$\frac1{1-\cos\alpha}$

$\frac1{\sin^2\alpha}$

$\frac1{(1-\cos\alpha)^2}$

Conceptos:paralelogramo área trigonometría

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

La región es un paralelogramo de altura $1$

The overlap is a parallelogram with altitude $1$

Pista grande:

Si su lado inclinado mide $L,$ entonces $L\sin\alpha=1$

If its slanted side has length $L,$ then $L\sin\alpha=1$

Solución:

La región es un paralelogramo. Con el lado inclinado como base, la altura es el ancho $1$ de la franja inclinada. Si la base mide $L,$ su componente vertical da $L\sin\alpha=1.$ Así, $L=\frac{1}{\sin\alpha},$ y el área es $L\cdot1=\frac{1}{\sin\alpha}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The overlap is a parallelogram. Taking a slanted side as its base, the perpendicular height is the width $1$ of the slanted strip. If that base has length $L,$ its vertical component is the width of the horizontal strip, so $L\sin\alpha=1.$ Hence $L=\frac{1}{\sin\alpha},$ and the area is $L\cdot1=\frac{1}{\sin\alpha}.$

Thus the correct answer is B.

14.

$\cot10+\tan5=$

$\csc5$

$\csc10$

$\sec5$

$\sec10$

$\sin15$

Conceptos:trigonometría manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Reescribe ambos términos con seno y coseno

Rewrite both terms using sine and cosine

Pista grande:

Usa $\sin10=2\sin5\cos5$ y $\cos10=\cos^25-\sin^25$

Use $\sin10=2\sin5\cos5$ and $\cos10=\cos^25-\sin^25$

Solución:

Usando $\sin10=2\sin5\cos5,$ $\begin{aligned} \cot10+\tan5 &=\frac{\cos10}{\sin10}\\ &\quad+\frac{\sin5}{\cos5}. \end{aligned}$ El numerador común es $\cos10+2\sin^25.$ Como $\cos10=\cos^25-\sin^25,$ este numerador es $1,$ y la expresión es $\csc10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Using $\sin10=2\sin5\cos5,$ $\begin{aligned} \cot10+\tan5 &=\frac{\cos10}{\sin10}\\ &\quad+\frac{\sin5}{\cos5}. \end{aligned}$ Combining the fractions gives numerator $\cos10+2\sin^25.$ Since $\cos10=\cos^25-\sin^25,$ this numerator is $1,$ and the expression is $\csc10.$

Thus the correct answer is B.

15.

En $\triangle ABC,$ $AB=5,$ $BC=7,$ $AC=9$ y $D$ está en $\overline{AC}$ con $BD=5.$ Halla $AD:DC.$

In $\triangle ABC,$ $AB=5,$ $BC=7,$ $AC=9$ and $D$ is on $\overline{AC}$ with $BD=5.$ Find the ratio $AD:DC.$

$4:3$

$7:5$

$11:6$

$13:5$

$19:8$

Conceptos:Teorema de Stewart razón y proporción

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Sea $AD=m$ y $DC=9-m$

Let $AD=m$ and $DC=9-m$

Pista grande:

Aplica el teorema de Stewart a la ceviana $BD$

Apply Stewart’s Theorem to cevian $BD$

Solución:

Sea $AD=m$ y $DC=9-m.$ Stewart da $\begin{gathered} 7^2m+5^2(9-m) \\ =9\bigl(5^2+m(9-m)\bigr). \end{gathered}$ Al simplificar, $9m^2-57m=0,$ así que $m=\frac{19}{3}.$ Entonces $DC=\frac{8}{3},$ y $AD:DC=19:8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $AD=m$ and $DC=9-m.$ Stewart’s Theorem gives $\begin{gathered} 7^2m+5^2(9-m) \\ =9\bigl(5^2+m(9-m)\bigr). \end{gathered}$ Simplifying yields $9m^2-57m=0,$ so $m=\frac{19}{3}.$ Then $DC=\frac{8}{3},$ and $AD:DC=19:8.$

Thus the correct answer is E.

16.

Un punto reticular es un punto del plano cuyas coordenadas son enteras. ¿Cuántos puntos reticulares hay en el segmento cuyos extremos son $(3,17)$ y $(48,281)$ ? (Incluye ambos extremos del segmento en el conteo.)

A lattice point is a point in the plane with integer coordinates. How many lattice points are on the line segment whose endpoints are $(3,17)$ and $(48,281)?$ (Include both endpoints of the segment in your count.)

$2$

$4$

$6$

$16$

$46$

Conceptos:punto reticular máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Calcula las diferencias entre las coordenadas horizontales y verticales

Compute the horizontal and vertical coordinate differences

Pista grande:

Un segmento con diferencias $\Delta x,\Delta y$ contiene $\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)+1$ puntos reticulares

A segment with differences $\Delta x,\Delta y$ contains $\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)+1$ lattice points

Solución:

Las diferencias entre las coordenadas son $45$ y $264,$ cuyo máximo común divisor es $3.$ Por tanto, el número de puntos reticulares, incluidos ambos extremos, es $\gcd(45,264)+1=4.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

The coordinate differences are $45$ and $264,$ whose greatest common divisor is $3.$ The number of lattice points, including both endpoints, is therefore $\gcd(45,264)+1=4.$

Thus the correct answer is B.

17.

El perímetro de un triángulo equilátero supera en $1989$ cm el perímetro de un cuadrado. La longitud de cada lado del triángulo supera en $d$ cm la longitud de cada lado del cuadrado. El perímetro del cuadrado es mayor que $0.$ ¿Cuántos enteros positivos no son valores posibles de $d$ ?

The perimeter of an equilateral triangle exceeds the perimeter of a square by $1989$ cm. The length of each side of the triangle exceeds the length of each side of the square by $d$ cm. The square has perimeter greater than $0.$ How many positive integers are not possible values for $d?$

$0$

$9$

$221$

$663$

infinitos

infinitely many

Conceptos:perímetro ecuación lineal conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Sea $s$ la longitud del lado del cuadrado

Let the square’s side length be $s$

Pista grande:

Traduce la condición de perímetro positivo en una desigualdad estricta para $d$

Translate the positive-perimeter condition into a strict inequality for $d$

Solución:

Si el cuadrado tiene lado $s,$ el triángulo tiene lado $s+d.$ La condición sobre los perímetros da $3(s+d)-4s=1989,$ por lo que $s=3d-1989.$ La condición $s\gt0$ equivale a $d\gt663.$ Por tanto, los enteros positivos del $1$ al $663$ son precisamente los valores imposibles.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

If the square has side $s,$ the triangle has side $s+d.$ The perimeter condition gives $3(s+d)-4s=1989,$ so $s=3d-1989.$ The condition $s\gt0$ is equivalent to $d\gt663.$ Thus the positive integers $1$ through $663$ are precisely the impossible values.

Thus the correct answer is D.

18.

El conjunto de todos los números reales $x$ para los que $x+\sqrt{x^2+1}-\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}$ es un número racional es el conjunto de todos los

The set of all real numbers $x$ for which $x+\sqrt{x^2+1}-\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}$ is a rational number is the set of all

enteros $x$

integers $x$

racionales $x$

rational $x$

reales $x$

real $x$

$x$ para los cuales $\sqrt{x^2+1}$ es racional

$x$ for which $\sqrt{x^2+1}$ is rational

$x$ para los cuales $x+\sqrt{x^2+1}$ es racional

$x$ for which $x+\sqrt{x^2+1}$ is rational

Conceptos:racionalización del denominador radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Racionaliza el término recíproco

Rationalize the reciprocal term

Pista grande:

El conjugado $\sqrt{x^2+1}-x$ es el recíproco del denominador

The conjugate $\sqrt{x^2+1}-x$ is the reciprocal of the denominator

Solución:

Al racionalizar se obtiene $\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}-x.$ Por tanto, la expresión completa es $2x.$ Es racional exactamente cuando $x$ es racional.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Rationalizing gives $\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}-x.$ The entire expression is therefore $2x.$ It is rational exactly when $x$ is rational.

Thus the correct answer is B.

19.

Un triángulo está inscrito en un círculo. Los vértices del triángulo dividen el círculo en tres arcos de longitudes $3,$ $4,$ y $5.$ ¿Cuál es el área del triángulo?

A triangle is inscribed in a circle. The vertices of the triangle divide the circle into three arcs of lengths $3,$ $4,$ and $5.$ What is the area of the triangle?

$6$

$\frac{18}{\pi^2}$

$\frac9{\pi^2}(\sqrt3-1)$

$\frac9{\pi^2}(\sqrt3+1)$

$\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3)$

Conceptos:arco circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio área del triángulo

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

La circunferencia mide $12,$ así que primero halla el radio y los tres ángulos centrales

The circumference is $12,$ so first find the radius and the three central angles

Pista grande:

Divide el triángulo en tres triángulos que tengan el centro del círculo como vértice común

Split the triangle into three triangles having the circle’s center as a common vertex

Solución:

El radio es $R=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}.$ Las longitudes de arco $3,4,5$ dan los ángulos centrales $\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}.$ La suma de sus senos es $1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt3}{2}.$ Al dividir el triángulo desde el centro, su área es $\begin{aligned} K&=\frac12\cdot\frac{36}{\pi^2} \cdot\frac{3+\sqrt3}{2}\\ &=\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3). \end{aligned}$

Por tanto, la respuesta correcta es E.

The radius is $R=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}.$ The arc lengths $3,4,5$ give central angles $\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}.$ Their sines sum to $1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt3}{2}.$ Splitting the triangle at the center, its area is $\begin{aligned} K&=\frac12\cdot\frac{36}{\pi^2} \cdot\frac{3+\sqrt3}{2}\\ &=\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3). \end{aligned}$

Thus the correct answer is E.

20.

Sea $x$ un número real elegido uniformemente al azar entre $100$ y $200.$ Si $\lfloor\sqrt{x}\rfloor=12,$ halla la probabilidad de que $\lfloor\sqrt{100x}\rfloor=120.$ ( $\lfloor v\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $v.$ )

Let $x$ be a real number selected uniformly at random between $100$ and $200.$ If $\lfloor\sqrt{x}\rfloor=12,$ find the probability that $\lfloor\sqrt{100x}\rfloor=120.$ ( $\lfloor v\rfloor$ means the greatest integer less than or equal to $v.$ )

$\frac2{25}$

$\frac{241}{2500}$

$\frac1{10}$

$\frac{96}{625}$

$1$

Conceptos:probabilidad condicional funciones piso y techo probabilidad geométrica

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Convierte cada condición de parte entera en un intervalo para $x$

Convert each floor condition into an interval for $x$

Pista grande:

La probabilidad condicional es la razón entre las longitudes de los dos intervalos pertinentes

The conditional probability is the ratio of the two relevant interval lengths

Solución:

La condición dada es $144\le x\lt169,$ un intervalo de longitud $25.$ La condición deseada es $120^2\le100x\lt121^2,$ o $144\le x\lt146.41.$ Su longitud es $2.41=\frac{241}{100},$ por lo que la probabilidad condicional es $\frac{\frac{241}{100}}{25}=\frac{241}{2500}.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

The given condition is $144\le x\lt169,$ an interval of length $25.$ The desired condition is $120^2\le100x\lt121^2,$ or $144\le x\lt146.41.$ Its length is $2.41=\frac{241}{100},$ so the conditional probability is $\frac{\frac{241}{100}}{25}=\frac{241}{2500}.$

Thus the correct answer is B.

21.

Una bandera cuadrada tiene, sobre un fondo blanco, una cruz roja de anchura uniforme con un cuadrado azul en el centro, como se muestra. (La cruz es simétrica respecto de cada diagonal del cuadrado.) Si la cruz completa (tanto los brazos rojos como el centro azul) ocupa el $36\%$ del área de la bandera, ¿qué porcentaje del área de la bandera es azul?

A square flag has a red cross of uniform width with a blue square in the center on a white background as shown. (The cross is symmetric with respect to each of the diagonals of the square.) If the entire cross (both the red arms and the blue center) takes up $36\%$ of the area of the flag, what percent of the area of the flag is blue?

$0.5$

$1$

$2$

$3$

$6$

Conceptos:descomposición de áreas porcentaje simetría

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sea $h$ la mitad de una diagonal del cuadrado azul central después de escalar el lado de la bandera a $1$

Let $h$ be half a diagonal of the central blue square after scaling the flag side to $1$

Pista grande:

Los cuatro triángulos blancos de las esquinas tienen área total $(1-2h)^2$

The four white corner triangles together have area $(1-2h)^2$

Solución:

Escala la bandera a un cuadrado unitario y sea $h$ la distancia horizontal desde su centro hasta un vértice del cuadrado azul. Los cuatro triángulos blancos congruentes de las esquinas tienen área total $(1-2h)^2.$ Como la cruz ocupa $0.36,$ $(1-2h)^2=0.64.$ Con $0\lt h\lt\frac{1}{2},$ esto da $h=0.1.$ El cuadrado azul tiene diagonales perpendiculares de longitudes $2h$ y $2h,$ por lo que su área es $\frac12(2h)^2=2h^2=0.02,$ es decir, el $2\%$ del área de la bandera.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Scale the flag to a unit square, and let $h$ be the horizontal distance from its center to a vertex of the blue square. The four congruent white corner triangles have total area $(1-2h)^2.$ Since the cross occupies $0.36,$ $(1-2h)^2=0.64.$ With $0\lt h\lt\frac{1}{2},$ this gives $h=0.1.$ The blue square has perpendicular diagonals $2h$ and $2h,$ so its area is $\frac12(2h)^2=2h^2=0.02,$ or $2\%$ of the flag.

Thus the correct answer is C.

22.

Un niño tiene un conjunto de $96$ bloques distintos. Cada bloque es de uno de $2$ materiales (plástico, madera), uno de $3$ tamaños (pequeño, mediano, grande), uno de $4$ colores (azul, verde, rojo, amarillo) y una de $4$ formas (círculo, hexágono, cuadrado, triángulo). ¿Cuántos bloques del conjunto difieren del «círculo rojo mediano de plástico» exactamente en dos aspectos? (El «cuadrado rojo mediano de madera» es uno de ellos.)

A child has a set of $96$ distinct blocks. Each block is one of $2$ materials (plastic, wood), $3$ sizes (small, medium, large), $4$ colors (blue, green, red, yellow), and $4$ shapes (circle, hexagon, square, triangle). How many blocks in the set are different from the “plastic medium red circle” in exactly two ways? (The “wood medium red square” is such a block.)

$29$

$39$

$48$

$56$

$62$

Conceptos:análisis por casos combinaciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Para cada atributo, cuenta las alternativas distintas de las del bloque especificado

For each attribute, count the alternatives different from the specified block

Pista grande:

Elige un par de atributos para cambiar y multiplica sus cantidades de alternativas

Choose a pair of attributes to change, then multiply their alternative counts

Solución:

Las cantidades de alternativas para el material, el tamaño, el color y la forma son $1,2,3,3.$ Al cambiar exactamente dos atributos se obtiene $\begin{aligned} &1\cdot2+1\cdot3+1\cdot3\\ &\qquad+2\cdot3+2\cdot3+3\cdot3=29. \end{aligned}$

Por tanto, la respuesta correcta es A.

The numbers of alternatives for material, size, color, and shape are $1,2,3,3.$ Changing exactly two attributes gives $\begin{aligned} &1\cdot2+1\cdot3+1\cdot3\\ &\qquad+2\cdot3+2\cdot3+3\cdot3=29. \end{aligned}$

Thus the correct answer is A.

23.

Una partícula se mueve por el primer cuadrante de la siguiente manera. Durante el primer minuto se desplaza desde el origen hasta $(1,0).$ Después sigue las direcciones indicadas en la figura, yendo de un lado a otro entre los semiejes positivos $x$ e $y$ , y en cada minuto recorre una unidad de distancia paralela a un eje. ¿En qué punto estará la partícula después de exactamente $1989$ minutos?

A particle moves through the first quadrant as follows. During the first minute it moves from the origin to $(1,0).$ Thereafter, it continues to follow the directions indicated in the figure, going back and forth between the positive $x$ and $y$ axes, moving one unit of distance parallel to an axis in each minute. At which point will the particle be after exactly $1989$ minutes?

$(35,44)$

$(36,45)$

$(37,45)$

$(44,35)$

$(45,36)$

Conceptos:simulación de procesos reconocimiento de patrones cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Anota la posición de la partícula en los tiempos $1,4,9,16,\ldots$

Record the particle’s location at times $1,4,9,16,\ldots$

Pista grande:

Compara $1989$ con los cuadrados consecutivos $44^2$ y $45^2$

Compare $1989$ with the consecutive squares $44^2$ and $45^2$

Solución:

En el tiempo $n^2,$ la partícula está en $(n,0)$ si $n$ es impar y en $(0,n)$ si $n$ es par. Por tanto, en el tiempo $44^2=1936$ está en $(0,44).$ Luego se mueve $44$ unidades hacia la derecha, llega a $(44,44)$ en el tiempo $1980,$ y se desplaza hacia abajo durante los siguientes $9$ minutos. Por consiguiente, en el tiempo $1989$ está en $(44,35).$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

At time $n^2,$ the particle is at $(n,0)$ for odd $n$ and at $(0,n)$ for even $n.$ Thus at time $44^2=1936$ it is at $(0,44).$ It then moves $44$ units right, reaching $(44,44)$ at time $1980,$ and moves downward for the next $9$ minutes. At time $1989$ it is therefore at $(44,35).$

Thus the correct answer is D.

24.

Cinco personas están sentadas alrededor de una mesa redonda. Sea $f\ge0$ el número de personas sentadas junto a por lo menos una mujer y sea $m\ge0$ el número de personas sentadas junto a por lo menos un hombre. El número de pares ordenados posibles $(f,m)$ es

Five people are sitting at a round table. Let $f\ge0$ be the number of people sitting next to at least one female and $m\ge0$ be the number of people sitting next to at least one male. The number of possible ordered pairs $(f,m)$ is

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:arreglos circulares análisis por casos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Clasifica las distribuciones según el número de mujeres

Classify arrangements by the number of females

Pista grande:

Con dos mujeres, separa los casos en que están juntas y en que no son adyacentes; obtén los casos con tres mujeres por simetría

With two females, separate the adjacent and nonadjacent cases; obtain three-female cases by symmetry

Solución:

Para $0,1,2$ mujeres, los pares posibles son, respectivamente, $\begin{aligned} &(0,5),\ (2,5),\\ &(4,5),\ (3,4), \end{aligned}$ donde los dos casos con dos mujeres distinguen si están juntas o no son adyacentes. Al intercambiar los sexos se obtiene $\begin{aligned} &(5,0),\ (5,2),\\ &(5,4),\ (4,3). \end{aligned}$ Estos son $8$ pares ordenados distintos.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

For $0,1,2$ females, the possible pairs are respectively $\begin{aligned} &(0,5),\ (2,5),\\ &(4,5),\ (3,4), \end{aligned}$ where the two-female cases distinguish adjacent from nonadjacent females. Swapping the sexes gives $\begin{aligned} &(5,0),\ (5,2),\\ &(5,4),\ (4,3). \end{aligned}$ These are $8$ distinct ordered pairs.

Thus the correct answer is B.

25.

En cierta competencia de campo traviesa entre dos equipos de cinco corredores cada uno, quien termina en la posición $n$ aporta $n$ puntos a su equipo. Gana el equipo con la puntuación más baja. Si no hay empates entre los corredores, ¿cuántas puntuaciones ganadoras distintas son posibles?

In a certain cross-country meet between two teams of five runners each, a runner who finishes in the $n$ th position contributes $n$ to his team’s score. The team with the lower score wins. If there are no ties among the runners, how many different winning scores are possible?

$10$

$13$

$27$

$120$

$126$

Conceptos:subconjuntos argumento extremal enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Las puntuaciones de los dos equipos suman $1+2+\cdots+10$

The two team scores add to $1+2+\cdots+10$

Pista grande:

Determina la puntuación ganadora mínima y verifica que se puede obtener cada entero menor que la mitad del total

Determine the minimum winning score and verify that every integer below half the total is attainable

Solución:

Las dos puntuaciones suman $55,$ así que la puntuación ganadora es a lo sumo $27.$ Su mínimo es $1+2+3+4+5=15.$ Cada puntuación del $15$ al $20$ se obtiene con $\{1,2,3,4,k\}$ para $k=5,\ldots,10.$ Las puntuaciones del $21$ al $25$ se obtienen con $\{1,2,3,k,10\}$ para $k=5,\ldots,9,$ y las puntuaciones $26,27$ se obtienen con $\{1,2,4,9,10\}$ y $\{1,2,5,9,10\}.$ Por tanto, son posibles los $13$ enteros del $15$ al $27.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

The two scores sum to $55,$ so the winning score is at most $27.$ Its minimum is $1+2+3+4+5=15.$ Every score from $15$ through $20$ is obtained by $\{1,2,3,4,k\}$ for $k=5,\ldots,10.$ Scores $21$ through $25$ use $\{1,2,3,k,10\}$ for $k=5,\ldots,9,$ and $26,27$ use $\{1,2,4,9,10\}$ and $\{1,2,5,9,10\}.$ Thus all $13$ integers from $15$ through $27$ are possible.

Thus the correct answer is B.

26.

Se forma un octaedro regular uniendo los centros de las caras adyacentes de un cubo. La razón entre el volumen del octaedro y el volumen del cubo es

A regular octahedron is formed by joining the centers of adjoining faces of a cube. The ratio of the volume of the octahedron to the volume of the cube is

$\frac{\sqrt3}{12}$

$\frac{\sqrt6}{16}$

$\frac16$

$\frac{\sqrt2}{8}$

$\frac14$

Conceptos:geometría del cubo poliedro volumen

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Escala el cubo para que tenga arista $2$ y sitúa su centro en el origen

Scale the cube to side length $2$ and place its center at the origin

Pista grande:

El octaedro tiene vértices $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)$

The octahedron has vertices $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)$

Solución:

Toma un cubo de arista $2,$ cuyo volumen es $8.$ Los centros de las caras son $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1).$ En cada octante, el octaedro recorta un tetraedro con tres aristas unitarias perpendiculares y volumen $\frac{1}{6}.$ Así, su volumen es $8(\frac{1}{6})=\frac{4}{3},$ y la razón es $\frac{\frac{4}{3}}{8}=\frac{1}{6}.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Take a cube of side $2,$ so its volume is $8.$ The face centers are $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1).$ In each octant, the octahedron cuts out a tetrahedron with three perpendicular unit edges and volume $\frac{1}{6}.$ Thus its volume is $8(\frac{1}{6})=\frac{4}{3},$ and the ratio is $\frac{\frac{4}{3}}{8}=\frac{1}{6}.$

Thus the correct answer is C.

27.

Sea $n$ un entero positivo. Si la ecuación $2x+2y+z=n$ tiene $28$ soluciones en enteros positivos $x,$ $y$ y $z,$ entonces $n$ debe ser

Let $n$ be a positive integer. If the equation $2x+2y+z=n$ has $28$ solutions in positive integers $x,$ $y$ and $z,$ then $n$ must be either

$14$ o $15$

$14$ or $15$

$15$ o $16$

$15$ or $16$

$16$ o $17$

$16$ or $17$

$17$ o $18$

$17$ or $18$

$18$ o $19$

$18$ or $19$

Conceptos:Ecuación diofántica sumatoria conteo de pares

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Agrupa las soluciones según $s=x+y$

Group solutions according to $s=x+y$

Pista grande:

Para un $s$ fijo, cuenta los pares ordenados positivos $(x,y)$ y exige que $n-2s\ge1$

For fixed $s,$ count the positive ordered pairs $(x,y)$ and require $n-2s\ge1$

Solución:

Para $s=x+y\ge2,$ hay $s-1$ pares ordenados positivos $(x,y),$ y $z=n-2s$ es positivo cuando $s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor.$ Si escribimos $m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor,$ el número de soluciones es $\sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2.$ Al igualarlo a $28$ se obtiene $m=8.$ Por tanto, $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8,$ así que $n=17$ o $18.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

For $s=x+y\ge2,$ there are $s-1$ positive ordered pairs $(x,y),$ and $z=n-2s$ is positive when $s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor.$ Writing $m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor,$ the number of solutions is $\sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2.$ Setting this equal to $28$ gives $m=8.$ Hence $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8,$ so $n=17$ or $18.$

Thus the correct answer is D.

28.

Halla la suma de las raíces de $\tan^2x-9\tan x+1=0$ que están entre $x=0$ y $x=2\pi$ radianes.

Find the sum of the roots of $\tan^2x-9\tan x+1=0$ that are between $x=0$ and $x=2\pi$ radians.

$\frac\pi2$

$\pi$

$\frac{3\pi}2$

$3\pi$

$4\pi$

Conceptos:cuadrática trigonometría manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

En $\tan x$ , sean $r$ y $s$ las dos raíces positivas

Let the two positive roots in $\tan x$ be $r$ and $s$

Pista grande:

Usa $rs=1$ para relacionar $\arctan r+\arctan s,$ y luego incluye el período de la tangente

Use $rs=1$ to relate $\arctan r+\arctan s,$ then include the period of tangent

Solución:

Las dos raíces $r,s$ de $t^2-9t+1=0$ son positivas y satisfacen $rs=1.$ Por tanto, la suma de sus arcotangentes agudas es $\frac{\pi}{2}.$ Cada valor de la tangente aparece dos veces entre $0$ y $2\pi,$ con la segunda aparición desplazada en $\pi.$ La suma de las cuatro raíces es $2\left(\frac\pi2\right)+2\pi=3\pi.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The two roots $r,s$ of $t^2-9t+1=0$ are positive and satisfy $rs=1.$ Therefore their acute arctangents add to $\frac{\pi}{2}.$ Each tangent value occurs twice between $0$ and $2\pi,$ with the second occurrence shifted by $\pi.$ The sum of all four roots is $2\left(\frac\pi2\right)+2\pi=3\pi.$

Thus the correct answer is D.

29.

Halla $\sum_{k=0}^{49}(-1)^k\binom{99}{2k},$ donde $\binom{n}{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}.$

Find $\sum_{k=0}^{49}(-1)^k\binom{99}{2k},$ where $\binom{n}{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}.$

$-2^{50}$

$-2^{49}$

$0$

$2^{49}$

$2^{50}$

Conceptos:teorema del binomio número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Reconoce $(-1)^k$ como $i^{2k}$

Recognize $(-1)^k$ as $i^{2k}$

Pista grande:

Toma la parte real del desarrollo binomial de $(1+i)^{99}$

Take the real part of the binomial expansion of $(1+i)^{99}$

Solución:

La suma es la parte real de $(1+i)^{99}=2^{\frac{99}{2}}e^{\frac{99\pi i}{4}}.$ Como $99\equiv3\pmod8,$ su parte real es $\begin{aligned} 2^{\frac{99}{2}}\cos\frac{3\pi}{4} &=2^{\frac{99}{2}}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\ &=-2^{49}. \end{aligned}$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

The sum is the real part of $(1+i)^{99}=2^{\frac{99}{2}}e^{\frac{99\pi i}{4}}.$ Since $99\equiv3\pmod8,$ its real part is $\begin{aligned} 2^{\frac{99}{2}}\cos\frac{3\pi}{4} &=2^{\frac{99}{2}}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\ &=-2^{49}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

30.

Supongamos que $7$ niños y $13$ niñas se forman en una fila. Sea $S$ el número de lugares de la fila en los que un niño y una niña están uno al lado del otro. Por ejemplo, para la fila $GBBGGGBGBG$ $GGBGBGGBGG$ tenemos $S=12.$ El valor promedio de $S$ (si se consideran todos los órdenes posibles de estas $20$ personas) es más cercano a

Suppose that $7$ boys and $13$ girls line up in a row. Let $S$ be the number of places in the row where a boy and a girl are standing next to each other. For example, for the row $GBBGGGBGBG$ $GGBGBGGBGG$ we have $S=12.$ The average value of $S$ (if all possible orders of these $20$ people are considered) is closest to

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Conceptos:valor esperado doble conteo permutaciones

Nivel de dificultad: 2550

Pista pequeña:

Usa un indicador para cada uno de los $19$ pares de posiciones adyacentes

Use an indicator for each of the $19$ adjacent pairs

Pista grande:

Para un par de posiciones adyacentes fijo, calcula la probabilidad de obtener $BG$ o $GB$

For a fixed adjacent pair, compute the probability of seeing $BG$ or $GB$

Solución:

Para cada uno de los $19$ pares de posiciones adyacentes, la probabilidad de que los sexos sean distintos es $\frac7{20}\cdot\frac{13}{19} +\frac{13}{20}\cdot\frac7{19}.$ Por la linealidad de la esperanza, $\begin{aligned} \mathbb E[S] &=19\cdot\frac{2\cdot7\cdot13}{20\cdot19}\\ &=\frac{91}{10}=9.1, \end{aligned}$ que es más cercano a $9.$

Por tanto, la respuesta correcta es A.

For each of the $19$ adjacent position pairs, the probability of mixed sexes is $\frac7{20}\cdot\frac{13}{19} +\frac{13}{20}\cdot\frac7{19}.$ By linearity of expectation, $\begin{aligned} \mathbb E[S] &=19\cdot\frac{2\cdot7\cdot13}{20\cdot19}\\ &=\frac{91}{10}=9.1, \end{aligned}$ which is closest to $9.$

Thus the correct answer is A.