Question

En el cuadrilátero $ABCD,$ se sabe que $\angle A=120^\circ,$ los ángulos $B$ y $D$ son rectos, $AB=13,$ y $AD=46.$ Entonces $AC=$

In quadrilateral $ABCD,$ it is given that $\angle A=120^\circ,$ angles $B$ and $D$ are right angles, $AB=13,$ and $AD=46.$ Then $AC=$

$60$

$62$

$64$

$65$

$72$

Respuesta: B

Conceptos:cyclic quadrilaterals ley de los cosenos circumradius

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Los dos ángulos rectos hacen que $ABCD$ sea cíclico con $AC$ como diámetro

The two right angles make $ABCD$ cyclic with $AC$ as a diameter

Pista grande:

Halla $BD$ en el triángulo $ABD$ y luego usa la ley de los senos extendida

Find $BD$ in triangle $ABD$ , then use the extended law of sines

Solución:

Como $\angle B+\angle D=180^\circ,$ el cuadrilátero es cíclico, y $AC$ es su diámetro. En el triángulo $ABD,$ $\begin{aligned} BD^2&=13^2+46^2\\ &\quad-2(13)(46)\cos120^\circ\\ &=2883=(31\sqrt3)^2. \end{aligned}$ Por la ley de los senos extendida, $AC=\frac{BD}{\sin120^\circ}$ $=\frac{31\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=62.$ Así, la respuesta correcta es B.

Because $\angle B+\angle D=180^\circ,$ the quadrilateral is cyclic, and $AC$ is its diameter. In triangle $ABD,$ $\begin{aligned} BD^2&=13^2+46^2\\ &\quad-2(13)(46)\cos120^\circ\\ &=2883=(31\sqrt3)^2. \end{aligned}$ By the extended law of sines, $AC=\frac{BD}{\sin120^\circ}$ $=\frac{31\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=62.$ Thus B is correct.

1998 AMC 12 Problema 26

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años