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1978 AMC 12 Problema 26

Intenta el Problema 26 del 1978 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1978 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

26.

En △ABC,\triangle ABC, AB=10,AB=10, AC=8,AC=8, y BC=6.BC=6. El círculo PP es el círculo de menor radio que pasa por CC y es tangente a AB.AB. Sean QQ y RR los puntos de intersección distintos de C,C, del círculo PP con los lados ACAC y BC,BC, respectivamente. La longitud del segmento QRQR es

In △ABC,\triangle ABC, AB=10,AB=10, AC=8,AC=8, and BC=6.BC=6. Circle PP is the circle with smallest radius which passes through CC and is tangent to AB.AB. Let QQ and RR be the points of intersection, distinct from C,C, of circle PP with sides ACAC and BC,BC, respectively. The length of segment QRQR is

4.754.75

4.84.8

55

424\sqrt2

333\sqrt3

Respuesta: B
Conceptos:triángulo rectángulocircunferencias tangentesalturaángulo inscrito
Nivel de dificultad: 2100
Pista pequeña:

El triángulo 66-88-1010 es rectángulo en CC; sea HH el pie de la perpendicular desde CC hasta ABAB

The 66-88-1010 triangle is right at CC; let HH be the foot from CC to ABAB

Pista grande:

El círculo más pequeño tiene CHCH como diámetro, y ∠QCR=90∘\angle QCR=90^\circ

The smallest circle has CHCH as a diameter, and ∠QCR=90∘\angle QCR=90^\circ

Solución:

Sea HH el pie de la altura desde CC hasta AB.AB. Entre los círculos que pasan por CC y son tangentes a AB,AB, el menor radio se obtiene cuando el punto de tangencia es H,H, por lo que CHCH es un diámetro. El área del triángulo rectángulo da CH=AC⋅BCAB=8⋅610=4.8. CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=4.8. Además, ∠QCR=90∘,\angle QCR=90^\circ, así que QRQR es un diámetro del círculo P.P. Por lo tanto, QR=CH=4.8.QR=CH=4.8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let HH be the foot of the altitude from CC to AB.AB. Among circles through CC tangent to AB,AB, the least radius occurs when the tangency point is H,H, so CHCH is a diameter. The area of the right triangle gives CH=AC⋅BCAB=8⋅610=4.8. CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=4.8. Also ∠QCR=90∘,\angle QCR=90^\circ, so QRQR is a diameter of circle P.P. Therefore QR=CH=4.8.QR=CH=4.8.

Therefore, the correct answer is B.

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