1957 AMC 12 Problema 26
Intenta el Problema 26 del 1957 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1957 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
26.
Desde un punto interior de un triángulo se trazan segmentos hasta los vértices. Una condición necesaria y suficiente para que los tres triángulos así formados tengan áreas iguales es que el punto sea:
From a point within a triangle, line segments are drawn to the vertices. A necessary and sufficient condition that the three triangles thus formed have equal areas is that the point be:
el centro del círculo inscrito
the center of the inscribed circle
el centro del círculo circunscrito
the center of the circumscribed circle
tal que los tres ángulos formados en el punto midan
such that the three angles formed at the point each be
la intersección de las alturas del triángulo
the intersection of the altitudes of the triangle
la intersección de las medianas del triángulo
the intersection of the medians of the triangle
Respuesta: E
Pista pequeña:
Recuerda cómo dividen las medianas el área de un triángulo
Recall how the medians partition a triangle’s area
Pista grande:
La intersección de las medianas divide el triángulo en seis triángulos pequeños que se agrupan de dos en dos en tres regiones de igual área
The intersection of the medians divides the triangle into six small triangles paired into three equal-area regions
Solución:
Las tres medianas se cortan en el centroide y dividen el triángulo en seis triángulos pequeños de igual área. Cada uno de los tres triángulos que tienen al centroide y a un lado del triángulo original consta de dos de esos triángulos pequeños, por lo que sus áreas son iguales. Recíprocamente, áreas iguales producen coordenadas baricéntricas iguales, que determinan de manera única el centroide.
Así, el punto necesario y suficiente es la intersección de las medianas, y la respuesta correcta es E.
The three medians meet at the centroid and divide the triangle into six small triangles of equal area. Each of the three triangles having the centroid and one side of the original triangle consists of two of those small triangles, so their areas are equal. Conversely, equal areas give equal barycentric coordinates, which uniquely locate the centroid.
Thus, the necessary and sufficient point is the intersection of the medians, and the correct answer is E.
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