Question

En el triángulo acutángulo $ABC,$ la bisectriz de $\angle A$ corta al lado $BC$ en $D.$ El círculo con centro $B$ y radio $BD$ corta al lado $AB$ en $M;$ y el círculo con centro $C$ y radio $CD$ corta al lado $AC$ en $N.$ Entonces siempre es cierto que

In acute triangle $ABC$ the bisector of $\angle A$ meets side $BC$ at $D.$ The circle with center $B$ and radius $BD$ intersects side $AB$ at $M;$ and the circle with center $C$ and radius $CD$ intersects side $AC$ at $N.$ Then it is always true that

$\begin{aligned}\angle CND+\angle BMD\\{}-\angle DAC=120^\circ\end{aligned}$

$AMDN$ es un trapecio

$AMDN$ is a trapezoid

$BC$ es paralelo a $MN$

$BC$ is parallel to $MN$

$AM-AN=\frac{3(DB-DC)}2$

$AB-AC=\frac{3(DB-DC)}2$

Respuesta: C

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Usa $BM=BD,\ CN=CD,$ y el teorema de la bisectriz

Use $BM=BD,\ CN=CD,$ and the angle bisector theorem

Pista grande:

Demuestra que $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$ y aplica el recíproco del teorema de proporcionalidad

Show that $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$ and apply the converse of the side-splitter theorem

Solución:

El teorema de la bisectriz da $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$ Como $BM=BD$ y $CN=CD,$ tenemos $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}.$ Por tanto, $M$ y $N$ dividen $AB$ y $AC$ proporcionalmente desde $B$ y $C,$ así que el recíproco del teorema de proporcionalidad da $MN\parallel BC.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The angle bisector theorem gives $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$ Since $BM=BD$ and $CN=CD,$ we have $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}.$ Therefore $M$ and $N$ divide $AB$ and $AC$ proportionally from $B$ and $C,$ so the converse of the side-splitter theorem gives $MN\parallel BC.$

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 Problema 26

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años