Question

Si $p,$ $q,$ y $r$ son raíces distintas de $x^3-x^2+x-2=0,$ entonces $p^3+q^3+r^3$ es igual a

If $p,$ $q,$ and $r$ are distinct roots of $x^3-x^2+x-2=0,$ then $p^3+q^3+r^3$ equals

$-1$

$1$

$3$

$5$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: E

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta Sumas de Newton

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Usa las fórmulas de Vieta para hallar $p+q+r$ y $pq+pr+qr$

Use Vieta to find $p+q+r$ and $pq+pr+qr$

Pista grande:

Primero calcula $p^2+q^2+r^2,$ y después suma las tres ecuaciones que satisfacen las raíces

First compute $p^2+q^2+r^2,$ then add the three equations satisfied by the roots

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan $p+q+r=1$ y $pq+pr+qr=1.$ Por tanto, $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2 &=(p+q+r)^2\\ &\quad-2(pq+pr+qr)\\ &=-1. \end{aligned}$ Cada raíz $t$ satisface $t^3=t^2-t+2.$ Al sumar para las tres raíces se obtiene $p^3+q^3+r^3=-1-1+6=4.$ Este valor no aparece entre las opciones A–D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Vieta gives $p+q+r=1$ and $pq+pr+qr=1.$ Thus $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2 &=(p+q+r)^2\\ &\quad-2(pq+pr+qr)\\ &=-1. \end{aligned}$ Each root $t$ satisfies $t^3=t^2-t+2.$ Summing over the three roots yields $p^3+q^3+r^3=-1-1+6=4.$ This is not among choices A–D.

Therefore, the correct answer is E.

1975 AMC 12 Problema 27

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años