Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

1979 AMC 12 Problema 27

Intenta el Problema 27 del 1979 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1979 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

27.

Se elige al azar un par ordenado (b,c)(b,c) de enteros, cada uno con valor absoluto menor o igual que cinco, y todos esos pares ordenados tienen la misma probabilidad de ser elegidos. ¿Cuál es la probabilidad de que la ecuación x2+bx+c=0x^2+bx+c=0 no tenga raíces reales positivas distintas?

An ordered pair (b,c)(b,c) of integers, each of which has absolute value less than or equal to five, is chosen at random, with each such ordered pair having an equal likelihood of being chosen. What is the probability that the equation x2+bx+c=0x^2+bx+c=0 will not have distinct positive real roots?

106121\frac{106}{121}

108121\frac{108}{121}

110121\frac{110}{121}

112121\frac{112}{121}

ninguna de estas

none of these

Respuesta: E
Conceptos:cuadráticaprobabilidad complementariaenumeración sistemática
Nivel de dificultad: 2200
Pista pequeña:

Tener raíces positivas distintas exige b<0,b\lt0, c>0,c\gt0, y b2>4cb^2\gt4c

Distinct positive roots require b<0,b\lt0, c>0,c\gt0, and b2>4cb^2\gt4c

Pista grande:

Cuenta los valores admisibles de cc para b=−1,b=-1, b=−2,b=-2, …,\ldots, b=−5,b=-5, y luego toma el complemento entre los 121121 pares

Count the qualifying cc values for each b=−1,b=-1, b=−2,b=-2, …,\ldots, b=−5,b=-5, then take the complement among 121121 pairs

Solución:

Hay 112=12111^2=121 pares ordenados. Tener raíces positivas distintas exige b<0,b\lt0, c>0,c\gt0, y b2>4c.b^2\gt4c. Para b=−1b=-1 y b=−2b=-2 no hay opciones; para b=−3,b=-3, b=−4,b=-4, y b=−5b=-5 hay, respectivamente, 2,2, 3,3, y 55 opciones de c.c. Así, solo 1010 pares producen raíces positivas distintas, por lo que la probabilidad pedida es 1−10121=111121, 1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121}, que no aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

There are 112=12111^2=121 ordered pairs. Distinct positive roots require b<0,b\lt0, c>0,c\gt0, and b2>4c.b^2\gt4c. For b=−1b=-1 and b=−2b=-2 there are no choices; for b=−3,b=-3, b=−4,b=-4, and b=−5b=-5 there are respectively 2,2, 3,3, and 55 choices of c.c. Thus only 1010 pairs produce distinct positive roots, so the requested probability is 1−10121=111121, 1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121}, which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

← Problema 26#26
Examen completo
Problema 28#28 →

El Problema 27 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12