Question

Dos polígonos equiangulares $P_1$ y $P_2$ tienen distinto número de lados; cada ángulo de $P_1$ mide $x$ grados y cada uno de $P_2$ , $kx$ grados, donde $k$ es entero mayor que $1.$ El número de pares posibles $(x,k)$ es:

Given two equiangular polygons $P_1$ and $P_2$ with different numbers of sides; each angle of $P_1$ is $x$ degrees and each angle of $P_2$ is $kx$ degrees, where $k$ is an integer greater than $1.$ The number of possibilities for the pair $(x,k)$ is:

infinito

infinite

finito, pero mayor que dos

finite, but greater than two

dos

two

uno

one

cero

zero

Respuesta: D

Conceptos:polígono equiángulo suma de ángulos desigualdad

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Cada ángulo de un polígono equiangular de $n$ lados mide $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

An equiangular $n$ -gon has angle $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

Pista grande:

Usa $kx<180^\circ$ y $k\ge2$ para limitar el ángulo menor $x$

Use $kx<180^\circ$ and $k\ge2$ to constrain the smaller angle $x$

Solución:

Todo ángulo poligonal mide al menos $60^\circ,$ y todo ángulo de un polígono convexo es menor que $180^\circ.$ Como $k\ge2$ y $kx<180^\circ,$ necesitamos $x<90^\circ.$ El único ángulo equiangular posible en $[60^\circ,90^\circ)$ es $x=60^\circ.$ Entonces $k=2$ da $kx=120^\circ,$ el ángulo de un hexágono regular; un $k$ mayor es imposible. Hay un solo par.

Así, la respuesta correcta es D.

Every polygon angle is at least $60^\circ,$ and every convex polygon angle is less than $180^\circ.$ Since $k\ge2$ and $kx<180^\circ,$ we need $x<90^\circ.$ The only possible equiangular polygon angle in $[60^\circ,90^\circ)$ is the triangle angle $x=60^\circ.$ Then $k=2$ gives $kx=120^\circ,$ the angle of a regular hexagon; larger $k$ is impossible. Hence there is one pair.

Thus, the correct answer is D.

1961 AMC 12 Problema 27

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años