Soluciones del 1961 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Al simplificar $\left(-\dfrac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}$ , se obtiene:

When simplified, $\left(-\dfrac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}$ becomes:

$\dfrac1{25}$

$-\dfrac1{25}$

$25$

$-25$

$25\sqrt{-1}$

Conceptos:exponente radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1230

Pista pequeña:

Aplica la raíz cúbica antes de elevar al cuadrado

Apply the cube root before squaring

Pista grande:

El exponente negativo indica que después se toma el recíproco

The negative exponent then takes the reciprocal

Solución:

Como la raíz cúbica es real, $\left(-\frac1{125}\right)^{\frac{2}{3}} =\left(-\frac15\right)^2=\frac1{25}.$ El exponente negativo toma el recíproco, lo que da $25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because the cube root is real, $\left(-\frac1{125}\right)^{\frac{2}{3}} =\left(-\frac15\right)^2=\frac1{25}.$ The negative exponent takes the reciprocal, giving $25.$

Therefore, the correct answer is C.

2.

Un automóvil recorre $\frac{a}{6}$ pies en $r$ segundos. Si mantiene esta rapidez durante $3$ minutos, ¿cuántas yardas recorre en esos $3$ minutos?

An automobile travels $\frac{a}{6}$ feet in $r$ seconds. If this rate is maintained for $3$ minutes, how many yards does it travel in the $3$ minutes?

$\dfrac{a}{1080r}$

$\dfrac{30r}{a}$

$\dfrac{30a}{r}$

$\dfrac{10r}{a}$

$\dfrac{10a}{r}$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Convierte $3$ minutos a segundos

Convert $3$ minutes to seconds

Pista grande:

Después de hallar la distancia en pies, divide entre $3$ para convertirla a yardas

After finding the distance in feet, divide by $3$ to convert to yards

Solución:

La rapidez es $\frac{a}{6r}$ pies por segundo. En $180$ segundos, el automóvil recorre $180\cdot\frac{a}{6r}=\frac{30a}{r}$ pies, es decir, $\frac{10a}{r}$ yardas.

Así, la respuesta correcta es E.

The speed is $\frac{a}{6r}$ feet per second. In $180$ seconds the automobile travels $180\cdot\frac{a}{6r}=\frac{30a}{r}$ feet, or $\frac{10a}{r}$ yards.

Thus, the correct answer is E.

3.

Si las gráficas de $2y+x+3=0$ y $3y+ax+2=0$ deben cortarse formando ángulos rectos, el valor de $a$ es:

If the graphs of $2y+x+3=0$ and $3y+ax+2=0$ are to meet at right angles, the value of $a$ is:

$\pm\dfrac23$

$-\dfrac23$

$-\dfrac32$

$6$

$-6$

Conceptos:pendiente geometría analítica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Escribe ambas ecuaciones en la forma pendiente-intersección

Put both equations into slope-intercept form

Pista grande:

El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares no verticales es $-1$

The product of the slopes of perpendicular nonvertical lines is $-1$

Solución:

Las dos pendientes son $-\frac{1}{2}$ y $-\frac{a}{3}.$ La perpendicularidad exige $\left(-\frac12\right)\left(-\frac a3\right)=-1,$ por lo que $a=-6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two slopes are $-\frac{1}{2}$ and $-\frac{a}{3}.$ Perpendicularity requires $\left(-\frac12\right)\left(-\frac a3\right)=-1,$ so $a=-6.$

Therefore, the correct answer is E.

4.

Sea $u$ el conjunto formado por los cuadrados de los enteros positivos; así, $u$ es el conjunto $1,$ $4,$ $9,$ $\ldots.$ Si cierta operación aplicada a uno o más elementos del conjunto siempre produce otro elemento del conjunto, decimos que el conjunto es cerrado bajo esa operación. Entonces $u$ es cerrado bajo:

Let the set consisting of the squares of the positive integers be called $u;$ thus $u$ is the set $1,$ $4,$ $9,$ $\ldots.$ If a certain operation on one or more members of the set always yields a member of the set, we say that the set is closed under that operation. Then $u$ is closed under:

la suma

addition

la multiplicación

multiplication

la división

division

la extracción de una raíz entera positiva

extraction of a positive integral root

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:cuadrado perfecto contraejemplo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Prueba cada operación con cuadrados arbitrarios $m^2$ y $n^2$

Test each operation on arbitrary squares $m^2$ and $n^2$

Pista grande:

El producto de dos cuadrados se escribe de inmediato como otro cuadrado

The product of two squares has an immediate square form

Solución:

Para enteros positivos $m,n,$ $m^2n^2=(mn)^2,$ que vuelve a ser el cuadrado de un entero positivo. Las demás operaciones fallan; por ejemplo, $1+4=5,\frac{1}{4},$ y $\sqrt4=2.$

Así, la respuesta correcta es B.

For positive integers $m,n,$ $m^2n^2=(mn)^2,$ which is again the square of a positive integer. The other operations fail, for example $1+4=5,\frac{1}{4},$ and $\sqrt4=2.$

Thus, the correct answer is B.

5.

Sea $S=(x-1)^4+4(x-1)^3$ $+6(x-1)^2+4(x-1)+1.$ Entonces $S$ es igual a:

Let $S=(x-1)^4+4(x-1)^3$ $+6(x-1)^2+4(x-1)+1.$ Then $S$ equals:

$(x-2)^4$

$(x-1)^4$

$x^4$

$(x+1)^4$

$x^4+1$

Conceptos:teorema del binomio sustitución

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Compara los coeficientes con el desarrollo de $(u+1)^4$

Compare the coefficients with the expansion of $(u+1)^4$

Pista grande:

Usa $u=x-1$

Use $u=x-1$

Solución:

La expresión es el desarrollo binomial $((x-1)+1)^4=x^4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The expression is the binomial expansion $((x-1)+1)^4=x^4.$

Therefore, the correct answer is C.

6.

Al simplificar $\log 8\div\log\dfrac18$ , se obtiene:

When simplified, $\log 8\div\log\dfrac18$ becomes:

$6\log2$

$\log2$

$1$

$0$

$-1$

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Escribe $\frac{1}{8}$ como $8^{-1}$

Write $\frac{1}{8}$ as $8^{-1}$

Pista grande:

Relaciona $\log(\frac{1}{8})$ con $\log8$

Relate $\log(\frac{1}{8})$ to $\log8$

Solución:

Como $\log(\frac{1}{8})=\log(8^{-1})=-\log8,$ $\frac{\log8}{\log(\frac{1}{8})}=-1.$

Así, la respuesta correcta es E.

Since $\log(\frac{1}{8})=\log(8^{-1})=-\log8,$ $\frac{\log8}{\log(\frac{1}{8})}=-1.$

Thus, the correct answer is E.

7.

Al simplificar, el tercer término del desarrollo de $\left(\frac{a}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{a^2}\right)^6$ es:

When simplified, the third term in the expansion of $\left(\frac{a}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{a^2}\right)^6$ is:

$\dfrac{15}{x}$

$-\dfrac{15}{x}$

$-\dfrac{6x^2}{a^9}$

$\dfrac{20}{a^3}$

$-\dfrac{20}{a^3}$

Conceptos:teorema del binomio exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

El tercer término usa dos copias del segundo término del binomio

The third term uses two copies of the second binomial term

Pista grande:

Usa el coeficiente $\binom62$ y simplifica las potencias de $a$ y $x$

Use the coefficient $\binom62$ and simplify the powers of $a$ and $x$

Solución:

El tercer término es $\begin{aligned} &\binom62\left(\frac a{\sqrt x}\right)^4 \left(-\frac{\sqrt x}{a^2}\right)^2\\ &\qquad=15\cdot\frac{a^4}{x^2}\cdot\frac{x}{a^4} =\frac{15}{x}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The third term is $\begin{aligned} &\binom62\left(\frac a{\sqrt x}\right)^4 \left(-\frac{\sqrt x}{a^2}\right)^2\\ &\qquad=15\cdot\frac{a^4}{x^2}\cdot\frac{x}{a^4} =\frac{15}{x}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

8.

Sean $A$ y $B$ los dos ángulos de la base de un triángulo, con $B$ mayor que $A.$ La altura trazada a la base divide el ángulo del vértice $C$ en dos partes, $C_1$ y $C_2,$ donde $C_2$ es adyacente al lado $a.$ Entonces:

Let the two base angles of a triangle be $A$ and $B,$ with $B$ larger than $A.$ The altitude to the base divides the vertex angle $C$ into two parts, $C_1$ and $C_2,$ with $C_2$ adjacent to side $a.$ Then:

$C_1+C_2=A+B$

$C_1-C_2=B-A$

$C_1-C_2=A-B$

$C_1+C_2=B-A$

$C_1-C_2=A+B$

Conceptos:altura persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

La altura forma dos triángulos rectángulos

The altitude creates two right triangles

Pista grande:

Expresa cada parte de $C$ como el complemento del ángulo opuesto de la base

Express each part of $C$ as a complement of the opposite base angle

Solución:

Los dos triángulos rectángulos dan $\begin{aligned} A+C_1&=90^\circ,\\ B+C_2&=90^\circ. \end{aligned}$ Al restar la segunda relación de la primera se obtiene $C_1-C_2=B-A.$

Así, la respuesta correcta es B.

The two right triangles give $\begin{aligned} A+C_1&=90^\circ,\\ B+C_2&=90^\circ. \end{aligned}$ Subtracting the second relation from the first gives $C_1-C_2=B-A.$

Thus, the correct answer is B.

9.

Sea $r$ el resultado de duplicar tanto la base como el exponente de $a^b,$ con $b\ne0.$ Si $r$ es igual al producto de $a^b$ por $x^b,$ entonces $x$ es igual a:

Let $r$ be the result of doubling both the base and the exponent of $a^b,$ $b\ne0.$ If $r$ equals the product of $a^b$ by $x^b,$ then $x$ equals:

$a$

$2a$

$4a$

$2$

$4$

Conceptos:exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Escribe la expresión duplicada como $(2a)^{2b}$

Write the doubled expression as $(2a)^{2b}$

Pista grande:

Expresa ambos lados como una sola cantidad elevada a la potencia $b$

Express both sides as a single quantity raised to the $b$ th power

Solución:

Tenemos $r=(2a)^{2b}=(4a^2)^b$ y también $r=a^bx^b=(ax)^b.$ Por lo tanto, $ax=4a^2,$ así que $x=4a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We have $r=(2a)^{2b}=(4a^2)^b$ and also $r=a^bx^b=(ax)^b.$ Thus $ax=4a^2,$ so $x=4a.$

Therefore, the correct answer is C.

10.

Cada lado del triángulo $ABC$ mide $12$ unidades. $D$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$ hasta $BC,$ y $E$ es el punto medio de $AD.$ La longitud de $BE,$ en las mismas unidades, es:

Each side of triangle $ABC$ is $12$ units. $D$ is the foot of the perpendicular dropped from $A$ on $BC,$ and $E$ is the midpoint of $AD.$ The length of $BE,$ in the same unit, is:

$\sqrt{18}$

$\sqrt{28}$

$6$

$\sqrt{63}$

$\sqrt{98}$

Conceptos:triángulo equilátero mediana (geometría)Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

En el triángulo equilátero, halla $BD$ y $AD$

In the equilateral triangle, find $BD$ and $AD$

Pista grande:

Usa el triángulo rectángulo $BDE$ después de dividir $AD$ por la mitad

Use right triangle $BDE$ after halving $AD$

Solución:

En el triángulo equilátero, $BD=6$ y $AD=6\sqrt3.$ Por consiguiente, $DE=3\sqrt3,$ y el triángulo rectángulo $BDE$ da $\begin{aligned} BE^2&=6^2+(3\sqrt3)^2\\ &=36+27=63. \end{aligned}$ Por lo tanto, $BE=\sqrt{63}.$

Así, la respuesta correcta es D.

In the equilateral triangle, $BD=6$ and $AD=6\sqrt3.$ Hence $DE=3\sqrt3,$ and right triangle $BDE$ gives $\begin{aligned} BE^2&=6^2+(3\sqrt3)^2\\ &=36+27=63. \end{aligned}$ Therefore $BE=\sqrt{63}.$

Thus, the correct answer is D.

11.

Desde un punto exterior $A$ se trazan dos tangentes a una circunferencia; la tocan en $B$ y $C,$ respectivamente. Una tercera tangente corta al segmento $AB$ en $P$ y a $AC$ en $R,$ y toca la circunferencia en $Q.$ Si $AB=20,$ entonces el perímetro del triángulo $APR$ es:

Two tangents are drawn to a circle from an exterior point $A;$ they touch the circle at points $B$ and $C,$ respectively. A third tangent intersects segment $AB$ in $P$ and $AC$ in $R,$ and touches the circle at $Q.$ If $AB=20,$ then the perimeter of triangle $APR$ is:

$42$

$40.5$

$40$

$39\dfrac78$

no se puede determinar con la información dada

not determined by the given information

Conceptos:recta tangente perímetro manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Los segmentos tangentes desde un mismo punto exterior tienen igual longitud

Tangent segments from the same exterior point have equal lengths

Pista grande:

En el perímetro, reemplaza $PQ$ por $PB$ y $RQ$ por $RC$

Replace $PQ$ by $PB$ and $RQ$ by $RC$ in the perimeter

Solución:

La igualdad de los segmentos tangentes da $PQ=PB$ y $RQ=RC.$ Entonces $\begin{aligned} AP+PR+RA &=AP+PQ\\ &\quad+RQ+RA\\ &=AP+PB\\ &\quad+RC+RA\\ &=AB+AC. \end{aligned}$ Además, $AB=AC=20,$ así que el perímetro es $40.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Equal tangent segments give $PQ=PB$ and $RQ=RC.$ Thus $\begin{aligned} AP+PR+RA &=AP+PQ\\ &\quad+RQ+RA\\ &=AP+PB\\ &\quad+RC+RA\\ &=AB+AC. \end{aligned}$ Also $AB=AC=20,$ so the perimeter is $40.$

Therefore, the correct answer is C.

12.

Los tres primeros términos de una progresión geométrica son $\sqrt2,$ $\sqrt[3]2,$ $\sqrt[6]2.$ Halla el cuarto término.

The first three terms of a geometric progression are $\sqrt2,$ $\sqrt[3]2,$ $\sqrt[6]2.$ Find the fourth term.

$1$

$\sqrt[7]2$

$\sqrt[8]2$

$\sqrt[9]2$

$\sqrt[10]2$

Conceptos:sucesión geométrica exponente

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Escribe cada radical como una potencia de $2$

Write each radical as a power of $2$

Pista grande:

Examina las diferencias entre exponentes consecutivos

Check the differences between the successive exponents

Solución:

Los exponentes son $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{3},$ y $\frac{1}{6}.$ Cada término se obtiene multiplicando por $2^{-\frac{1}{6}},$ así que el siguiente exponente es $\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0.$ El cuarto término es $2^0=1.$

Así, la respuesta correcta es A.

The exponents are $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{3},$ and $\frac{1}{6}.$ Each term is obtained by multiplying by $2^{-\frac{1}{6}},$ so the next exponent is $\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0.$ The fourth term is $2^0=1.$

Thus, the correct answer is A.

13.

El símbolo $|a|$ significa $a$ si $a$ es positivo o cero, y $-a$ si $a$ es negativo. Para todo valor real de $t$ , la expresión $\sqrt{t^4+t^2}$ es igual a:

The symbol $|a|$ means $a$ if $a$ is a positive number or zero, and $-a$ if $a$ is a negative number. For all real values of $t$ the expression $\sqrt{t^4+t^2}$ is equal to:

$t^3$

$t^2+t$

$|t^2+t|$

$t\sqrt{t^2+1}$

$|t|\sqrt{1+t^2}$

Conceptos:radical valor absoluto factorización

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Factoriza $t^2$ dentro del radical

Factor $t^2$ from under the radical

Pista grande:

Para $t$ real, $\sqrt{t^2}=|t|$

For real $t,$ $\sqrt{t^2}=|t|$

Solución:

Al factorizar dentro del radical se obtiene $\begin{aligned} \sqrt{t^2(t^2+1)} &=\sqrt{t^2}\sqrt{t^2+1}\\ &=|t|\sqrt{1+t^2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring inside the radical gives $\begin{aligned} \sqrt{t^2(t^2+1)} &=\sqrt{t^2}\sqrt{t^2+1}\\ &=|t|\sqrt{1+t^2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

14.

Un rombo tiene una diagonal cuya longitud es el doble de la otra. Expresa el lado del rombo en términos de $K,$ donde $K$ es el área en pulgadas cuadradas.

A rhombus is given with one diagonal twice the length of the other diagonal. Express the side of the rhombus in terms of $K,$ where $K$ is the area of the rhombus in square inches.

$\sqrt K$

$\dfrac12\sqrt{2K}$

$\dfrac13\sqrt{3K}$

$\dfrac14\sqrt{4K}$

ninguna de estas es correcta

none of these are correct

Conceptos:rombo diagonal área Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Sean $d$ y $2d$ las diagonales; después usa la fórmula del área del rombo

Let the diagonals be $d$ and $2d$ , then use the rhombus area formula

Pista grande:

Las semidiagonales son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es un lado

Half-diagonals form the legs of a right triangle whose hypotenuse is a side

Solución:

Sean $d$ y $2d$ las diagonales. Entonces $K=\frac{d(2d)}{2}=d^2.$ Un lado mide $\begin{aligned} \sqrt{\left(\frac d2\right)^2+d^2} &=\frac{\sqrt5}{2}d\\ &=\frac12\sqrt{5K}. \end{aligned}$ Este resultado no aparece entre las primeras cuatro opciones.

Así, la respuesta correcta es E.

Let the diagonals be $d$ and $2d.$ Then $K=\frac{d(2d)}{2}=d^2.$ A side has length $\begin{aligned} \sqrt{\left(\frac d2\right)^2+d^2} &=\frac{\sqrt5}{2}d\\ &=\frac12\sqrt{5K}. \end{aligned}$ This is not among the first four choices.

Thus, the correct answer is E.

15.

Si $x$ hombres que trabajan $x$ horas al día durante $x$ días producen $x$ artículos, entonces el número de artículos, no necesariamente entero, que producen $y$ hombres trabajando $y$ horas al día durante $y$ días es:

If $x$ men working $x$ hours a day for $x$ days produce $x$ articles, then the number of articles (not necessarily an integer) produced by $y$ men working $y$ hours a day for $y$ days is:

$\dfrac{x^3}{y^2}$

$\dfrac{y^3}{x^2}$

$\dfrac{x^2}{y^3}$

$\dfrac{y^2}{x^3}$

$y$

Conceptos:tasa razón y proporción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Calcula la producción por hora-hombre en la primera situación

Compute the production per man-hour from the first situation

Pista grande:

La segunda situación utiliza $y^3$ horas-hombre

The second situation uses $y^3$ man-hours

Solución:

El primer grupo emplea $x^3$ horas-hombre para fabricar $x$ artículos, por lo que la tasa es $\frac{1}{x^2}$ artículo por hora-hombre. El segundo grupo aporta $y^3$ horas-hombre y fabrica $\frac{y^3}{x^2}$ artículos.

Así, la respuesta correcta es B.

The first group uses $x^3$ man-hours to make $x$ articles, so the rate is $\frac{1}{x^2}$ article per man-hour. The second group supplies $y^3$ man-hours and therefore makes $\frac{y^3}{x^2}$ articles.

Thus, the correct answer is B.

16.

Una altura $h$ de un triángulo se aumenta en una longitud $m.$ ¿Cuánto debe quitarse de la base correspondiente $b$ para que el área nueva sea la mitad del área original?

An altitude $h$ of a triangle is increased by a length $m.$ How much must be taken from the corresponding base $b$ so that the area of the new triangle is one-half that of the original triangle?

$\dfrac{bm}{h+m}$

$\dfrac{bh}{2h+2m}$

$\dfrac{b(2m+h)}{m+h}$

$\dfrac{b(m+h)}{2m+h}$

$\dfrac{b(2m+h)}{2(h+m)}$

Conceptos:área del triángulo ecuación lineal manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Sea $t$ la cantidad que se quita, de modo que la nueva base es $b-t$

Let $t$ be the amount removed, so the new base is $b-t$

Pista grande:

Iguala $\frac12(b-t)(h+m)$ a la mitad del área original

Set $\frac12(b-t)(h+m)$ equal to half the original area

Solución:

Si se quita $t$ , la condición es $\frac12(b-t)(h+m)=\frac12\left(\frac12bh\right).$ Por consiguiente, $b-t=\frac{bh}{2(h+m)},$ de modo que $\begin{aligned} t&=b-\frac{bh}{2(h+m)}\\ &=\frac{b(2m+h)}{2(h+m)}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $t$ is removed, the new area condition is $\frac12(b-t)(h+m)=\frac12\left(\frac12bh\right).$ Hence $b-t=\frac{bh}{2(h+m)},$ so $\begin{aligned} t&=b-\frac{bh}{2(h+m)}\\ &=\frac{b(2m+h)}{2(h+m)}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

17.

En base diez, el número $526$ significa $5\cdot10^2+2\cdot10+6.$ En la Tierra de Mathesis, sin embargo, los números se escriben en base $r.$ Jones compra allí un automóvil por $440$ unidades monetarias, abreviadas u.m. Entrega un billete de $1000$ u.m. y recibe $340$ u.m. de cambio. La base $r$ es:

In the base ten number system the number $526$ means $5\cdot10^2+2\cdot10+6.$ In the Land of Mathesis, however, numbers are written in the base $r.$ Jones purchases an automobile there for $440$ monetary units (abbreviated m.u.). He gives the salesman a $1000$ m.u. bill, and receives, in change, $340$ m.u. The base $r$ is:

$2$

$5$

$7$

$8$

$12$

Conceptos:base numérica valor posicional cuadrática

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Traduce $1000_r-440_r=340_r$ a potencias de $r$

Translate $1000_r-440_r=340_r$ into powers of $r$

Pista grande:

Simplifica la cuadrática resultante y usa que la base supera cada dígito mostrado

Simplify the resulting quadratic and use a base larger than every digit shown

Solución:

En notación usual, la transacción dice $r^3-(4r^2+4r)=3r^2+4r.$ Así, $r(r^2-7r-8)=0,$ por lo que $r=8$ o $r=-1.$ Una base debe ser positiva y mayor que $4,$ por tanto $r=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In ordinary notation the transaction says $r^3-(4r^2+4r)=3r^2+4r.$ Thus $r(r^2-7r-8)=0,$ so $r=8$ or $r=-1.$ A numeral base must be positive and exceed $4,$ hence $r=8.$

Therefore, the correct answer is D.

18.

Los cambios anuales de población de un pueblo durante cuatro años consecutivos son, respectivamente, un aumento de $25\%,$ un aumento de $25\%,$ una disminución de $25\%,$ y una disminución de $25\%.$ El cambio neto, al porcentaje más cercano, es:

The yearly changes in the population census of a town for four consecutive years are, respectively, $25\%$ increase, $25\%$ increase, $25\%$ decrease, $25\%$ decrease. The net change over the four years, to the nearest percent, is:

$-12$

$-1$

$0$

$1$

$12$

Conceptos:porcentaje exponente estimación

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Representa cada aumento con un factor de $1.25$ y cada disminución con $0.75$

Represent each increase by a factor of $1.25$ and each decrease by $0.75$

Pista grande:

Compara $1.25^2\cdot0.75^2$ con $1$

Compare $1.25^2\cdot0.75^2$ with $1$

Solución:

La población final se multiplica por $(1.25)^2(0.75)^2=\frac{225}{256}\approx0.879.$ Esto es una disminución aproximada de $12.1\%,$ que se redondea a $12\%.$

Así, la respuesta correcta es A.

The final population is multiplied by $(1.25)^2(0.75)^2=\frac{225}{256}\approx0.879.$ This is a decrease of about $12.1\%,$ which rounds to $12\%.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Considera las gráficas de $y=2\log x$ y $y=\log2x.$ Podemos afirmar que:

Consider the graphs of $y=2\log x$ and $y=\log2x.$ We may say that:

no se intersecan

they do not intersect

se intersecan en exactamente $1$ punto

they intersect at $1$ point only

se intersecan en exactamente $2$ puntos

they intersect at $2$ points only

se intersecan en un número finito de puntos mayor que $2$

they intersect at a finite number of points but greater than $2$

coinciden

they coincide

Conceptos:logaritmo factorización geometría analítica

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Usa $2\log x=\log(x^2)$ para $x>0$

Use $2\log x=\log(x^2)$ for $x>0$

Pista grande:

Iguala los argumentos y respeta el dominio del logaritmo

Equate the logarithm arguments and respect the logarithm’s domain

Solución:

En el dominio $x>0,$ la igualdad exige $\log(x^2)=\log(2x),$ de modo que $x^2=2x.$ La única solución positiva es $x=2,$ lo que da una sola intersección.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

On the domain $x>0,$ equality requires $\log(x^2)=\log(2x),$ so $x^2=2x.$ The only positive solution is $x=2,$ giving exactly one intersection.

Therefore, the correct answer is B.

20.

El conjunto de puntos que satisface $y>2x$ y $y>4-x$ está contenido por completo en los cuadrantes:

The set of points satisfying the pair of inequalities $y>2x$ and $y>4-x$ is contained entirely in quadrants:

$\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ y $\mathrm{IV}$

$\mathrm{III}$ and $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I}$ y $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{IV}$

Conceptos:desigualdad geometría analítica

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Demuestra que todo punto factible tiene $y$ positivo

Show that every feasible point has positive $y$

Pista grande:

Comprueba si los puntos factibles pueden tener ambos signos de $x$

Check whether feasible points can have either sign of $x$

Solución:

Si $x\ge0,$ entonces $y>2x\ge0.$ Si $x<0,$ entonces $y>4-x>0.$ Todo punto factible está por encima del eje $x$ , mientras aparecen valores de $x$ positivos y negativos. La región está en los cuadrantes $\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If $x\ge0,$ then $y>2x\ge0.$ If $x<0,$ then $y>4-x>0.$ Thus every feasible point is above the $x$ -axis, while both positive and negative $x$ -values occur. The region lies in quadrants $\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}.$

Therefore, the correct answer is A.

21.

Las medianas $AD$ y $CE$ del triángulo $ABC$ se cortan en $M.$ El punto medio de $AE$ es $N.$ Si el área de $MNE$ es $k$ veces la de $ABC,$ entonces $k$ es:

Medians $AD$ and $CE$ of triangle $ABC$ intersect in $M.$ The midpoint of $AE$ is $N.$ Let the area of triangle $MNE$ be $k$ times the area of triangle $ABC.$ Then $k$ equals:

$\dfrac16$

$\dfrac18$

$\dfrac19$

$\dfrac1{12}$

$\dfrac1{16}$

Conceptos:mediana (geometría)baricentro razón de áreas determinante

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Usa coordenadas o vectores con $A$ como origen

Use coordinates or vectors with $A$ as the origin

Pista grande:

Los puntos $E,$ $N,$ y $M$ dividen las mismas dos direcciones de las medianas en fracciones sencillas

Points $E,$ $N,$ and $M$ divide the same two median directions by simple fractions

Solución:

Sean $A=\mathbf0,$ $B=\mathbf b,$ y $C=\mathbf c.$ Entonces $\begin{aligned} E&=\frac{\mathbf b}{2},\\ N&=\frac{\mathbf b}{4},\\ M&=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{3}. \end{aligned}$ Un cálculo de determinantes da $[MNE]=\frac1{24} \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|,$ mientras que $[ABC]=\frac12 \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|.$ Su razón es $\frac{1}{12}.$

Así, la respuesta correcta es D.

Set $A=\mathbf0,$ $B=\mathbf b,$ and $C=\mathbf c.$ Then $\begin{aligned} E&=\frac{\mathbf b}{2},\\ N&=\frac{\mathbf b}{4},\\ M&=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{3}. \end{aligned}$ A determinant calculation gives $[MNE]=\frac1{24} \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|,$ while $[ABC]=\frac12 \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|.$ Their ratio is $\frac{1}{12}.$

Thus, the correct answer is D.

22.

Si $3x^3-9x^2+kx-12$ es divisible por $x-3,$ también es divisible por:

If $3x^3-9x^2+kx-12$ is divisible by $x-3,$ then it is also divisible by:

$3x^2-x+4$

$3x^2-4$

$3x^2+4$

$3x-4$

$3x+4$

Conceptos:polinomio factorización sustitución

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Aplica el teorema del factor en $x=3$ para hallar $k$

Apply the factor theorem at $x=3$ to determine $k$

Pista grande:

Después extrae el factor $x-3$

Then factor out $x-3$

Solución:

Sea $P(x)=3x^3-9x^2+kx-12.$ Como $x-3$ es factor, $P(3)=81-81+3k-12=0,$ así que $k=4.$ La división da $P(x)=(x-3)(3x^2+4).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $P(x)=3x^3-9x^2+kx-12.$ Since $x-3$ is a factor, $P(3)=81-81+3k-12=0,$ so $k=4.$ Direct division gives $P(x)=(x-3)(3x^2+4).$

Therefore, the correct answer is C.

23.

Los puntos $P$ y $Q$ están en $AB$ y al mismo lado de su punto medio. $P$ divide $AB$ en razón $2:3,$ y $Q$ divide $AB$ en razón $3:4.$ Si $PQ=2,$ la longitud de $AB$ es:

Points $P$ and $Q$ are both in the line segment $AB$ and on the same side of its midpoint. $P$ divides $AB$ in the ratio $2:3,$ and $Q$ divides $AB$ in the ratio $3:4.$ If $PQ=2,$ then the length of $AB$ is:

$60$

$70$

$75$

$80$

$85$

Conceptos:razón y proporción fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Expresa $\frac{AP}{AB}$ y $\frac{AQ}{AB}$ a partir de las razones

Express $\frac{AP}{AB}$ and $\frac{AQ}{AB}$ from the two division ratios

Pista grande:

Su diferencia es la fracción de $AB$ que representa $PQ$

Their difference is the fraction of $AB$ represented by $PQ$

Solución:

Las razones dan $\frac{AP}{AB}=\frac25$ y $\frac{AQ}{AB}=\frac37.$ Entonces $PQ=(\frac{3}{7}-\frac{2}{5})AB=\frac{AB}{35}.$ Como $PQ=2,$ obtenemos $AB=70.$

Así, la respuesta correcta es B.

The division ratios give $\frac{AP}{AB}=\frac25$ and $\frac{AQ}{AB}=\frac37.$ Hence $PQ=(\frac{3}{7}-\frac{2}{5})AB=\frac{AB}{35}.$ Since $PQ=2,$ we obtain $AB=70.$

Thus, the correct answer is B.

24.

Hay treinta y un libros ordenados de izquierda a derecha por precio creciente. El precio de cada libro difiere en $\$2$ del de cada vecino. Por el precio del libro del extremo derecho se pueden comprar el libro central y uno adyacente. Entonces:

Thirty-one books are arranged from left to right in order of increasing prices. The price of each book differs by $\$2$ from that of each adjacent book. For the price of the book at the extreme right a customer can buy the middle book and an adjacent one. Then:

el libro adyacente está a la izquierda del central

the adjacent book referred to is at the left of the middle book

el libro central cuesta $\$36$

the middle book sells for $\$36$

el más barato cuesta $\$4$

the cheapest book sells for $\$4$

el más caro cuesta $\$64$

the most expensive book sells for $\$64$

ninguna es correcta

none of these are correct

Conceptos:sucesión aritmética dinero análisis por casos

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Sea $p$ el precio menor; identifica los precios de los libros $16$ y $31$

Let the cheapest price be $p$ ; identify the $16$ th and $31$ st prices

Pista grande:

Prueba los dos vecinos del libro central y descarta precios no positivos

Test the two books adjacent to the middle book and reject any case forcing a nonpositive price

Solución:

Los precios son $p,$ $p+2,$ $\ldots,$ $p+60,$ y el central es $p+30.$ Con el vecino derecho, $(p+30)+(p+32)=p+60,$ lo que da $p=-2,$ imposible. El vecino izquierdo da $(p+30)+(p+28)=p+60,$ así que $p=2.$ Por tanto, debe ser el vecino izquierdo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The prices are $p,$ $p+2,$ $\ldots,$ $p+60,$ and the middle price is $p+30.$ If the right neighbor is used, then $(p+30)+(p+32)=p+60,$ which gives $p=-2,$ impossible for a selling price. The left neighbor gives $(p+30)+(p+28)=p+60,$ so $p=2.$ Thus the adjacent book must be the one to the left.

Therefore, the correct answer is A.

25.

El triángulo $ABC$ es isósceles con base $AC.$ Los puntos $P$ y $Q$ están, respectivamente, en $CB$ y $AB,$ y $AC=AP=PQ=QB.$ La medida del ángulo $B$ es:

Triangle $ABC$ is isosceles with base $AC.$ Points $P$ and $Q$ are respectively in $CB$ and $AB$ and such that $AC=AP=PQ=QB.$ The number of degrees in angle $B$ is:

$25\dfrac57$

$26\dfrac13$

$30$

$40$

no se determina con la información dada

not determined by the information given

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Sea $\angle B=m$ y usa cada par de segmentos iguales para formar triángulos isósceles

Let $\angle B=m$ and use each pair of equal segments to create isosceles triangles

Pista grande:

Sigue los ángulos en los triángulos $BQP,$ $AQP,$ y $APC$

Chase the angles through triangles $BQP,$ $AQP,$ and $APC$

Solución:

Sea $\angle B=m.$ Como $PQ=QB,$ el triángulo $BQP$ da $\angle QPB=m$ y $\angle AQP=2m.$ Como $AP=PQ,$ el triángulo $AQP$ da $\angle QAP=2m,$ y $\angle QPA=180^\circ-4m.$ Como $B,P,C$ son colineales, $\angle APC=3m.$ Ahora $AP=AC$ da $\angle ACP=3m.$ Finalmente, $AB=BC$ hace que ambos ángulos de la base de $ABC$ sean $3m,$ y $m+3m+3m=180^\circ.$ Por lo tanto, $m=\frac{180^\circ}{7}=25\dfrac57^\circ.$

Así, la respuesta correcta es A.

Let $\angle B=m.$ Since $PQ=QB,$ triangle $BQP$ gives $\angle QPB=m$ and $\angle AQP=2m.$ Since $AP=PQ,$ triangle $AQP$ gives $\angle QAP=2m,$ so $\angle QPA=180^\circ-4m.$ As $B,P,C$ are collinear, $\angle APC=3m.$ Now $AP=AC$ gives $\angle ACP=3m.$ Finally $AB=BC$ makes both base angles of $ABC$ equal to $3m,$ and $m+3m+3m=180^\circ.$ Therefore $m=\frac{180^\circ}{7}=25\dfrac57^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

26.

En una sucesión aritmética, la suma de los primeros $50$ términos es $200,$ y la de los siguientes $50$ es $2700.$ El primer término es:

For a given arithmetic series the sum of the first $50$ terms is $200,$ and the sum of the next $50$ terms is $2700.$ The first term in the series is:

$-12\dfrac12$

$-21.5$

$-20.5$

$3$

$3.5$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Escribe la primera suma con el primer término $a$ y la diferencia $d$

Write the first sum in terms of the first term $a$ and common difference $d$

Pista grande:

Los siguientes $50$ términos comienzan con $a+50d$

The next $50$ terms have first term $a+50d$

Solución:

Las sumas dan $\begin{aligned} 25(2a+49d)&=200,\\ 25(2a+149d)&=2700. \end{aligned}$ Así, $2a+49d=8$ y $2a+149d=108.$ Al restar, $d=1,$ y luego $2a=-41,$ por lo que $a=-20.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The two sums give $\begin{aligned} 25(2a+49d)&=200,\\ 25(2a+149d)&=2700. \end{aligned}$ Thus $2a+49d=8$ and $2a+149d=108.$ Subtraction gives $d=1,$ and then $2a=-41,$ so $a=-20.5.$

Therefore, the correct answer is C.

27.

Dos polígonos equiangulares $P_1$ y $P_2$ tienen distinto número de lados; cada ángulo de $P_1$ mide $x$ grados y cada uno de $P_2$ , $kx$ grados, donde $k$ es entero mayor que $1.$ El número de pares posibles $(x,k)$ es:

Given two equiangular polygons $P_1$ and $P_2$ with different numbers of sides; each angle of $P_1$ is $x$ degrees and each angle of $P_2$ is $kx$ degrees, where $k$ is an integer greater than $1.$ The number of possibilities for the pair $(x,k)$ is:

infinito

infinite

finito, pero mayor que dos

finite, but greater than two

dos

two

uno

one

cero

zero

Conceptos:polígono equiángulo suma de ángulos desigualdad

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Cada ángulo de un polígono equiangular de $n$ lados mide $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

An equiangular $n$ -gon has angle $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

Pista grande:

Usa $kx<180^\circ$ y $k\ge2$ para limitar el ángulo menor $x$

Use $kx<180^\circ$ and $k\ge2$ to constrain the smaller angle $x$

Solución:

Todo ángulo poligonal mide al menos $60^\circ,$ y todo ángulo de un polígono convexo es menor que $180^\circ.$ Como $k\ge2$ y $kx<180^\circ,$ necesitamos $x<90^\circ.$ El único ángulo equiangular posible en $[60^\circ,90^\circ)$ es $x=60^\circ.$ Entonces $k=2$ da $kx=120^\circ,$ el ángulo de un hexágono regular; un $k$ mayor es imposible. Hay un solo par.

Así, la respuesta correcta es D.

Every polygon angle is at least $60^\circ,$ and every convex polygon angle is less than $180^\circ.$ Since $k\ge2$ and $kx<180^\circ,$ we need $x<90^\circ.$ The only possible equiangular polygon angle in $[60^\circ,90^\circ)$ is the triangle angle $x=60^\circ.$ Then $k=2$ gives $kx=120^\circ,$ the angle of a regular hexagon; larger $k$ is impossible. Hence there is one pair.

Thus, the correct answer is D.

28.

Al desarrollar $2137^{753}$ , el dígito de las unidades es:

If $2137^{753}$ is multiplied out, the units’ digit in the final product is:

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:dígito de las unidades exponenciación modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Solo importa el dígito de las unidades de la base

Only the units digit of the base matters

Pista grande:

Enumera el ciclo de cuatro potencias de $7$ módulo $10$

List the four-term cycle of powers of $7$ modulo $10$

Solución:

Las potencias de $7$ tienen dígitos finales $7,$ $9,$ $3,$ $1$ en un ciclo de longitud $4.$ Como $753\equiv1\pmod4,$ el dígito final de $2137^{753}$ es $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Powers of $7$ have units digits $7,$ $9,$ $3,$ $1$ in a cycle of length $4.$ Since $753\equiv1\pmod4,$ the units digit of $2137^{753}$ is $7.$

Therefore, the correct answer is D.

29.

Sean $r$ y $s$ las raíces de $ax^2+bx+c=0.$ La ecuación cuyas raíces son $ar+b$ y $as+b$ es:

Let the roots of $ax^2+bx+c=0$ be $r$ and $s.$ The equation with roots $ar+b$ and $as+b$ is:

$x^2-bx-ac=0$

$x^2-bx+ac=0$

$x^2+3bx+ca+2b^2=0$

$x^2+3bx-ca+2b^2=0$

$\begin{gathered}x^2+bx(2-a)\\{}+a^2c+b^2(a+1)=0\end{gathered}$

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Usa $r+s=-\frac{b}{a}$ y $rs=\frac{c}{a}$

Use $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}$

Pista grande:

Calcula la suma y el producto de $ar+b$ y $as+b$

Compute the sum and product of $ar+b$ and $as+b$

Solución:

Las raíces transformadas tienen suma $a(r+s)+2b=-b+2b=b$ y producto $\begin{gathered} (ar+b)(as+b)\\ =a^2rs+ab(r+s)+b^2\\ =ac. \end{gathered}$ Su ecuación mónica es $x^2-bx+ac=0.$

Así, la respuesta correcta es B.

The transformed roots have sum $a(r+s)+2b=-b+2b=b$ and product $\begin{gathered} (ar+b)(as+b)\\ =a^2rs+ab(r+s)+b^2\\ =ac. \end{gathered}$ Therefore their monic equation is $x^2-bx+ac=0.$

Thus, the correct answer is B.

30.

Si $\log_{10}2=a$ y $\log_{10}3=b,$ entonces $\log_5 12$ es igual a:

If $\log_{10}2=a$ and $\log_{10}3=b,$ then $\log_5 12$ equals:

$\dfrac{a+b}{a+1}$

$\dfrac{2a+b}{a+1}$

$\dfrac{a+2b}{1+a}$

$\dfrac{2a+b}{1-a}$

$\dfrac{a+2b}{1-a}$

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Usa la fórmula de cambio de base con logaritmos comunes

Use the change-of-base formula with common logarithms

Pista grande:

Escribe $12=2^2\cdot3$ y $5=\frac{10}{2}$

Write $12=2^2\cdot3$ and $5=\frac{10}{2}$

Solución:

Por cambio de base, $\begin{aligned} \log_5 12 &=\frac{\log12}{\log5}\\ &=\frac{2\log2+\log3} {\log10-\log2}\\ &=\frac{2a+b}{1-a}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By change of base, $\begin{aligned} \log_5 12 &=\frac{\log12}{\log5}\\ &=\frac{2\log2+\log3} {\log10-\log2}\\ &=\frac{2a+b}{1-a}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

31.

En el triángulo $ABC$ , la razón $AC:CB$ es $3:4.$ La bisectriz del ángulo exterior en $C$ corta la prolongación de $BA$ en $P$ ( $A$ está entre $P$ y $B$ ). La razón $PA:AB$ es:

In triangle $ABC$ the ratio $AC:CB$ is $3:4.$ The bisector of the exterior angle at $C$ intersects $BA$ extended at $P$ ( $A$ is between $P$ and $B$ ). The ratio $PA:AB$ is:

$1:3$

$3:4$

$4:3$

$3:1$

$7:1$

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Aplica el teorema de la bisectriz exterior a $PA$ y $PB$

Apply the exterior angle bisector theorem to the full lengths $PA$ and $PB$

Pista grande:

Usa $PB=PA+AB$

Use $PB=PA+AB$

Solución:

El teorema de la bisectriz exterior da $\frac{PA}{PB}=\frac{AC}{CB}=\frac34.$ Como $PB=PA+AB,$ escribe $PA=3t,$ $PB=4t.$ Entonces $AB=t,$ y $PA:AB=3:1.$

Así, la respuesta correcta es D.

The exterior angle bisector theorem gives $\frac{PA}{PB}=\frac{AC}{CB}=\frac34.$ Since $PB=PA+AB,$ write $PA=3t,$ $PB=4t.$ Then $AB=t,$ so $PA:AB=3:1.$

Thus, the correct answer is D.

32.

Un polígono regular de $n$ lados está inscrito en un círculo de radio $R.$ Su área es $3R^2.$ Entonces $n$ es:

A regular polygon of $n$ sides is inscribed in a circle of radius $R.$ The area of the polygon is $3R^2.$ Then $n$ equals:

$8$

$10$

$12$

$15$

$18$

Conceptos:polígono regular trigonometría descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Divide el polígono en $n$ triángulos congruentes con vértice en el centro

Divide the polygon into $n$ congruent triangles with vertex at the center

Pista grande:

Usa el área $\frac12nR^2\sin(\frac{360^\circ}{n})$ y prueba las opciones

Use area $\frac12nR^2\sin(\frac{360^\circ}{n})$ and test the choices

Solución:

El área es $\frac n2R^2\sin\frac{360^\circ}{n}.$ Para $n=12,$ resulta $6R^2\sin30^\circ=3R^2,$ como se requiere.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The polygon’s area is $\frac n2R^2\sin\frac{360^\circ}{n}.$ For $n=12,$ this becomes $6R^2\sin30^\circ=3R^2,$ as required.

Therefore, the correct answer is C.

33.

El número de soluciones de $2^{2x}-3^{2y}=55,$ donde $x$ y $y$ son enteros, es:

The number of solutions of $2^{2x}-3^{2y}=55,$ in which $x$ and $y$ are integers, is:

$0$

$1$

$2$

$3$

más de tres, pero finito

more than three, but finite

Conceptos:diferencia de cuadrados Ecuación diofántica factor

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Factoriza el lado izquierdo como diferencia de cuadrados

Factor the left side as a difference of squares

Pista grande:

Los dos factores positivos tienen producto $55$ y la misma paridad

The two positive factors multiply to $55$ and have the same parity

Solución:

Factorizando, $(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55.$ Primero, $x>0.$ Si $y\le0,$ entonces $55<4^x\le56,$ lo cual es imposible para una potencia entera de $4.$ Por tanto, $y>0,$ y ambos factores son enteros impares positivos. El par de factores $5,$ $11$ da $2^{x+1}=16$ y $2\cdot3^y=6,$ por lo que $(x,y)=(3,1).$ El par de factores $1,$ $55$ exigiría $2^x=28,$ imposible. Hay una sola solución.

Así, la respuesta correcta es B.

Factor: $(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55.$ First, $x>0.$ If $y\le0,$ then $55<4^x\le56,$ which is impossible for an integral power of $4.$ Hence $y>0,$ so both factors are positive odd integers. The factor pair $5,$ $11$ gives $2^{x+1}=16$ and $2\cdot3^y=6,$ so $(x,y)=(3,1).$ The factor pair $1,$ $55$ would require $2^x=28,$ impossible. Hence there is exactly one solution.

Thus, the correct answer is B.

34.

Sea $S$ el conjunto de valores de $\frac{2x+3}{x+2}$ cuando $x$ pertenece al intervalo $x\ge0.$ Sea $M$ la mínima cota superior de $S,$ y sea $m$ la máxima cota inferior de $S.$ Podemos afirmar:

Let $S$ be the set of values assumed by the fraction $\frac{2x+3}{x+2}$ when $x$ is any member of the interval $x\ge0.$ Let $M$ be the least upper bound of $S,$ and let $m$ be the greatest lower bound of $S.$ We may then say:

$m$ está en $S,$ pero $M$ no está en $S$

$m$ is in $S,$ but $M$ is not in $S$

$M$ está en $S,$ pero $m$ no está en $S$

$M$ is in $S,$ but $m$ is not in $S$

tanto $m$ como $M$ están en $S$

both $m$ and $M$ are in $S$

ni $m$ ni $M$ están en $S$

neither $m$ nor $M$ is in $S$

$M$ no existe ni dentro ni fuera de $S$

$M$ does not exist either in or outside $S$

Conceptos:función desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Reescribe la fracción como $2-\frac1{x+2}$

Rewrite the fraction as $2-\frac1{x+2}$

Pista grande:

Evalúa el extremo inferior y examina el límite al crecer $x$

Evaluate the lower endpoint and examine the limit as $x$ increases

Solución:

Tenemos $\frac{2x+3}{x+2}=2-\frac1{x+2}.$ Para $x\ge0,$ crece desde $\frac{3}{2}$ hacia $2$ sin alcanzar $2$ . Así, $S=[\frac32,2),$ por lo que la máxima cota inferior $m=\frac{3}{2}$ pertenece a $S,$ pero la mínima cota superior $M=2$ no.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $\frac{2x+3}{x+2}=2-\frac1{x+2}.$ For $x\ge0,$ this increases from $\frac{3}{2}$ toward $2$ without reaching $2.$ Thus $S=[\frac32,2),$ so its greatest lower bound $m=\frac{3}{2}$ belongs to $S,$ while its least upper bound $M=2$ does not.

Therefore, the correct answer is A.

35.

El número $695$ se escribe en base factorial, es decir, $\begin{aligned} 695={}&a_1+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!\\ &+\cdots+a_n\cdot n!, \end{aligned}$ donde $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_n$ son enteros tales que $0\le a_k\le k,$ y $n!$ significa $n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1.$ Halla $a_4.$

The number $695$ is to be written with a factorial base of numeration, that is, $\begin{aligned} 695={}&a_1+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!\\ &+\cdots+a_n\cdot n!, \end{aligned}$ where $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_n$ are integers such that $0\le a_k\le k,$ and $n!$ means $n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1.$ Find $a_4.$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:base numérica factorial

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Comienza con el mayor factorial que no supere $695$

Begin with the largest factorial not exceeding $695$

Pista grande:

Tras quitar la contribución de $5!$ , divide el resto entre $4!$

After removing the $5!$ contribution, divide the remainder by $4!$

Solución:

Como $5!=120,$ $695=5\cdot120+95.$ Luego $4!=24,$ y $95=3\cdot24+23.$ Por tanto, el coeficiente $a_4$ es $3.$

Así, la respuesta correcta es D.

Since $5!=120,$ $695=5\cdot120+95.$ Next $4!=24,$ and $95=3\cdot24+23.$ Therefore the coefficient $a_4$ is $3.$

Thus, the correct answer is D.

36.

En el triángulo $ABC$ , la mediana desde $A$ es perpendicular a la mediana desde $B.$ Si $BC=7$ y $AC=6,$ halla $AB.$

In triangle $ABC$ the median from $A$ is perpendicular to the median from $B.$ If $BC=7$ and $AC=6,$ find the length of $AB.$

$4$

$\sqrt{17}$

$4.25$

$2\sqrt5$

$4.5$

Conceptos:mediana (geometría)vector geometría analítica

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Coloca $A$ en el origen y representa $B$ y $C$ mediante vectores

Put $A$ at the origin and represent $B$ and $C$ by vectors

Pista grande:

Escribe vectores directores de las medianas e iguala su producto escalar a cero

Write direction vectors for the two medians and set their dot product to zero

Solución:

Sean $A=\mathbf0,$ $B=\mathbf b,$ y $C=\mathbf c,$ con $|\mathbf b|=\ell,$ $|\mathbf c|=6,$ y $|\mathbf c-\mathbf b|=7.$ Las direcciones son $\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}$ desde $A$ y $\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b$ desde $B.$ Su producto escalar es cero, así que $(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0.$ Usando $\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2},$ se obtiene $\ell^2=17.$ Por tanto, $AB=\sqrt{17}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $A=\mathbf0,$ $B=\mathbf b,$ and $C=\mathbf c,$ with $|\mathbf b|=\ell,$ $|\mathbf c|=6,$ and $|\mathbf c-\mathbf b|=7.$ The median directions are $\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}$ from $A$ and $\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b$ from $B.$ Their dot product is zero, so $(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0.$ Using $\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2},$ this simplifies to $\ell^2=17.$ Hence $AB=\sqrt{17}.$

Therefore, the correct answer is B.

37.

En una carrera de distancia $d$ a velocidad uniforme, $A$ vence a $B$ por $20$ yardas, $B$ a $C$ por $10$ yardas, y $A$ a $C$ por $28$ yardas. Entonces $d,$ en yardas, es:

In racing over a distance $d$ at uniform speed, $A$ can beat $B$ by $20$ yards, $B$ can beat $C$ by $10$ yards, and $A$ can beat $C$ by $28$ yards. Then $d,$ in yards, equals:

no se determina con la información dada

not determined by the given information

$58$

$100$

$116$

$120$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo razón y proporción ecuación racional

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Convierte cada margen de victoria en una razón de velocidades

Translate each winning margin into a ratio of speeds

Pista grande:

Multiplica $\frac{v_B}{v_A}$ y $\frac{v_C}{v_B}$ para obtener $\frac{v_C}{v_A}$

Multiply the ratios $\frac{v_B}{v_A}$ and $\frac{v_C}{v_B}$ to get $\frac{v_C}{v_A}$

Solución:

Los márgenes dan $\begin{aligned} \frac{v_B}{v_A}&=\frac{d-20}{d},\\ \frac{v_C}{v_B}&=\frac{d-10}{d},\\ \frac{v_C}{v_A}&=\frac{d-28}{d}. \end{aligned}$ Por tanto, $\frac{(d-20)(d-10)}{d^2}=\frac{d-28}{d}.$ Al desarrollar y simplificar, $2d=200,$ así que $d=100.$

Así, la respuesta correcta es C.

The margins give $\begin{aligned} \frac{v_B}{v_A}&=\frac{d-20}{d},\\ \frac{v_C}{v_B}&=\frac{d-10}{d},\\ \frac{v_C}{v_A}&=\frac{d-28}{d}. \end{aligned}$ Therefore $\frac{(d-20)(d-10)}{d^2}=\frac{d-28}{d}.$ Expanding and simplifying yields $2d=200,$ so $d=100.$

Thus, the correct answer is C.

38.

El triángulo $ABC$ está inscrito en un semicírculo de radio $r$ , con su base $AB$ sobre el diámetro $AB.$ El punto $C$ no coincide con $A$ ni $B.$ Sea $s=AC+BC.$ Para toda posición permitida de $C:$

Triangle $ABC$ is inscribed in a semicircle of radius $r$ so that its base $AB$ coincides with diameter $AB.$ Point $C$ does not coincide with either $A$ or $B.$ Let $s=AC+BC.$ Then, for all permissible positions of $C:$

$s^2\le8r^2$

$s^2=8r^2$

$s^2\ge8r^2$

$s^2\le4r^2$

$s^2=4r^2$

Conceptos:ángulo inscrito triángulo rectángulo Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

El ángulo subtendido por el diámetro es recto

The angle subtended by the diameter is a right angle

Pista grande:

Si los catetos son $p$ y $q,$ compara $(p+q)^2$ con $2(p^2+q^2)$

If the legs are $p$ and $q,$ compare $(p+q)^2$ with $2(p^2+q^2)$

Solución:

Por el teorema de Tales, $ABC$ es rectángulo en $C.$ Sean $p=AC$ y $q=BC.$ Entonces $p^2+q^2=AB^2=4r^2.$ Como $(p-q)^2\ge0,$ tenemos $2pq\le p^2+q^2.$ Por tanto, $s^2=(p+q)^2\le2(p^2+q^2)=8r^2.$

Así, la respuesta correcta es A.

By Thales’ theorem, $ABC$ is right at $C.$ Put $p=AC$ and $q=BC.$ Then $p^2+q^2=AB^2=4r^2.$ Since $(p-q)^2\ge0,$ we have $2pq\le p^2+q^2.$ Therefore $s^2=(p+q)^2\le2(p^2+q^2)=8r^2.$

Thus, the correct answer is A.

39.

Se toman cinco puntos dentro o sobre un cuadrado de lado $1.$ Sea $a$ el menor número tal que siempre puede elegirse un par cuya distancia sea menor o igual que $a.$ Entonces $a$ es:

Any five points are taken inside or on a square with side length $1.$ Let $a$ be the smallest possible number with the property that it is always possible to select one pair of points from these five such that the distance between them is equal to or less than $a.$ Then $a$ is:

$\dfrac{\sqrt3}{3}$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\dfrac{2\sqrt2}{3}$

$1$

$\sqrt2$

Conceptos:principio del palomar argumento extremal cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Divide el cuadrado unidad en cuatro cuadrados congruentes

Partition the unit square into four congruent smaller squares

Pista grande:

Para demostrar que la cota es exacta, busca cinco puntos cuya distancia mínima la alcance

To prove sharpness, look for five points whose closest-pair distance reaches the bound

Solución:

Divide el cuadrado en cuatro cuadrados de lado $\frac{1}{2}.$ Dos de los cinco puntos están en el mismo cuadrado pequeño, así que su distancia no supera su diagonal, $\frac{\sqrt2}{2}.$ La cota se alcanza colocando puntos en las cuatro esquinas y el centro: la distancia mínima es $\frac{\sqrt2}{2}.$ Por ello, el menor valor garantizado es $\frac{\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Divide the square into four squares of side $\frac{1}{2}.$ Two of the five points lie in the same small square, so their distance is at most its diagonal, $\frac{\sqrt2}{2}.$ This bound is attainable by placing points at the four corners and the center: the shortest distance is then $\frac{\sqrt2}{2}.$ Hence the least guaranteed value is $\frac{\sqrt2}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

40.

Halla el valor mínimo de $\sqrt{x^2+y^2}$ si $5x+12y=60.$

Find the minimum value of $\sqrt{x^2+y^2}$ if $5x+12y=60.$

$\dfrac{60}{13}$

$\dfrac{13}{5}$

$\dfrac{13}{12}$

$1$

$0$

Conceptos:fórmula de la distancia Desigualdad de Cauchy-Schwarz optimización

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Interpreta $\sqrt{x^2+y^2}$ como la distancia al origen

Interpret $\sqrt{x^2+y^2}$ as distance from the origin

Pista grande:

Aplica Cauchy-Schwarz a $5x+12y$

Apply Cauchy-Schwarz to $5x+12y$

Solución:

Por Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2}. \end{aligned}$ Así, la distancia es al menos $\frac{60}{13}.$ Hay igualdad cuando $(x,y)$ es proporcional a $(5,12),$ por lo que el mínimo es $\frac{60}{13}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2}. \end{aligned}$ Thus the distance is at least $\frac{60}{13}.$ Equality occurs when $(x,y)$ is proportional to $(5,12),$ so the minimum is $\frac{60}{13}.$

Therefore, the correct answer is A.