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1985 AMC 12 Problema 27

Intenta el Problema 27 del 1985 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

27.

Considera una sucesión x1,x_1, x2,x_2, x3,x_3, …,\ldots, definida por x1=33,x2=(33)33. \begin{aligned} x_1&=\sqrt[3]{3},\\ x_2&=(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}}. \end{aligned} y, en general, xn=(xn−1)33 x_n=(x_{n-1})^{\sqrt[3]{3}} para n>1.n\gt1. ¿Cuál es el menor valor de nn para el que xnx_n es un entero?

Consider a sequence x1,x_1, x2,x_2, x3,x_3, …,\ldots, defined by x1=33,x2=(33)33. \begin{aligned} x_1&=\sqrt[3]{3},\\ x_2&=(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}}. \end{aligned} and in general xn=(xn−1)33 x_n=(x_{n-1})^{\sqrt[3]{3}} for n>1.n\gt1. What is the smallest value of nn for which xnx_n is an integer?

22

33

44

99

2727

Respuesta: C
Conceptos:exponentedesigualdadradicalrecursión
Nivel de dificultad: 2380
Pista pequeña:

Sea c=33c=\sqrt[3]{3} y sigue el exponente de 33

Let c=33c=\sqrt[3]{3} and track the exponent of 33

Pista grande:

Demuestra que xn=3c n−13x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}} y examina los primeros cuatro términos

Show that xn=3c n−13x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}} and examine the first four terms

Solución:

Sea c=33.c=\sqrt[3]{3}. Al aplicar repetidamente la recurrencia se obtiene xn=3c n−13, x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}, de modo que x4=3c33=3.x_4=3^{\frac{c^3}{3}}=3. Falta descartar los tres primeros términos. La sucesión es estrictamente creciente. Además, c<32,c\lt\frac{3}{2}, así que x2=cc<(32)32<2. x_2=c^c \lt\left(\frac32\right)^{\frac{3}{2}} \lt2. Finalmente, x3=31c.x_3=3^{\frac{1}{c}}. Como 2c<232<3,2^c\lt2^{\frac{3}{2}}\lt3, tenemos x3>2,x_3\gt2, mientras que 1c<1\frac{1}{c}\lt1 da x3<3.x_3\lt3. Por tanto, x1,x2,x3x_1,x_2,x_3 no son enteros, y el primer término entero es x4.x_4.

La respuesta correcta es C.

Let c=33.c=\sqrt[3]{3}. Repeated application of the recurrence gives xn=3c n−13, x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}, so x4=3c33=3.x_4=3^{\frac{c^3}{3}}=3. It remains to rule out the first three terms. The sequence is strictly increasing. Also c<32,c\lt\frac{3}{2}, so x2=cc<(32)32<2. x_2=c^c \lt\left(\frac32\right)^{\frac{3}{2}} \lt2. Finally x3=31c.x_3=3^{\frac{1}{c}}. Since 2c<232<3,2^c\lt2^{\frac{3}{2}}\lt3, we have x3>2,x_3\gt2, while 1c<1\frac{1}{c}\lt1 gives x3<3.x_3\lt3. Thus x1,x2,x3x_1,x_2,x_3 are not integers, and the first integral term is x4.x_4.

Therefore the correct answer is C.

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