Soluciones del 1985 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Si $2x+1=8,$ entonces $4x+1=$

If $2x+1=8,$ then $4x+1=$

$15$

$16$

$17$

$18$

$19$

Conceptos:ecuación lineal sustitución

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Resuelve primero la ecuación dada para hallar $x$

First solve the given equation for $x$

Pista grande:

Sustituye $x=\frac{7}{2}$ en $4x+1$

Substitute $x=\frac{7}{2}$ into $4x+1$

Solución:

La ecuación dada implica $2x=7,$ de modo que $x=\frac{7}{2}.$ Por lo tanto, $4x+1=4(\frac{7}{2})+1=15.$

Así, la respuesta correcta es A.

The given equation gives $2x=7,$ so $x=\frac{7}{2}.$ Therefore $4x+1=4(\frac{7}{2})+1=15.$

Thus the correct answer is A.

2.

En un juego de arcade, el “monstruo” es el sector sombreado de un círculo de radio $1$ cm, como se muestra en la figura. La parte que falta (la boca) tiene un ángulo central de $60^\circ.$ ¿Cuál es el perímetro del monstruo en centímetros?

In an arcade game, the “monster” is the shaded sector of a circle of radius $1$ cm, as shown in the figure. The missing piece (the mouth) has central angle $60^\circ.$ What is the perimeter of the monster in cm?

$\pi+2$

$2\pi$

$\frac53\pi$

$\frac56\pi+2$

$\frac53\pi+2$

Conceptos:arco círculo circunferencia perímetro

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

El arco circular restante tiene un ángulo central de $300^\circ$

The remaining circular arc has central angle $300^\circ$

Pista grande:

Suma la longitud de ese arco y la de los dos radios expuestos

Add the length of that arc to the two exposed radii

Solución:

La parte curva es $\frac{300^\circ}{360^\circ}=\frac{5}{6}$ de una circunferencia unitaria, así que su longitud es $(\frac{5}{6})(2\pi)=\frac{5\pi}{3}.$ Los dos lados rectos de la boca son radios de longitud total $2.$ Por tanto, el perímetro es $\frac{5\pi}{3}+2.$

Así, la respuesta correcta es E.

The curved part is $\frac{300^\circ}{360^\circ}=\frac{5}{6}$ of a unit circle, so its length is $(\frac{5}{6})(2\pi)=\frac{5\pi}{3}.$ The two straight sides of the mouth are radii of total length $2.$ Hence the perimeter is $\frac{5\pi}{3}+2.$

Thus the correct answer is E.

3.

En el triángulo rectángulo $\triangle ABC$ , cuyos catetos miden $5$ y $12,$ se trazan arcos de círculos: uno con centro $A$ y radio $12,$ y el otro con centro $B$ y radio $5.$ Intersecan la hipotenusa en $M$ y $N.$ Entonces la longitud de $MN$ es

In right $\triangle ABC$ with legs $5$ and $12,$ arcs of circles are drawn, one with center $A$ and radius $12,$ the other with center $B$ and radius $5.$ They intersect the hypotenuse in $M$ and $N.$ Then $MN$ has length

$2$

$\frac{13}{5}$

$3$

$4$

$\frac{24}{5}$

Conceptos:círculo fórmula de la distancia Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Halla primero la hipotenusa del triángulo rectángulo $5$ - $12$

First find the hypotenuse of the $5$ - $12$ -right triangle

Pista grande:

Mide desde $A$ las posiciones de las dos intersecciones con los arcos

Measure the positions of both arc intersections from $A$

Solución:

La hipotenusa mide $13.$ Como $AM=12,$ el punto $M$ está a $12$ unidades de $A.$ Además, $BN=5,$ por lo que $AN=AB-BN=13-5=8.$ Por tanto, $MN=AM-AN$ $=12-8=4.$

Así, la respuesta correcta es D.

The hypotenuse has length $13.$ Since $AM=12,$ point $M$ is $12$ units from $A.$ Also $BN=5,$ so $AN=AB-BN=13-5=8.$ Therefore $MN=AM-AN$ $=12-8=4.$

Thus the correct answer is D.

4.

Una bolsa grande contiene monedas de un centavo, diez centavos y veinticinco centavos. Hay el doble de monedas de diez centavos que de un centavo, y el triple de monedas de veinticinco centavos que de diez centavos. Una cantidad de dinero que podría haber en la bolsa es

A large bag of coins contains pennies, dimes and quarters. There are twice as many dimes as pennies and three times as many quarters as dimes. An amount of money which could be in the bag is

$\$306$

$\$333$

$\$342$

$\$348$

$\$360$

Conceptos:divisibilidad dinero razón y proporción

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Sea $p$ la cantidad de monedas de un centavo

Let the number of pennies be $p$

Pista grande:

Expresa el valor total en centavos como múltiplo de $p$

Express the total value in cents as a multiple of $p$

Solución:

Si hay $p$ monedas de un centavo, hay $2p$ monedas de diez centavos y $6p$ de veinticinco centavos. Su valor total es $p+10(2p)+25(6p)=171p$ centavos. De las cantidades dadas en dólares, es posible $34200=171\cdot200$ centavos.

Así, la respuesta correcta es C.

If there are $p$ pennies, there are $2p$ dimes and $6p$ quarters. Their total value is $p+10(2p)+25(6p)=171p$ cents. Of the listed dollar amounts, $34200=171\cdot200$ cents is possible.

Thus the correct answer is C.

5.

¿Qué términos deben eliminarse de la suma $\frac12+\frac14+\frac16+\frac18+\frac1{10}+\frac1{12}$ para que la suma de los términos restantes sea $1$ ?

Which terms must be removed from the sum $\frac12+\frac14+\frac16+\frac18+\frac1{10}+\frac1{12}$ if the sum of the remaining terms is to equal $1?$

$\frac14$ y $\frac18$

$\frac14$ and $\frac18$

$\frac14$ y $\frac1{12}$

$\frac14$ and $\frac1{12}$

$\frac18$ y $\frac1{12}$

$\frac18$ and $\frac1{12}$

$\frac16$ y $\frac1{10}$

$\frac16$ and $\frac1{10}$

$\frac18$ y $\frac1{10}$

$\frac18$ and $\frac1{10}$

Conceptos:fracción operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Calcula cuánto excede de $1$ la suma completa

Compute how much larger the full sum is than $1$

Pista grande:

Usa un denominador común de $120$ para comparar los pares candidatos

Use a common denominator of $120$ to compare the candidate pairs

Solución:

La suma completa es $\begin{aligned} \frac{\substack{60+30+20\\{}+15+12+10}}{120} &=\frac{147}{120}. \end{aligned}$ Por lo tanto, los términos eliminados deben sumar $\frac{27}{120}=\frac{9}{40}.$ Como $\frac{1}{8}+\frac{1}{10}$ $=\frac{5}{40}+\frac{4}{40}$ $=\frac{9}{40},$ esos son los términos requeridos.

Así, la respuesta correcta es E.

The full sum is $\begin{aligned} \frac{\substack{60+30+20\\{}+15+12+10}}{120} &=\frac{147}{120}. \end{aligned}$ The removed terms must therefore total $\frac{27}{120}=\frac{9}{40}.$ Since $\frac{1}{8}+\frac{1}{10}$ $=\frac{5}{40}+\frac{4}{40}$ $=\frac{9}{40},$ those are the required terms.

Thus the correct answer is E.

6.

Se elegirá un estudiante de una clase de niños y niñas para representar a la clase. Cada estudiante tiene la misma probabilidad de ser elegido, y la probabilidad de elegir a un niño es $\frac23$ de la probabilidad de elegir a una niña. La razón entre la cantidad de niños y el total de estudiantes es

One student in a class of boys and girls is to be chosen to represent the class. Each student is equally likely to be chosen and the probability that a boy is chosen is $\frac23$ of the probability that a girl is chosen. The ratio of the number of boys to the total number of boys and girls is

$\frac13$

$\frac25$

$\frac12$

$\frac35$

$\frac23$

Conceptos:probabilidad básica razón y proporción

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

La misma probabilidad para cada estudiante hace que las probabilidades de selección sean proporcionales a las cantidades de estudiantes

Equal likelihood makes the selection probabilities proportional to the class counts

Pista grande:

Una razón de niños a niñas de $2:3$ tiene cinco partes iguales en total

A boys-to-girls ratio of $2:3$ uses five equal parts in all

Solución:

Como cada estudiante tiene la misma probabilidad de ser elegido, la cantidad de niños es $\frac{2}{3}$ de la cantidad de niñas. Así, la razón entre niños y niñas es $2:3,$ y los niños constituyen $\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$ de la clase.

Así, la respuesta correcta es B.

Because every student is equally likely to be selected, the number of boys is $\frac{2}{3}$ of the number of girls. Thus the boys-to-girls ratio is $2:3,$ and boys make up $\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$ of the class.

Thus the correct answer is B.

7.

En algunos lenguajes de programación (como APL), cuando una expresión algebraica no contiene paréntesis, las operaciones se agrupan de derecha a izquierda. Así, $a\times b-c$ en esos lenguajes significa lo mismo que $a(b-c)$ en la notación algebraica usual. Si $a\div b-c+d$ se evalúa en uno de esos lenguajes, el resultado en la notación algebraica usual sería

In some computer languages (such as APL), when there are no parentheses in an algebraic expression, the operations are grouped from right to left. Thus, $a\times b-c$ in such languages means the same as $a(b-c)$ in ordinary algebraic notation. If $a\div b-c+d$ is evaluated in such a language, the result in ordinary algebraic notation would be

$\frac ab-c+d$

$\frac ab-c-d$

$\frac{d+c-b}{a}$

$\frac{a}{b-c+d}$

$\frac{a}{b-c-d}$

Conceptos:manipulación algebraica orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Comienza con la operación situada más a la derecha, $c+d$

Begin with the rightmost operation, $c+d$

Pista grande:

Después resta ese resultado de $b,$ y solo entonces divide $a$

Next subtract that result from $b,$ and only then divide $a$

Solución:

Al agrupar primero desde la derecha se obtiene $c+d.$ Al restar este resultado de $b$ se obtiene $b-(c+d)=b-c-d.$ Finalmente, al dividir $a$ entre esa cantidad se obtiene $\frac{a}{b-c-d}.$

Así, la respuesta correcta es E.

Grouping from the right first gives $c+d.$ Subtracting this result from $b$ gives $b-(c+d)=b-c-d.$ Finally, dividing $a$ by that quantity gives $\frac{a}{b-c-d}.$

Thus the correct answer is E.

8.

Sean $a,$ $a',$ $b,$ $b'$ números reales, con $a$ y $a'$ distintos de cero. La solución de $ax+b=0$ es menor que la solución de $a'x+b'=0$ si y solo si

Let $a,$ $a',$ $b,$ $b'$ be real numbers with $a$ and $a'$ nonzero. The solution to $ax+b=0$ is less than the solution to $a'x+b'=0$ if and only if

$a'b\lt ab'$

$ab'\lt a'b$

$ab\lt a'b'$

$\frac ba\lt\frac{b'}{a'}$

$\frac{b'}{a'}\lt\frac ba$

Conceptos:desigualdad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Escribe la solución de cada ecuación sin multiplicar en cruz

Write each equation’s solution without cross-multiplying

Pista grande:

Multiplicar una desigualdad por $-1$ invierte su sentido

Multiplying an inequality by $-1$ reverses its direction

Solución:

Las dos soluciones son $-\frac{b}{a}$ y $-\frac{b'}{a'}.$ Por tanto, la comparación dada es $-\frac ba\lt-\frac{b'}{a'}.$ Al multiplicar ambos lados por $-1$ , se invierte la desigualdad y se obtiene $\frac{b}{a}\gt \frac{b'}{a'},$ equivalentemente, $\frac{b'}{a'}\lt \frac{b}{a}.$ No es válido multiplicar por la cantidad $aa'$ , cuyo signo se desconoce.

Así, la respuesta correcta es E.

The two solutions are $-\frac{b}{a}$ and $-\frac{b'}{a'}.$ Thus the given comparison is $-\frac ba\lt-\frac{b'}{a'}.$ Multiplying both sides by $-1$ reverses the inequality and gives $\frac{b}{a}\gt \frac{b'}{a'},$ equivalently $\frac{b'}{a'}\lt \frac{b}{a}.$ No multiplication by the unknown-sign quantity $aa'$ is valid.

Thus the correct answer is E.

9.

Los enteros positivos impares $1,$ $3,$ $5,$ $7,$ $\ldots,$ se disponen en cinco columnas siguiendo el patrón mostrado. Contando desde la izquierda, la columna en la que aparece $1985$ es la $\begin{array}{ccccc} &1&3&5&7\\ 15&13&11&9&\\ &17&19&21&23\\ 31&29&27&25&\\ &33&35&37&39\\ 47&45&43&41&\\ &49&51&53&55 \end{array}$

The odd positive integers, $1,$ $3,$ $5,$ $7,$ $\ldots,$ are arranged in five columns continuing with the pattern shown. Counting from the left, the column in which $1985$ appears is the $\begin{array}{ccccc} &1&3&5&7\\ 15&13&11&9&\\ &17&19&21&23\\ 31&29&27&25&\\ &33&35&37&39\\ 47&45&43&41&\\ &49&51&53&55 \end{array}$

primera

first

segunda

second

tercera

third

cuarta

fourth

quinta

fifth

Conceptos:sucesión aritmética aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Observa los elementos que comienzan cada fila de izquierda a derecha

Look at the entries that begin each left-to-right row

Pista grande:

Relaciona $1985$ con un múltiplo cercano de $16$

Relate $1985$ to a nearby multiple of $16$

Solución:

El último número de cada fila que va de derecha a izquierda es $16k-1,$ y la fila siguiente comienza con $16k+1$ en la segunda columna. Como $1985=16\cdot124+1,$ comienza una fila de ese tipo y está en la segunda columna.

Así, la respuesta correcta es B.

The last number in each right-to-left row is $16k-1,$ and the next row begins with $16k+1$ in the second column. Since $1985=16\cdot124+1,$ it begins such a row and lies in the second column.

Thus the correct answer is B.

10.

Un círculo arbitrario puede intersecar la gráfica de $y=\sin x$ en

An arbitrary circle can intersect the graph of $y=\sin x$ in

a lo sumo $2$ puntos

at most $2$ points

a lo sumo $4$ puntos

at most $4$ points

a lo sumo $6$ puntos

at most $6$ points

a lo sumo $8$ puntos

at most $8$ points

más de $16$ puntos

more than $16$ points

Conceptos:círculo conteo de intersecciones trigonometría

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Considera un círculo tangente al eje $x$ en el origen

Consider a circle tangent to the $x$ -axis at the origin

Pista grande:

Un radio muy grande mantiene el arco inferior cerca del eje a lo largo de muchas ondas sinusoidales

A very large radius keeps the lower arc close to the axis across many sine waves

Solución:

Toma un círculo tangente al eje $x$ en el origen, con su centro muy por encima del eje. Al crecer su radio, el arco inferior se mantiene positivo pero arbitrariamente cerca del eje $x$ en un intervalo arbitrariamente largo. En cada arco positivo de $y=\sin x,$ la curva seno vale $0$ en los extremos y se eleva muy por encima del arco circular entre ellos, lo que produce dos intersecciones. Por lo tanto, un radio suficientemente grande produce más de $16$ intersecciones.

Así, la respuesta correcta es E.

Take a circle tangent to the $x$ -axis at the origin with its center high above the axis. As its radius grows, its lower arc stays positive but arbitrarily close to the $x$ -axis over an arbitrarily long interval. On each positive arch of $y=\sin x,$ the sine curve is $0$ at the endpoints and rises well above this circular arc in between, producing two crossings. Choosing a sufficiently large radius therefore produces more than $16$ intersections.

Thus the correct answer is E.

11.

¿Cuántos reordenamientos distinguibles de las letras de CONTEST tienen las dos vocales al principio? (Por ejemplo, OETCNST es uno de ellos, pero OTETSNC no).

How many distinguishable rearrangements of the letters in CONTEST have both the vowels first? (For instance, OETCNST is one such arrangement, but OTETSNC is not.)

$60$

$120$

$240$

$720$

$2520$

Conceptos:principio de multiplicación permutaciones de multiconjuntos permutaciones

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Ordena las dos vocales en las dos primeras posiciones

Order the two vowels in the first two positions

Pista grande:

Permuta las cinco letras restantes teniendo en cuenta la $T$ repetida

Permute the remaining five letters while accounting for the repeated $T$

Solución:

Las vocales $O,E$ pueden ocupar primero $2!$ órdenes. Las letras restantes $C,N,T,S,T$ se pueden ordenar de $\frac{5!}{2!}=60$ formas distinguibles porque las dos $T$ son iguales. El total es $2\cdot60=120.$

Así, la respuesta correcta es B.

The vowels $O,E$ can be ordered first in $2!$ ways. The remaining letters $C,N,T,S,T$ can be arranged in $\frac{5!}{2!}=60$ distinguishable ways because the two $T$ ’s agree. The total is $2\cdot60=120.$

Thus the correct answer is B.

12.

Sean $p,$ $q$ y $r$ números primos distintos, donde $1$ no se considera primo. ¿Cuál de los siguientes es el menor cubo perfecto positivo que tiene a $n=pq^2r^4$ como divisor?

Let $p,$ $q$ and $r$ be distinct prime numbers, where $1$ is not considered a prime. Which of the following is the smallest positive perfect cube having $n=pq^2r^4$ as a divisor?

$p^8q^8r^8$

$(pq^2r^2)^3$

$(p^2q^2r^2)^3$

$(pqr^2)^3$

$4p^3q^3r^3$

Conceptos:divisibilidad potencia perfecta factorización en primos

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Todo exponente primo de un cubo perfecto es múltiplo de $3$

Every prime exponent in a perfect cube is a multiple of $3$

Pista grande:

Eleva los exponentes $1,$ $2,$ y $4$ a los menores múltiplos de $3$ que no sean inferiores

Raise the exponents $1,$ $2,$ and $4$ to the least larger multiples of $3$

Solución:

Un cubo perfecto tiene exponentes primos divisibles entre $3.$ Los menores múltiplos de $3$ que son al menos $1,$ $2,$ y $4$ son $3,$ $3,$ y $6,$ respectivamente. Por tanto, el menor cubo posible es $p^3q^3r^6=(pqr^2)^3.$ La respuesta correcta es D.

A perfect cube has prime exponents divisible by $3.$ The least multiples of $3$ that are at least $1,$ $2,$ and $4$ are $3,$ $3,$ and $6,$ respectively. Thus the smallest possible cube is $p^3q^3r^6=(pqr^2)^3.$ Therefore the correct answer is D.

13.

Se colocan clavijas en un tablero separadas $1$ unidad tanto horizontal como verticalmente. Una banda elástica se estira sobre $4$ clavijas como en la figura y forma un cuadrilátero. Su área en unidades cuadradas es

Pegs are put in a board $1$ unit apart both horizontally and vertically. A rubber band is stretched over $4$ pegs as shown in the figure, forming a quadrilateral. Its area in square units is

$4$

$4.5$

$5$

$5.5$

$6$

Conceptos:geometría analítica punto reticular fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Asigna coordenadas enteras a las cuatro clavijas de los vértices

Assign integer coordinates to the four corner pegs

Pista grande:

Aplica la fórmula del cordón a $(1,3),$ $(4,1),$ $(3,0),$ y $(0,1)$

Use the shoelace formula on $(1,3),$ $(4,1),$ $(3,0),$ and $(0,1)$

Solución:

Tomando la clavija inferior izquierda como $(0,0),$ los vértices del cuadrilátero en orden son $(1,3),$ $(4,1),$ $(3,0),$ y $(0,1).$ La fórmula del cordón da $\begin{aligned} &\frac12\left|(1+0+3+0)\right.\\ &\quad\left.{}-(12+3+0+1)\right|=6. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

With the lower-left peg as $(0,0),$ the quadrilateral’s vertices in order are $(1,3),$ $(4,1),$ $(3,0),$ and $(0,1).$ The shoelace formula gives $\begin{aligned} &\frac12\left|(1+0+3+0)\right.\\ &\quad\left.{}-(12+3+0+1)\right|=6. \end{aligned}$ Therefore the correct answer is E.

14.

Exactamente tres de los ángulos interiores de un polígono convexo son obtusos. ¿Cuál es la cantidad máxima de lados de tal polígono?

Exactly three of the interior angles of a convex polygon are obtuse. What is the maximum number of sides of such a polygon?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:suma de ángulos argumento extremal desigualdad

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Acota los tres ángulos obtusos por $180^\circ$ y cada otro ángulo por $90^\circ$

Bound the three obtuse angles by $180^\circ$ and every other angle by $90^\circ$

Pista grande:

Compara esa cota superior con la suma de ángulos interiores $(n-2)180^\circ$

Compare that upper bound with the interior-angle sum $(n-2)180^\circ$

Solución:

Para un $n$ -gono, los tres ángulos obtusos suman menos de $3\cdot180^\circ,$ mientras que los otros $n-3$ ángulos suman a lo sumo $(n-3)90^\circ.$ Por tanto, $\begin{aligned} (n-2)180^\circ &\lt3(180^\circ)\\ &\quad{}+(n-3)90^\circ, \end{aligned}$ lo que se simplifica a $n\lt7.$ Seis lados son posibles, por ejemplo, con ángulos interiores $150^\circ,$ $150^\circ,$ $150^\circ,$ $90^\circ,$ $90^\circ,$ y $90^\circ.$ Así, el máximo es $6.$

La respuesta correcta es C.

For an $n$ -gon, the three obtuse angles have total less than $3\cdot180^\circ,$ while the other $n-3$ angles have total at most $(n-3)90^\circ.$ Hence $\begin{aligned} (n-2)180^\circ &\lt3(180^\circ)\\ &\quad{}+(n-3)90^\circ, \end{aligned}$ which simplifies to $n\lt7.$ Six sides are attainable, for example with interior angles $150^\circ,$ $150^\circ,$ $150^\circ,$ $90^\circ,$ $90^\circ,$ and $90^\circ.$ Thus the maximum is $6.$

Therefore the correct answer is C.

15.

Si $a$ y $b$ son números positivos tales que $a^b=b^a$ y $b=9a,$ entonces el valor de $a$ es

If $a$ and $b$ are positive numbers such that $a^b=b^a$ and $b=9a,$ then the value of $a$ is

$9$

$\frac19$

$\sqrt[9]{9}$

$\sqrt[3]{9}$

$\sqrt[4]{3}$

Conceptos:exponente radical sustitución

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Sustituye $b=9a$ en $a^b=b^a$

Substitute $b=9a$ into $a^b=b^a$

Pista grande:

Como $a\gt0,$ toma la raíz $a$ -ésima positiva y simplifica

Because $a\gt0,$ take the $a$ -th root and simplify

Solución:

La sustitución da $a^{9a}=(9a)^a.$ Al tomar la raíz $a$ -ésima positiva se obtiene $a^9=9a,$ así que $a^8=9.$ Por tanto, $a=9^{\frac{1}{8}}=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}.$

Así, la respuesta correcta es E.

Substitution gives $a^{9a}=(9a)^a.$ Taking the positive $a$ -th root yields $a^9=9a,$ so $a^8=9.$ Therefore $a=9^{\frac{1}{8}}=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}.$

Thus the correct answer is E.

16.

Si $A=20^\circ$ y $B=25^\circ,$ entonces el valor de $(1+\tan A)(1+\tan B)$ es

If $A=20^\circ$ and $B=25^\circ,$ then the value of $(1+\tan A)(1+\tan B)$ is

$\sqrt3$

$2$

$1+\sqrt2$

$2(\tan A+\tan B)$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:identidad trigonométrica trigonometría

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Usa $A+B=45^\circ$ en la fórmula de adición de la tangente

Use $A+B=45^\circ$ in the tangent addition formula

Pista grande:

Expresa $\tan A+\tan B$ en términos de $\tan A\tan B$

Express $\tan A+\tan B$ in terms of $\tan A\tan B$

Solución:

Como $\tan(A+B)=\tan45^\circ=1,$ $\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1,$ por lo que $\tan A+\tan B$ $=1-\tan A\tan B.$ Entonces $\begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2. \end{aligned}$ La respuesta correcta es B.

Because $\tan(A+B)=\tan45^\circ=1,$ $\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1,$ so $\tan A+\tan B$ $=1-\tan A\tan B.$ Therefore $\begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2. \end{aligned}$ Thus the correct answer is B.

17.

La diagonal $DB$ del rectángulo $ABCD$ está dividida en tres segmentos de longitud $1$ por las rectas paralelas $L$ y $L'$ , que pasan por $A$ y $C$ y son perpendiculares a $DB.$ El área de $ABCD,$ redondeada a una cifra decimal, es

Diagonal $DB$ of rectangle $ABCD$ is divided into three segments of length $1$ by parallel lines $L$ and $L'$ that pass through $A$ and $C$ and are perpendicular to $DB.$ The area of $ABCD,$ rounded to one decimal place, is

$4.1$

$4.2$

$4.3$

$4.4$

$4.5$

Conceptos:área diagonal rectángulo vector

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Sean $w,h$ las longitudes de los lados del rectángulo; entonces su diagonal mide $3$

Let the rectangle’s side lengths be $w,h;$ then its diagonal has length $3$

Pista grande:

Proyecta los lados vertical y horizontal sobre la diagonal para obtener $\frac{h^2}{3}=1$ y $\frac{w^2}{3}=2$

Project the vertical and horizontal sides onto the diagonal to obtain $\frac{h^2}{3}=1$ and $\frac{w^2}{3}=2$

Solución:

Sean $D=(0,0),$ $B=(w,h),$ $A=(0,h)$ y $C=(w,0).$ Como $DB=3,$ tenemos $w^2+h^2=9.$ La proyección de $DA$ sobre $DB$ mide $\frac{h^2}{3},$ y el primer segmento marcado mide $1,$ así que $h^2=3.$ Del mismo modo, la proyección de $DC$ llega al segundo punto de división, por lo que $\frac{w^2}{3}=2$ y $w^2=6.$ El área es $wh=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4.2426,$ que se redondea a $4.2.$

La respuesta correcta es B.

Let $D=(0,0),$ $B=(w,h),$ $A=(0,h)$ and $C=(w,0).$ Since $DB=3,$ we have $w^2+h^2=9.$ The projection of $DA$ onto $DB$ has length $\frac{h^2}{3},$ and the first marked segment has length $1,$ so $h^2=3.$ Similarly, the projection of $DC$ reaches the second division point, so $\frac{w^2}{3}=2$ and $w^2=6.$ Hence the area is $wh=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4.2426,$ which rounds to $4.2.$

Therefore the correct answer is B.

18.

Seis bolsas contienen $18,$ $19,$ $21,$ $23,$ $25$ y $34$ canicas, respectivamente. Una bolsa contiene únicamente canicas astilladas. Las otras $5$ no contienen ninguna. Jane toma tres bolsas y George toma dos de las restantes. Solo queda la bolsa de canicas astilladas. Si Jane recibe el doble de canicas que George, ¿cuántas canicas astilladas hay?

Six bags of marbles contain $18,$ $19,$ $21,$ $23,$ $25$ and $34$ marbles, respectively. One bag contains chipped marbles only. The other $5$ bags contain no chipped marbles. Jane takes three of the bags and George takes two of the others. Only the bag of chipped marbles remains. If Jane gets twice as many marbles as George, how many chipped marbles are there?

$18$

$19$

$21$

$23$

$25$

Conceptos:divisibilidad aritmética modular particiones y composiciones

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Suma los tamaños de las seis bolsas y luego resta la bolsa de canicas astilladas

Add all six bag sizes, then remove the chipped bag

Pista grande:

Los totales de Jane y George están en razón $2:1,$ así que su total combinado es divisible entre $3$

Jane’s and George’s totals are in the ratio $2:1,$ so their combined total is divisible by $3$

Solución:

Las seis bolsas suman $140.$ Si la bolsa de canicas astilladas contiene $c$ , las otras bolsas suman tres veces la cantidad de George, así que $140-c$ es divisible entre $3.$ Entre las opciones, solo $c=23$ cumple esta condición. Se puede lograr: George toma $18+21=39,$ mientras Jane toma $19+25+34=78.$

Así, la respuesta correcta es D.

The six bags total $140.$ If the chipped bag contains $c$ marbles, then the other bags total three times George’s amount, so $140-c$ is divisible by $3.$ Of the choices, only $c=23$ has this property. It is attainable: George can take $18+21=39,$ while Jane takes $19+25+34=78.$

Thus the correct answer is D.

19.

Considera las gráficas de $y=Ax^2$ y $y^2+3=x^2+4y,$ donde $A$ es una constante positiva y $x$ y $y$ son variables reales. ¿En cuántos puntos se intersecan las dos gráficas?

Consider the graphs of $y=Ax^2$ and $y^2+3=x^2+4y,$ where $A$ is a positive constant and $x$ and $y$ are real variables. In how many points do the two graphs intersect?

exactamente $4$

exactly $4$

exactamente $2$

exactly $2$

al menos $1,$ pero la cantidad varía con los valores positivos de $A$

at least $1,$ but the number varies for different positive values of $A$

$0$ para al menos un valor positivo de $A$

$0$ for at least one positive value of $A$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:manipulación algebraica conteo de intersecciones cuadrática

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Usa $x^2=\frac{y}{A}$ para eliminar $x^2$

Use $x^2=\frac{y}{A}$ to eliminate $x^2$

Pista grande:

Demuestra que la cuadrática resultante tiene dos raíces $y$ positivas y distintas

Show that the resulting quadratic has two distinct positive $y$ -roots

Solución:

Al sustituir $x^2=\frac{y}{A}$ en la segunda ecuación se obtiene $Ay^2-(4A+1)y+3A=0.$ Su discriminante es $4A^2+8A+1\gt0.$ Sus raíces tienen producto positivo $3$ y suma positiva $\frac{4A+1}{A},$ así que ambas son positivas y distintas. Para cada raíz $y,$ la ecuación $x^2=\frac{y}{A}$ da dos valores distintos de $x.$ Por lo tanto, hay exactamente cuatro puntos de intersección.

La respuesta correcta es A.

Substituting $x^2=\frac{y}{A}$ into the second equation gives $Ay^2-(4A+1)y+3A=0.$ Its discriminant is $4A^2+8A+1\gt0.$ Its roots have positive product $3$ and positive sum $\frac{4A+1}{A},$ so both roots are positive and distinct. For each root $y,$ the equation $x^2=\frac{y}{A}$ gives two distinct values of $x.$ Thus there are exactly four intersection points.

Therefore the correct answer is A.

20.

Un cubo de madera de arista $n$ unidades, donde $n$ es un entero $\gt2$ , está pintado completamente de negro. Mediante cortes paralelos a sus caras, se divide en $n^3$ cubos pequeños de arista unitaria. Si la cantidad de cubos pequeños con exactamente una cara pintada de negro es igual a la de cubos pequeños sin pintura, ¿cuál es $n$ ?

A wooden cube with edge length $n$ units (where $n$ is an integer $\gt2$ ) is painted black all over. By slices parallel to its faces, the cube is cut into $n^3$ smaller cubes each of unit edge length. If the number of smaller cubes with just one face painted black is equal to the number of smaller cubes completely free of paint, what is $n?$

$5$

$6$

$7$

$8$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:manipulación algebraica conteo básico geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Cuenta los cubos sin pintar en el cubo interior de arista $n-2$

Count the unpainted cubes in the interior cube of side length $n-2$

Pista grande:

En cada cara, exactamente $(n-2)^2$ cubos no tocan las aristas

On each face, exactly $(n-2)^2$ cubes avoid the edges

Solución:

Hay $(n-2)^3$ cubos completamente sin pintar. Cada una de las seis caras aporta $(n-2)^2$ cubos con exactamente una cara pintada, así que la igualdad da $6(n-2)^2=(n-2)^3.$ Como $n\gt2,$ al dividir entre $(n-2)^2$ se obtiene $n-2=6,$ y por tanto $n=8.$

La respuesta correcta es D.

There are $(n-2)^3$ completely unpainted cubes. Each of the six faces contributes $(n-2)^2$ cubes with exactly one painted face, so equality gives $6(n-2)^2=(n-2)^3.$ Since $n\gt2,$ division by $(n-2)^2$ gives $n-2=6,$ hence $n=8.$

Therefore the correct answer is D.

21.

¿Cuántos enteros $x$ satisfacen la ecuación $(x^2-x-1)^{x+2}=1?$

How many integers $x$ satisfy the equation $(x^2-x-1)^{x+2}=1?$

$2$

$3$

$4$

$5$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:análisis por casos exponente cuadrática

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Una potencia entera puede ser $1$ si la base es $1,$ si la base es $-1$ y el exponente es par, o si una base no nula tiene exponente $0$

An integer power can equal $1$ when the base is $1,$ when the base is $-1$ with even exponent, or when a nonzero base has exponent $0$

Pista grande:

Resuelve los tres casos por separado y comprueba cada candidato

Solve those three cases separately and check every candidate

Solución:

Si la base es $1,$ entonces $x^2-x-1=1,$ lo que da $x=-1$ y $x=2.$ Si la base es $-1,$ entonces $x(x-1)=0;$ solo $x=0$ hace que el exponente $x+2$ sea par. Si el exponente es $0,$ entonces $x=-2,$ y su base es $5,$ así que también funciona. Las cuatro soluciones son $-2,$ $-1,$ $0,$ y $2.$

La respuesta correcta es C.

If the base is $1,$ then $x^2-x-1=1,$ giving $x=-1$ and $x=2.$ If the base is $-1,$ then $x(x-1)=0;$ only $x=0$ makes the exponent $x+2$ even. If the exponent is $0,$ then $x=-2,$ and its base is $5,$ so it also works. Thus the four solutions are $-2,$ $-1,$ $0,$ and $2.$

Therefore the correct answer is C.

22.

En un círculo con centro $O,$ $AD$ es un diámetro, $ABC$ es una cuerda, $BO=5$ y $\angle ABO=\overset{\frown}{CD}=60^\circ.$ Entonces la longitud de $BC$ es

In a circle with center $O,$ $AD$ is a diameter, $ABC$ is a chord, $BO=5$ and $\angle ABO=\overset{\frown}{CD}=60^\circ.$ Then the length of $BC$ is

$3$

$3+\sqrt3$

$5-\frac{\sqrt3}{2}$

$5$

ninguna de las anteriores

none of the above

Conceptos:círculo ángulo inscrito triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

El arco de $60^\circ$ $CD$ hace que $\angle CAD=30^\circ$

The $60^\circ$ arc $CD$ makes $\angle CAD=30^\circ$

Pista grande:

Usa los triángulos $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ resultantes para comparar $AB$ y $AC$

Use the resulting $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangles to compare $AB$ and $AC$

Solución:

El arco $CD$ da $\angle CAD=30^\circ.$ Como $A,B,C$ son colineales y $A,O,D$ son colineales, $\angle BAO=30^\circ.$ Junto con $\angle ABO=60^\circ,$ el triángulo $ABO$ es un triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ.$ Como $BO=5,$ obtenemos $AB=10$ y $AO=5\sqrt3.$

Además, $\angle ACD=90^\circ$ porque $AD$ es un diámetro. En el triángulo $ACD$ de $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ,$ la hipotenusa es $AD=10\sqrt3,$ así que $AC=15.$ Por tanto, $BC=AC-AB=5.$

Así, la respuesta correcta es D.

Arc $CD$ gives $\angle CAD=30^\circ.$ Since $A,B,C$ are collinear and $A,O,D$ are collinear, $\angle BAO=30^\circ.$ With $\angle ABO=60^\circ,$ triangle $ABO$ is a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle. Because $BO=5,$ we get $AB=10$ and $AO=5\sqrt3.$

Also $\angle ACD=90^\circ$ because $AD$ is a diameter. In the $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle $ACD,$ the hypotenuse is $AD=10\sqrt3,$ so $AC=15.$ Therefore $BC=AC-AB=5.$

Thus the correct answer is D.

23.

Si $\begin{aligned} x&=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\\ y&=\frac{-1-i\sqrt3}{2}, \end{aligned}$ donde $i^2=-1,$ ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es correcta?

If $\begin{aligned} x&=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\\ y&=\frac{-1-i\sqrt3}{2}, \end{aligned}$ where $i^2=-1,$ then which of the following is not correct?

$x^5+y^5=-1$

$x^7+y^7=-1$

$x^9+y^9=-1$

$x^{11}+y^{11}=-1$

$x^{13}+y^{13}=-1$

Conceptos:número complejo aritmética modular raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Reconoce $x$ y $y$ como las dos raíces cúbicas no reales de la unidad

Recognize $x$ and $y$ as the two nonreal cube roots of unity

Pista grande:

Sus potencias dependen únicamente del exponente módulo $3$

Their powers depend only on the exponent modulo $3$

Solución:

Los números son las dos raíces cúbicas no reales de la unidad, por lo que $x^n+y^n=2\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right).$ Esto es $-1$ cuando $n$ no es divisible por $3,$ pero es $2$ cuando $n$ es divisible por $3.$ De los exponentes dados, solo $9$ es divisible entre $3,$ así que su ecuación es la que no es correcta.

La respuesta correcta es C.

The numbers are the two nonreal cube roots of unity, so $x^n+y^n=2\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right).$ This equals $-1$ when $n$ is not divisible by $3,$ but equals $2$ when $n$ is divisible by $3.$ Of the listed exponents, only $9$ is divisible by $3,$ so its displayed equation is the one that is not correct.

Therefore the correct answer is C.

24.

Se elige un dígito no nulo de modo que la probabilidad de elegir el dígito $d$ sea $\log_{10}(d+1)-\log_{10}d.$ La probabilidad de elegir el dígito $2$ es exactamente $\frac{1}{2}$ de la probabilidad de que el dígito elegido pertenezca al conjunto

A non-zero digit is chosen in such a way that the probability of choosing digit $d$ is $\log_{10}(d+1)-\log_{10}d.$ The probability that the digit $2$ is chosen is exactly $\frac{1}{2}$ the probability that the digit chosen is in the set

$\{2,3\}$

$\{3,4\}$

$\{4,5,6,7,8\}$

$\{5,6,7,8,9\}$

$\{4,5,6,7,8,9\}$

Conceptos:probabilidad básica logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

El doble de la probabilidad del dígito $2$ es $2\log_{10}(\frac{3}{2})$

Twice the probability of digit $2$ is $2\log_{10}(\frac{3}{2})$

Pista grande:

Suma las probabilidades de un conjunto consecutivo telescopando sus logaritmos

Sum the probabilities over a consecutive set by telescoping its logarithms

Solución:

La probabilidad de $2$ es $\log_{10}(\frac{3}{2}),$ así que el doble es $\log_{10}(\frac{9}{4}).$ Para los dígitos del $4$ al $8,$ la suma se telescopa: $\begin{aligned} &\sum_{d=4}^{8} \bigl(\log_{10}(d+1)\\ &\qquad{}-\log_{10}d\bigr) =\log_{10}\frac94. \end{aligned}$ Por tanto, ese conjunto tiene exactamente el doble de la probabilidad del dígito $2.$

Así, la respuesta correcta es C.

The probability of $2$ is $\log_{10}(\frac{3}{2}),$ so twice that probability is $\log_{10}(\frac{9}{4}).$ For the digits $4$ through $8,$ the sum telescopes: $\begin{aligned} &\sum_{d=4}^{8} \bigl(\log_{10}(d+1)\\ &\qquad{}-\log_{10}d\bigr) =\log_{10}\frac94. \end{aligned}$ Therefore that set has exactly twice the probability of digit $2.$

Thus the correct answer is C.

25.

El volumen de cierto prisma rectangular es $8\text{ cm}^3,$ su área superficial total es $32\text{ cm}^2,$ y sus tres dimensiones están en progresión geométrica. La suma de las longitudes en centímetros de todas las aristas es

The volume of a certain rectangular solid is $8\text{ cm}^3,$ its total surface area is $32\text{ cm}^2,$ and its three dimensions are in geometric progression. The sum of the lengths in cm of all the edges of this solid is

$28$

$32$

$36$

$40$

$44$

Conceptos:sucesión geométrica prisma rectangular área de superficie volumen

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Escribe las tres dimensiones como $\frac{t}{r},t,tr$

Write the three dimensions as $\frac{t}{r},t,tr$

Pista grande:

Usa el volumen para hallar $t,$ y luego el área superficial para hallar $r+\frac{1}{r}$

Use the volume to find $t,$ then use the surface area to find $r+\frac{1}{r}$

Solución:

Escribe las dimensiones como $\frac{2}{r},2,2r,$ ya que su producto es $8.$ La mitad del área superficial es la suma de los tres productos por pares, así que $\frac4r+4+4r=16,$ de donde $r+\frac{1}{r}=3.$ La suma de las dimensiones es $2(r+1+\frac{1}{r})=8.$ Como cada dimensión aparece en cuatro aristas, la suma de todas las longitudes es $4\cdot8=32.$

Así, la respuesta correcta es B.

Write the dimensions as $\frac{2}{r},2,2r,$ since their product is $8.$ Half the surface area is the sum of the three pairwise products, so $\frac4r+4+4r=16,$ giving $r+\frac{1}{r}=3.$ The sum of the dimensions is $2(r+1+\frac{1}{r})=8.$ Since each dimension occurs on four edges, the sum of all edge lengths is $4\cdot8=32.$

Thus the correct answer is B.

26.

Halla el menor entero positivo $n$ para el cual $\frac{n-13}{5n+6}$ es una fracción reducible no nula.

Find the least positive integer $n$ for which $\frac{n-13}{5n+6}$ is a non-zero reducible fraction.

$45$

$68$

$155$

$226$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:máximo común divisor aritmética modular

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Todo divisor común de $n-13$ y $5n+6$ también divide una combinación lineal adecuada

Any common divisor of $n-13$ and $5n+6$ also divides a suitable linear combination

Pista grande:

Calcula $(5n+6)-5(n-13)$

Compute $(5n+6)-5(n-13)$

Solución:

El algoritmo de Euclides da $\begin{aligned} &\gcd(n-13,5n+6)\\ &\quad=\gcd(n-13,71). \end{aligned}$ Como $71$ es primo, la fracción no nula es reducible exactamente cuando $n-13$ es un múltiplo no nulo de $71.$ La menor posibilidad positiva es $n=13+71=84,$ que no está entre las cuatro opciones numéricas.

Así, la respuesta correcta es E.

Euclid’s algorithm gives $\begin{aligned} &\gcd(n-13,5n+6)\\ &\quad=\gcd(n-13,71). \end{aligned}$ Since $71$ is prime, the nonzero fraction is reducible exactly when $n-13$ is a nonzero multiple of $71.$ The least positive possibility is $n=13+71=84,$ which is not among the four numerical choices.

Thus the correct answer is E.

27.

Considera una sucesión $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\ldots,$ definida por $\begin{aligned} x_1&=\sqrt[3]{3},\\ x_2&=(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}}. \end{aligned}$ y, en general, $x_n=(x_{n-1})^{\sqrt[3]{3}}$ para $n\gt1.$ ¿Cuál es el menor valor de $n$ para el que $x_n$ es un entero?

Consider a sequence $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\ldots,$ defined by $\begin{aligned} x_1&=\sqrt[3]{3},\\ x_2&=(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}}. \end{aligned}$ and in general $x_n=(x_{n-1})^{\sqrt[3]{3}}$ for $n\gt1.$ What is the smallest value of $n$ for which $x_n$ is an integer?

$2$

$3$

$4$

$9$

$27$

Conceptos:exponente desigualdad radical recursión

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Sea $c=\sqrt[3]{3}$ y sigue el exponente de $3$

Let $c=\sqrt[3]{3}$ and track the exponent of $3$

Pista grande:

Demuestra que $x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}$ y examina los primeros cuatro términos

Show that $x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}$ and examine the first four terms

Solución:

Sea $c=\sqrt[3]{3}.$ Al aplicar repetidamente la recurrencia se obtiene $x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}},$ de modo que $x_4=3^{\frac{c^3}{3}}=3.$ Falta descartar los tres primeros términos. La sucesión es estrictamente creciente. Además, $c\lt\frac{3}{2},$ así que $x_2=c^c \lt\left(\frac32\right)^{\frac{3}{2}} \lt2.$ Finalmente, $x_3=3^{\frac{1}{c}}.$ Como $2^c\lt2^{\frac{3}{2}}\lt3,$ tenemos $x_3\gt2,$ mientras que $\frac{1}{c}\lt1$ da $x_3\lt3.$ Por tanto, $x_1,x_2,x_3$ no son enteros, y el primer término entero es $x_4.$

La respuesta correcta es C.

Let $c=\sqrt[3]{3}.$ Repeated application of the recurrence gives $x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}},$ so $x_4=3^{\frac{c^3}{3}}=3.$ It remains to rule out the first three terms. The sequence is strictly increasing. Also $c\lt\frac{3}{2},$ so $x_2=c^c \lt\left(\frac32\right)^{\frac{3}{2}} \lt2.$ Finally $x_3=3^{\frac{1}{c}}.$ Since $2^c\lt2^{\frac{3}{2}}\lt3,$ we have $x_3\gt2,$ while $\frac{1}{c}\lt1$ gives $x_3\lt3.$ Thus $x_1,x_2,x_3$ are not integers, and the first integral term is $x_4.$

Therefore the correct answer is C.

28.

En $\triangle ABC,$ tenemos $\angle C=3\angle A,$ $a=27$ y $c=48.$ ¿Cuál es $b$ ?

In $\triangle ABC,$ we have $\angle C=3\angle A,$ $a=27$ and $c=48.$ What is $b?$

$33$

$35$

$37$

$39$

no está determinado de manera única

not uniquely determined

Conceptos:ley de los senos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Usa la ley de los senos para escribir $\frac{48}{27}=\frac{\sin3A}{\sin A}$

Use the sine law to write $\frac{48}{27}=\frac{\sin3A}{\sin A}$

Pista grande:

Después de hallar $\cos A,$ usa $B=180^\circ-4A$ y $\sin4A=4\sin A\cos A\cos2A$

After finding $\cos A,$ use $B=180^\circ-4A$ and $\sin4A=4\sin A\cos A\cos2A$

Solución:

Por la ley de los senos y la identidad del ángulo triple, $\frac{48}{27} =\frac{\sin3A}{\sin A} =3-4\sin^2A.$ Por tanto, $\sin^2A=\frac{11}{36}.$ Como $A\lt60^\circ,$ $\cos A=\frac{5}{6},$ y entonces $\cos2A=\frac{7}{18}.$ Además, $B=180^\circ-4A,$ así que otra aplicación de la ley de los senos da $\begin{aligned} b &=27\frac{\sin B}{\sin A}\\ &=27\frac{\sin4A}{\sin A}\\ &=27\cdot4\cos A\cos2A\\ &=35. \end{aligned}$ La respuesta correcta es B.

By the sine law and the triple-angle identity, $\frac{48}{27} =\frac{\sin3A}{\sin A} =3-4\sin^2A.$ Hence $\sin^2A=\frac{11}{36}.$ Since $A\lt60^\circ,$ $\cos A=\frac{5}{6},$ and therefore $\cos2A=\frac{7}{18}.$ Also $B=180^\circ-4A,$ so another application of the sine law gives $\begin{aligned} b &=27\frac{\sin B}{\sin A}\\ &=27\frac{\sin4A}{\sin A}\\ &=27\cdot4\cos A\cos2A\\ &=35. \end{aligned}$ Thus the correct answer is B.

29.

En sus representaciones en base $10$ , el entero $a$ consta de una secuencia de $1985$ ochos y el entero $b$ de una secuencia de $1985$ cincos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de la representación en base $10$ del entero $9ab$ ?

In their base $10$ representations, the integer $a$ consists of a sequence of $1985$ eights and the integer $b$ consists of a sequence of $1985$ fives. What is the sum of the digits of the base $10$ representation of the integer $9ab?$

$15880$

$17856$

$17865$

$17874$

$19851$

Conceptos:manipulación algebraica dígitos reconocimiento de patrones valor posicional

Nivel de dificultad: 2530

Pista pequeña:

Escribe una cadena de $k$ dígitos iguales usando $R=\frac{10^k-1}{9}$

Write a string of $k$ identical digits using $R=\frac{10^k-1}{9}$

Pista grande:

Después de quitar el cero final, expresa el producto como una cadena de $2k$ cuatros menos una cadena de $k$ ochos

After removing the terminal zero, express the product as a string of $2k$ fours minus a string of $k$ eights

Solución:

Sean $k=1985$ y $R=\frac{10^k-1}{9}.$ Entonces $a=8R,$ $b=5R,$ y $9ab$ termina en $0.$ Quitar ese cero no cambia la suma de dígitos y deja $\begin{aligned} N=\frac{9ab}{10} &=36R^2\\ &=\frac49(10^{2k}-1)\\ &\quad{}-\frac89(10^k-1). \end{aligned}$ Así, $N$ es una cadena de $2k$ cuatros menos una cadena de $k$ ochos. La resta produce $k-1$ cuatros, luego $3,$ después $k-1$ cincos y finalmente $6.$ Su suma de dígitos es $\begin{aligned} &4(k-1)+3+5(k-1)+6\\ &\quad=9k=17865. \end{aligned}$ La respuesta correcta es C.

Let $k=1985$ and $R=\frac{10^k-1}{9}.$ Then $a=8R,$ $b=5R,$ and $9ab$ ends in $0.$ Removing that zero does not change the digit sum and leaves $\begin{aligned} N=\frac{9ab}{10} &=36R^2\\ &=\frac49(10^{2k}-1)\\ &\quad{}-\frac89(10^k-1). \end{aligned}$ Thus $N$ is a string of $2k$ fours minus a string of $k$ eights. The subtraction produces $k-1$ fours, then $3,$ then $k-1$ fives, then $6.$ Its digit sum is $\begin{aligned} &4(k-1)+3+5(k-1)+6\\ &\quad=9k=17865. \end{aligned}$ Therefore the correct answer is C.

30.

Sea $\lfloor x\rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x.$ Entonces el número de soluciones reales de $4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0$ es

Let $\lfloor x\rfloor$ be the greatest integer less than or equal to $x.$ Then the number of real solutions to $4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:análisis por casos funciones piso y techo desigualdad cuadrática

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Haz $n=\lfloor x\rfloor$ y resuelve la ecuación para $x^2$

Set $n=\lfloor x\rfloor$ and solve the equation for $x^2$

Pista grande:

Impón $n\le x\lt n+1$ para determinar qué valores enteros de $n$ funcionan

Enforce $n\le x\lt n+1$ to determine which integer values of $n$ work

Solución:

Sea $n=\lfloor x\rfloor.$ Una solución debe ser positiva y satisfacer $\begin{aligned} x&=\sqrt{10n-\frac{51}{4}},\\ n&\le x\lt n+1. \end{aligned}$ La desigualdad inferior equivale a $4n^2-40n+51\le0,$ así que $n=2,3,\ldots,8.$ La desigualdad superior equivale a $4n^2-32n+55\gt0.$ Entre $2,\ldots,8,$ esto se cumple exactamente para $n=2,6,7,8.$ Cada intervalo aporta una raíz, así que hay cuatro soluciones reales.

La respuesta correcta es E.

Let $n=\lfloor x\rfloor.$ A solution must be positive and satisfy $\begin{aligned} x&=\sqrt{10n-\frac{51}{4}},\\ n&\le x\lt n+1. \end{aligned}$ The lower inequality is equivalent to $4n^2-40n+51\le0,$ so $n=2,3,\ldots,8.$ The upper inequality is equivalent to $4n^2-32n+55\gt0.$ Among $2,\ldots,8,$ this holds exactly for $n=2,6,7,8.$ Each interval contributes one root, so there are four real solutions.

Therefore the correct answer is E.