Question

Halla el menor entero positivo $n$ para el cual $\frac{n-13}{5n+6}$ es una fracción reducible no nula.

Find the least positive integer $n$ for which $\frac{n-13}{5n+6}$ is a non-zero reducible fraction.

$45$

$68$

$155$

$226$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: E

Conceptos:máximo común divisor aritmética modular

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Todo divisor común de $n-13$ y $5n+6$ también divide una combinación lineal adecuada

Any common divisor of $n-13$ and $5n+6$ also divides a suitable linear combination

Pista grande:

Calcula $(5n+6)-5(n-13)$

Compute $(5n+6)-5(n-13)$

Solución:

El algoritmo de Euclides da $\begin{aligned} &\gcd(n-13,5n+6)\\ &\quad=\gcd(n-13,71). \end{aligned}$ Como $71$ es primo, la fracción no nula es reducible exactamente cuando $n-13$ es un múltiplo no nulo de $71.$ La menor posibilidad positiva es $n=13+71=84,$ que no está entre las cuatro opciones numéricas.

Así, la respuesta correcta es E.

Euclid’s algorithm gives $\begin{aligned} &\gcd(n-13,5n+6)\\ &\quad=\gcd(n-13,71). \end{aligned}$ Since $71$ is prime, the nonzero fraction is reducible exactly when $n-13$ is a nonzero multiple of $71.$ The least positive possibility is $n=13+71=84,$ which is not among the four numerical choices.

Thus the correct answer is E.

1985 AMC 12 Problema 26

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años