Question

求最小正整数 $n$ ，使 $\frac{n-13}{5n+6}$ 为非零可约分数。

Find the least positive integer $n$ for which $\frac{n-13}{5n+6}$ is a non-zero reducible fraction.

$45$

$68$

$155$

$226$

以上都不是

none of these

答案：E

知识点：最大公约数模运算

难度评级：2130

小提示：

$n-13$ 和 $5n+6$ 的任何公因数也整除它们的一个适当线性组合

Any common divisor of $n-13$ and $5n+6$ also divides a suitable linear combination

大提示：

计算 $(5n+6)-5(n-13)$

Compute $(5n+6)-5(n-13)$

解答：

欧几里得算法给出 $\begin{aligned} &\gcd(n-13,5n+6)\\ &\quad=\gcd(n-13,71)\text{。} \end{aligned}$ 由于 $71$ 是素数，该非零分数可约当且仅当 $n-13$ 是 $71$ 的非零倍数。最小的正数情形为 $n=13+71=84$ ，它不在前四个数值选项中。

所以正确答案是 E。

Euclid’s algorithm gives $\begin{aligned} &\gcd(n-13,5n+6)\\ &\quad=\gcd(n-13,71). \end{aligned}$ Since $71$ is prime, the nonzero fraction is reducible exactly when $n-13$ is a nonzero multiple of $71.$ The least positive possibility is $n=13+71=84,$ which is not among the four numerical choices.

Thus the correct answer is E.

1985 AMC 12 第 26 题

答案：E

难度评级：2130

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题